3.
將自然數按下表的方式排列，從上到下第i列，從左至右第j行的數記為\( f(i,j) \)，例如\( f(3,4)=18 \)，試求\( f(45,45)= \)
。
\( \matrix{1 & 2 & 4 & 7 & 11 & 16 & 22 & … \cr
3 & 5 & 8 & 12 & 17 & 23 & … & \cr
6 & 9 & 13 & 18 & 24 & … & & \cr
10 & 14 & 19 & 25 & … & & & \cr
15 & 20 & 26 & … & & & & \cr
21 & 27 & … & & & & & \cr
28 & … & & & & & & } \)
[解答]
\(\matrix{ & & f(1,1) & & f(2,2) & & f(3,3) & & f(4,4) \cr
1 & & 1 & & 5 & & 13 & & 25 \cr
& 0 & & 4 & & 8 & & 12 & \cr
& & 4 & & 4 & & 4 & & } \)
\( f(n,n)=1 \times C_0^n+0 \times C_1^n+4 \times C_2^n \)
\( f(45,45)=3961 \)
7.
有三個水桶A,B,C，其含水量分別為a,b,c。現在依A→B→C→A→B→C→A→…的順序，將前一個水桶的水倒一半至後一個水桶。規定每一回合為A→B→C→A，若n回合會趨近平衡狀態，則其平衡狀態時，水桶A中的水量為何？(試以a,b,c表示)
有甲、乙、丙三支大瓶子，開始時均裝有1公升的水，每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶，若ㄧ直操作下去當穩定狀態時，甲瓶的水量為
公升？
(102松山工農，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=1#pid8767)
13.
試求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{2001}}{10^{667}+2002} \Bigg]\; \)的末四位數中，其中\( [\; x ]\; \)表示小於或等於x的最大整數？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=708&page=1#pid1193
16.
若\( \displaystyle \cases{a+b=1 \cr ax+by=-1 \cr ax^2+by^2=-5 \cr ax^3+by^3=-13} \)，求\( ax^5+by^5 \)之值為
。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=799&page=1#pid1495
18.
設圓的內接12邊形有六條邊長為a，六條邊長為b，則此12邊形的面積為
。(試以a,b表示)
感謝thepiano找到出處
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=10920
(北一女中數學挑戰甄選題，第九期第 3 題，
http://www.tcgs.tc.edu.tw/~sunp/compete/green-garden/09.pdf)
ABCDEF為一圓內接六邊形，\( \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=a \)，\( \overline{DE}=\overline{EF}=\overline{FA}=b \)，用a,b表六邊形之面積？
(93國立大里高中，
https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)
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本帖最後由 bugmens 於 2014-5-16 11:18 PM 編輯 ]
