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101臺南二中

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101臺南二中

以下資料供以後考生參考:

初試最低錄取分數 37分
取10名參加複試,錄取1名
49.48.46.46.42.42.38.38.38.37

其他,
30~35分 12人
20~29分 57人
10~19分 74人
0~9分   55人
缺考  3人

共計 211 人

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-4-30 10:22 AM 編輯 ]

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101南二中.rar (183.59 KB)

2012-4-29 20:51, 下載次數: 6112

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3.
設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 4 \cr 3 & 2} \Bigg]\;  \),且X、Y均為二階方陣,滿足\( X+Y=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1}\Bigg]\;  \),\( XY=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0}\Bigg]\; \),\( aX+bY=A \),其中\( a>b \),a、b為常數,則\( X^n= \)?
(91高雄女中指定科目模擬考(三),RA531.pdf)
[解答]
(1)
\( \displaystyle \cases{aX+bY=A \cr X+Y=I} \),得\( \displaystyle X=\frac{1}{a-b}(A-bI) \),\( \displaystyle Y=\frac{1}{a-b}(aI-A) \)
又\( XY=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0}\Bigg]\; \),得\( \displaystyle \frac{1}{(a-b)^2}(A-bI)(aI-A)=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)
∵\( a-b>0 \) ∴\( (A-bI)(aI-A)=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \),
\( \Bigg[\; \matrix{1-b & 4 \cr 3 & 2-b} \Bigg]\; \Bigg[\; \matrix{a-1 & -4 \cr -3 & a-2} \Bigg]\;=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)
\( \Bigg[\; \matrix{a+b-13-ab & 4(a+b)-12 \cr 3(a+b)-9 & 2(a+b)-16-ab} \Bigg]\;=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)
\( \cases{a+b-13-ab=0 \cr 4(a+b)-12=0} \),得\( (a,b)=(5,-2) \)或\( (-2,5) \)(不合)
(2)
將\( (a,b)=(5,-2) \)代入\( \displaystyle X=\frac{1}{a-b}(A-bI)=\frac{1}{a-b}\Bigg[\; \matrix{1-b & 4 \cr 3 & 2-b} \Bigg]\;=\frac{1}{7}\Bigg[\; \matrix{3 & 4 \cr 3 & 4} \Bigg]\; \)
又\( X+Y=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1} \Bigg]\; \).兩邊同乘X,\( X^2+XY=X \),得\( X^2=X \),所以\( X^n=X=\Bigg[\; \matrix{\frac{3}{7} & \frac{4}{7} \cr \frac{3}{7} & \frac{4}{7}} \Bigg]\; \)

102.8.10補充文章
林倉億,從一題矩陣的試題談起


6.
將\( (x-2y+3z-4u)^{40}-(x+2y-3z-4u)^{40} \)展開後並將同類項合併,則會有幾種不同類項?

將表示式\( (x+y+z)^{2006}+(x-y-z)^{2006} \)展開並合併同類項,試問化簡後共有多少項?
(A)6018 (B)671,676 (C)1,007,514 (D)1,008,016 (E)2,015,028

The expression \( (x+y+z)^{2006}+(x-y-z)^{2006} \)is simplified by expanding it and combining like terms. How many terms are in the simplified expression?
(A)6018 (B)671,676 (C)1,007,514 (D)1,008,016 (E)2,015,028
(2006AMC12,95和美高中,http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2006)


7.
\( [\; x ]\; \)表示不大於x的最大整數(高斯符號),試求\( [\; (\sqrt{3}+1)^8 ]\;= \)?

大於\( (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6 \)的最小整數為何?
(建中通訊解題第39期)

若n是大於\( (\sqrt{5}+\sqrt{2})^6 \)的最小整數,試求n之值?
(100高師大附中代理,https://math.pro/db/thread-1286-1-1.html)

8.
\( x_i \)為整數且\( -1 \le x_i \le 2 \),\( x_1+x_2+...+x_{2012}=19 \),\( x_1^2+x_2^2+...+x_{2012}^2=219 \),若\( x_1^3+x_2^3+...+x_{2012}^3 \)最大值為M,最小值為m,則數對\( (M,m) \)為何?
這裡還有相同類型的題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=980&page=1#pid2322

計算證明題
2.
z為複數,試解方程式\( (z+1+10i)(z+1+11i)(z+1+13i)=-3570i \)

設方程式\( z(z+i)(z+3i)=2002i \)有一根為\( a+bi \),其中a,b皆表正實數,試求a之值為?
(A)\( \sqrt{118} \) (B)\( \sqrt{210} \) (C)\( 2\sqrt{210} \) (D)\( \sqrt{2002} \) (E)\( 100\sqrt{2} \)
(2002AMC12)

3.
設△ABC為任意三角形,以\( \overline{AB} \)、\( \overline{BC} \)、\( \overline{CA} \)各為一邊向外作一正三角形,分別為△ABD、△BCE、△CAF。證明:△ABD、△BCE、△CAF的重心\( G_1 \)、\( G_2 \)、\( G_3 \)形成的三角形為正三角形。
拿破崙定理,書上看過但不會想到要準備這題

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-8-10 08:51 AM 編輯 ]

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補充資料.rar (234 KB)

2012-4-30 07:48, 下載次數: 4542

從一題矩陣的試題談起.pdf (142.11 KB)

2013-8-10 08:51, 下載次數: 3298

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那些年我們一起考的教甄  XDD


同事考完有打電話問我

填充1我是用tan的和角公式,先轉成特殊角,150、30
然後就只剩 tan1 而已,化簡一下就可以得到

我另一位同事用偷吃步,因為三個角相差60度,
所以答案應該是固定的,所以他把題目的三個tan換成 tan120、tan60、tan0,
果然答案還是一樣 = =!!

這一題格式太特殊,我想應該還有別的漂亮解法(如根與係數、變換…等等)


計算證明題3
目標:三角形的三邊長相等
方法摘要:利用「餘弦定理」、「cos的和角公式」、「三角形的面積公式absinC/2」
     就可以求出 \(\LARGE x^2=y^2=z^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}+\frac{2\sqrt{2}Area(ABC)}{3}\)
     其中 x,y,z 表示要證的三角形G1G2G3的三邊長, a,b,c 表示三角形 ABC 的三邊長

細節我就不寫了,但其實過程會蠻漂亮
不過我想應該還有其它方法,再想過吧 ^^

[ 本帖最後由 poemghost 於 2012-4-29 11:10 PM 編輯 ]
越學越多,越發現自己是多麼渺少...微不足道

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今年的考試難度好像都提高了,分數蠻驚人的。囧

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計算2
求(z+1+10i)(z+1+11i)(z+1+13i)=-3570i 的解
因為3570=14*15*17
原式改為[(z+1-4i)+14i]*[(z+1-4i)+15i]*[(z+1-4i)+17i]=-3570i
令x=z+1-4i ,即求(x+14i)*(x+15i)*(x+17i)=-3570i的解
展開後得x^3+46i*x^2-703x-3570i= -3570i
x(x^2+46i*x-703)=0
x=0或x=-23i+174^0.5 或 -23i-174^0.5
還原z=-1+4i 或 -1-19i +174^0.5或 -1-19i -174^0.5

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引用:
原帖由 poemghost 於 2012-4-29 10:53 PM 發表
那些年我們一起考的教甄  XDD


同事考完有打電話問我

填充1我是用tan的和角公式,先轉成特殊角,150、30
然後就只剩 tan1 而已,化簡一下就可以得到

我另一位同事用偷吃步,因為三個角相差60度,
所以答案應該是固定的,所以 ...
計算3可以用複數做~

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第10題96政大附中第6題
(1)原式
(2)x用(x-1)/x代
(3)x用-1/(x-1)代
(三式相加)/2-(2)可得f(x)

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填充九

第九題我提供一下我的想法

整理過程有用到三倍角 & 和角公式

原諒我比較懶惰    直接上傳計算過程的圖檔

也許有其他作法 也歡迎提出來一起討論

附件

DSC01639.JPG (38.67 KB)

2012-4-30 12:46

DSC01639.JPG

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請問有人能提供全部的答案嗎?雖然有一兩題題目"比較"簡單~但自己算完還是很不確定怕怕的>"<

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請教計算第一題

我是設FD=x, EB=y , 用餘弦定理,或和角
一直做不出來
試了很多方法,就是差一步



謝謝

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