100卓蘭實中，題目和答案請見附件

想請第4題答案為什麼是49/6,謝謝

引用:

原帖由 阿光 於 2011-12-4 08:41 PM 發表
想請第4題答案為什麼是49/6,謝謝

角ABD=角ADB(因為AD=AB=6)
角CDB=角ABD(因為DC平行AB)
所以角ADC=2角ADB
又cos(角ADB)=11/12
所以cos(角ADC)=cos(2角ADB)=2(11/12)^2-1=49/72
在三角形ADC中
cos(角ADC)=DC/12 =49/72
所以DC=49/6

回復 2# 阿光 的帖子，第四題

令 \( \alpha=\frac{1}{2}\angle DAB \), \( \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha \),\( \sin\alpha=\frac{11}{12} \), \( \sin\beta=\frac{\sqrt{23}}{12} \)。
延伸 \( \overline{AB} \) 交圓於 \( E \)，則 \( \overline{BC}=\overline{DE}=2\cdot6\sin\beta=\sqrt{23} \)。


圓內接四邊形 BCDE，有托勒密理：\( 11^{2}=12\overline{CD}+23\Rightarrow\overline{CD}=\frac{49}{6} \)。

想請問第5題和第10題該如何做?
謝謝

引用:

原帖由 pizza 於 2012-1-8 10:53 PM 發表
想請問第5題和第10題該如何做?
謝謝

#5
假設13511=n*q1+r (0<=r<q1 ,q1為正整數,r為非負整數) ------------(1)
13903=n*q2+r (0<=r<q2 ,q2為正整數) ------------(2)
14589=n*q3+r (0<=r<q3 ,q3為正整數) ------------(3)
(2)-(1)得 392=n*(q2-q1)
(3)-(2)得 686=n*(q3-q2)
可知 n | (392,686)
所以 n | 2*7*7
因題意說 0<n<99
所以n最大為 2*7*7=98
9+8=17

#10
已經有人回過了
在前面找找看

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-1-8 11:27 PM 編輯 ]

請教第10
找不到前面的  還請賜教  謝謝

#10
https://math.pro/db/thread-1107-1-1.html

請教填充第2題，感謝。

填充2，動筆試一試，不難猜出規律
\( 1^2 =1 \), \( 2^2=4 \) 不合, \( 3^2 =9 \) 不合, \( 4^2 = 16 \) 不合, \( 5^2 =25 \) 不合, \( 6^2 =36 = 35 +1 \), \( 7^2 = 49 \) 不合
\( 8^2 =64=63+1 \),  \( 9^2=81=77+4 \) 不合, \(10^2 =100=98+2 \) 不合, \( 11^2 = 121=119+2 \) 不合, \( 12^2 =144=140+4 \) 不合, \( 13^2 =169 = 168 +1 \), \( 14^2 = 196 \) 不合
1~14 中，符合的有 1,6,8,13，看不出規律，可以繼續算













看出來的話，就是 \( 7n+1, 7n+6 \)。
而 \( 1000 = 7 \times 142+6 \)，故有 \( 2\times 143 =286 \) 個 n 滿足題意