設n為自然數
f(n)為n表示成a0．1 + a1．2 + a2．2^2+ a3．2^3+ … 之方法數
其中ak為0、1、2

例：f(4)=3
因為 4 = 0．1 + 0．2 + 1．2^2
4 = 0．1 + 2．2
4 = 2．1 + 1．2
共3種方法

求 (1)若n為奇數，證f(n) = f((n-1)/2)，並求f(401)
(2)以評量觀點來看，(1)的敘述略有不妥，試說明

請教各位高手
謝謝!
ps.第(1)小題15分，第(2)小題6分

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-7-16 05:57 PM 編輯 ]

提供淺見
(1)如果n是奇數，那麼必定要用一個1，
也就是\( a_0=1 \)
\( \displaystyle n=1+a_1\cdot 2+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^3+...+a_k\cdot 2^k \)

\( \displaystyle n-1=a_1\cdot 2+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^3+...+a_k\cdot 2^k \)

\( \displaystyle \frac{n-1}{2}=a_1\cdot 1+a_2\cdot 2+a_3\cdot 2^2+...+a_k\cdot 2^{k-1} \)

於是n的一種表示法就對應\( \frac{n-1}{2} \) 的一種表示法，這是一一對應的，故有
\( \displaystyle f(n)=f(\frac{n-1}{2}) \)


(2)如果n是偶數，那麼\(a_0 \)可以是0或2
若\( a_0=0 \)
\( \displaystyle n=a_1\cdot 2+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^3+...+a_k\cdot 2^k \)

\( \displaystyle \frac{n}{2}=a_1\cdot 1+a_2\cdot 2+a_3\cdot 2^2+...+a_k\cdot 2^{k-1} \)

而若\( a_0=2 \)
\( \displaystyle n=2+a_1\cdot 2+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^3+...+a_k\cdot 2^k \)

\( \displaystyle \frac{n-2}{2}=a_1\cdot 1+a_2\cdot 2+a_3\cdot 2^2+...+a_k\cdot 2^{k-1} \)

所以有\( \displaystyle f(n)=f(\frac{n}{2})+f(\frac{n-2}{2}) \)

所以
\( \displaystyle f(401)=f(200)=f(100)+f(99)=f(50)+f(49)+f(49)=f(25)+f(24)+2f(24) \)

\( \displaystyle =f(12)+3f(12)+3f(11)=4f(6)+4f(5)+3f(5)=4f(3)+4f(2)+7f(2)=4f(1)+11f(2)=26 \)


至於有何不妥，我想是
(1)n應該要是大於1的奇數
(2)只給\( \displaystyle f(n)=f(\frac{n-1}{2}) \) ，尚不足以求出\( f(401) \)的值，要多給一點提示較佳吧。

題目如附件

想請教一下1,6,7題
謝謝!
順便問一下第7題Z的機率是甚麼意思呢?

第 1 題

令 \(A(2,-2), B(12,1), C(x,\log x)\)

\(\left|\overline{AC}-\overline{AB}\right|\leq \overline{BC}=\sqrt{109}.\)





第 6 題

目前只有想到很醜陋的硬算，

令 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)，

由 \(f(1)=2,\,f(2)=5,\,f(3)=10\)，

可得 \(\displaystyle a=\frac{1-d}{6},\,b=d,\,c=\frac{11-11d}{6}\)，

再帶入 \(b^2-3ac=0\)，可得 \(d\) 之值。

故，可得 \(f(x)\)，亦可得 \(f(4).\)





第 7 題

\(Z\) 分配：平均數為 \(0\) 且標準差為 \(1\) 的常態分配。

\(75\) 分以上所佔比例為 \(\displaystyle\frac{12}{300}=0.04=0.5-0.46\)

因為測驗分數成常態分配，

所以 \(75\) 分＝平均分數＋\(1.75\)個標準差 。

故，此次測驗平均分數為 \(75-8\times1.75=61\)。

補一下初試通過最低錄取分數  64分  
雖然我進了複試 可是我面試時被電的非常的慘烈

請問第8題的答案為何?
謝謝

請問瑋岳老師
您第三題的解中寫到
b^2-3ac=0
跟原題中恰有一水平切線
怎麼個解釋
謝謝

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\Rightarrow f\,'(x)=3ax^2+2bx+c\)

\(\Rightarrow f\,'(x)=0\) 的判別式為 \(\left(2b\right)^2-4\cdot\left(3a\right)\cdot c=4\left(b^2-3ac\right)\)

所以

case 1: \(y=f(x)\) 有兩條水平切線\(\Leftrightarrow f\,'(x)=0\) 有兩相異實根\(\Leftrightarrow b^2-3ac>0.\)

case 2: \(y=f(x)\) 恰有一條水平切線\(\Leftrightarrow f\,'(x)=0\) 有兩相等實根\(\Leftrightarrow b^2-3ac=0.\)

case 3: \(y=f(x)\) 無水平切線\(\Leftrightarrow f\,'(x)=0\) 無實根\(\Leftrightarrow b^2-3ac<0.\)

謝謝瑋岳老師
把他想成有反曲點
所以用二次微分等於0,好複雜