90分鐘作答時間。

應該可以說是本年度最後一份正式教師的試卷了！
今年很特別，七月底還開了兩間學校六個正式缺～

[ 本帖最後由 smartdan 於 2014-7-25 01:53 PM 編輯 ]

想請教9,12

引用:

原帖由 smartdan 於 2014-7-25 01:52 PM 發表
90分鐘作答時間。

應該可以說是本年度最後一份正式教師的試卷了！
今年很特別，七月底還開了兩間學校六個正式缺～

第9題
慢慢討論(非常耗時間)
樣本空間3^6
依平手次數分六種情況
平手0次，則甲可能贏6、5或4次，
用排列數可得其分別可能有1、6和15種情況

平手1次，則甲可能贏5、4或3次，
用排列數可得其分別可能有6、30和60種情況

平手2次，則甲可能贏4或3次，
用排列數可得其分別可能有15和60種情況

平手3次，則甲可能贏3或2次，
用排列數可得其分別可能有20和60種情況

平手4次，則甲贏2次，
用排列數可得其有15種情況

平手5次，則甲贏1次，
用排列數可得其有6種情況

故共有1+6+15+6+30+60+15+60+20+60+15+6=294種可能
機率=294/3^6=98/243

第 9 題
不分勝負的情形，計以下141種
(1) 六和：1種
(2) 四和：C46C12=30種
(3) 二和：C26C24=90種
(4) 零和：C36=20種

所求=213636−141=98243

第12題
k4k2−1=k2+1+1k2−1=k2+1 

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-25 05:41 PM 編輯 ]

第12題
(k^4)/(k^2-1)=k^2+(k^2)/(k^2-1)
取高斯符號後等於k^2+1(在k=2~100皆如此)
故原式=2^2+3^2+4^2+......+100^2+99=338448

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-7-25 05:30 PM 編輯 ]

piano老師的解法漂亮!

引用:

原帖由 smartdan 於 2014-7-25 01:52 PM 發表
應該可以說是本年度最後一份正式教師的試卷了！

還有 7/28 育成高中一個缺和 8/9 新化高中二個缺

去年有 134 個缺，今年至今有 124 缺
明年恐怕沒這麼多了，大家加油！

有錯或其它解法還請不吝指教...我有2題不會,還請神人下凡指點迷津...   (第4,15題)

1.
f(xy)=3x+3y=3x+31−x23x31−x=23 


2.
sin+cos=−k0sincos=43 ⇒(sin+cos)2=1+2sincos(−k)2=1+243 ⇒k=23+1 (取負)


3.

3.gif (3.27 KB)

2014-8-2 08:51

法1：
AC為ABD分角線，且A=120故81+x1=61，即x=24

法2：
AC=8+x28xcos60=6⇒x=24

3-1.gif (3.17 KB)

2014-8-2 08:51

公式：ABC中，AB=c，AC=b，AD為∠BAC的角平分線，∠BAD=∠CAD=，則AD=2bcb+ccos。
證明：
設AD=x
ABC=BAD+CAD

21ABACsin∠BAC=21ABADsin∠BAD+21ACADsin∠CAD  

21bcsin2=21cxsin+21bxsin

bc2sincos=xsin(b+c)

2bccos=(b+c)x

x=2bcb+ccos


4.
logA=2+logB=2+3 ⇒3logA−logB=4⇒A3=B2454
令B=2252k3因為100B=2252k31000，所以1k310⇒k=2即B=800，A=200


5.
a5=C55+C56++C5n=C6n+1，a4=C44+C45++C4n=C5n+1，a3=C33+C34++C3n=C4n+1
⇒(n+1)!6!(n−5)!=(n+1)!5!(n−4)!+(n+1)!4!(n−3)!⇒165=15(n−4)+1(n−3)(n−4)⇒n=0or13


6.
−−AG=31−AB+31−AC=13r−−AP+13s−−AQ　因為P,G,Q共線⇒13r+13s=1
科西不等式(9r+4s)(13r+13s)(3+23)2=325


7.

7.gif (7.42 KB)

2014-8-2 08:51

z6−1=(z+1)(z5−z4+z3−z2+z−1)

求=5(正)=5(4312)=453 


8.

8.gif (2.19 KB)

2014-8-2 08:51

由斜率可知P3P4=10，求S=a1−r=1−61(60+20)=96


10.
捷　車　機7101102102105103101100910xyz=xyz⇒710x+210y+110z=x110x+510y=y ⇒x:y:z=5:1:13⇒求z=135+1+13=1913


11.
易知拋物線過A(553) ，B(25153) 
令拋物線：x=ay2+k⇒5=75a+k25=675a+k 解得a=130，k=−3075
⇒拋物線：x=130y2−3075


13.
(i)當x=21，a2x2=a1x⇒a2(21=a1)，所以a2=2
(ii)當x=31，a3x3=a2x2⇒a3(31)=a2，所以a3=23
(iii)當x=41，a4x4=a3x3⇒a4(41)=a3，所以a4=234
類推可知 a_n=n!


14.
\displaystyle cos 60^{\circ}=\frac{(10-x)^2+x^2-6^2}{2 \cdot (10-x) \cdot x}=\frac{1}{2} ，可得 \displaystyle x=5 \pm \sqrt{\frac{11}{3}}
⇒ \displaystyle \Delta F_1 PF_2=\frac{1}{2}(5+\sqrt{\frac{11}{3}}) \cdot (5-\sqrt{\frac{11}{3}}) \cdot sin 60^{\circ}=\frac{16}{3} \sqrt{3}


16.

16.gif (5.45 KB)

2014-8-2 08:38

\displaystyle y=\sqrt{4-\frac{4}{9}x^2} 　⇒　 \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1
所求=直線 \displaystyle y=\frac{2}{3}x+2 與上橢圓 \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 所夾面積 \displaystyle =\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3=6












[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-8-2 08:58 AM 編輯 ]

第 4 題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1273

第15題
請參考附件

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-26 09:00 AM 編輯 ]

剛才寫到了一題類似的機率問題
現學現賣

若擲一個骰子6次，當1點先於5及6點出現為勝利，當5點或6點先於1點出現為失敗，其餘情況為平局。
則勝利的機率為多少?

答:21/64
也是一樣，先扣掉平局的機率，再乘以1/3(因為1,5,6先出現的機率相等)，即為答案