要有考場的感覺除了限制時間之外,我來提供比較不一樣的方法

95,96,97年時我還在舊的選聘網準備教甄時，我就嘗試著回答別人的問題
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/forumdisplay.php?f=24　(連結已失效)
那時候論壇的人氣相當活躍，一個問題發表出來沒幾分鐘就有人回應，若解法有問題或是看不懂的地方還可以回覆文章請教，你要搶第一時間發文而且要讓別人來檢視你的答案，我覺得這種緊張感是最接近考場的感覺。也感謝那時許多考友的幫忙，讓我的功力增進不少，甚至我連考題的出處都背起來了。
考試前10分鐘的預備時間，我心裡並不會感到緊張，我回想準備過的題目、公式、速解法，甚至興奮地想要看看等會考試會出現什麼新鮮題目，翻開考卷看到老梗題時還會在心裡說賺到了。
當你的成績開始進步，開始通過初試，甚至榜單開始出現你的名字，你會發現你離正取越來越近了。

我以最近遇到的題目為例
設\( \displaystyle f(a,b)=(61-a-28b)^2+(62-a-29b)^2+(60-a-30b)^2+(58-a-31b)^2+(59-a-32b)^2 \)，當\( f(a,b) \)有最小值時，求此時數對\( (a,b)= \)？
(102文華高中，https://math.pro/db/thread-1579-1-1.html)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9045

112.7.4補充
設\(a,b\)為實數。根據迴歸直線的理論可知，平方和
\([5-(a\cdot 4+b)]^2+[5-(a\cdot 6+b)]^2+[7-(a\cdot 8+b)]^2+[9-(a\cdot 10+b)]^2+[9-(a\cdot 12+b)]^2\)在數對\((a,b)=\)　　　時得到最小值。
(112新竹高中代理，https://math.pro/db/thread-3765-1-1.html)

同一時間有我,weiye,寸絲,thepiano解題，各發表出四個不同的解法，當初我第一時間採用偏微分的方法時就遇到了麻煩，對a偏微分還比較好算，但對b偏微分時數字就很大，但你不算就無法解聯立方程式得到最小值時的a,b。
這時我心裡就想還有沒有其他方法，但我只想到全部乘開再重新湊完全平方式，但顯然這種方法也不可行，我再回頭看看我所得到的\( a=60-30b \)還可以怎麼用，才注意到60和30都和其他數字都很接近，只要將a替換掉整個式子的數字就變小了，於是就找到問題的解法。

看看其他人的方法，用迴歸直線或用算術平均數的概念解題，這些方法都很棒但我當時就沒想到。我只想到偏微分的方法而已，在這種壓力下所得到的經驗是彌足珍貴的，因為這會成為你的致勝武器。
隔天我又遇到一題類似題，這次讓你想看看要用什麼方法
當\( f(x,y)=(1-2x-y)^2+(3-x-y)^2+(7-4x-y)^2+(6-5x-y)^2+(3-3x-y)^2 \)有最小值時，此時實數數對\( (x,y)= \)？

當然大家可能會想萬一解錯了不就很丟臉，但現在錯了總比在考場錯來的好。就像102中正高中廣義的科西不等式這題，寸絲發訊息說第一小題有問題
https://math.pro/db/thread-1576-1-1.html
我也沒有將我的答案刪掉，反而是將人家寶貴的意見列出來，提醒更多人要如何正確的解題。

103.1.11補充
找\( 2x^2+y^2+(2x-y+3)^2 \) 的最小值。
https://math.pro/db/thread-1790-1-1.html
weiye提供了很多解法，那假如我將題目條件換一下，哪些方法還能用哪些方法卻不能用了？
求\( 2x^2+(y-4x)^2+(2x-y+3)^2 \)的最小值。


105.5.22補充
請問欲使\( f(a,b)=(a+b-2)^2+(a+2b-3)^2+(a+3b-5)^2+(a+4b-8)^2 \)有最小值，此時的實數數對\((a,b)=\)？
(105中科實中，https://math.pro/db/thread-2509-1-1.html)

107.1.31補充
教育部高中數學學科中心高中數學電子報第130期　一題多解之趣求兩變數平方和的最小值
https://ghresource.k12ea.gov.tw/uploads/1644392174059ipDcNQAm.pdf

110.2.10補充
函數\(f\)的定義為\(f(x,y)=x^2+4xy-10x+5y^2-24y+35\),其中\(x,y\)為實數。則函數\(f\)的最小值為　　　。
(109高中數學能力競賽　新北市複試筆試二，https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html)

110.2.15補充
考慮所有的實數\(x\)與\(y\)，\((xy-1)^2+(x+y)^2\)最小可能的值為何？
(A)0　(B)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(D)1　(E)2
(2021AMC12A，https://math.pro/db/thread-3465-1-1.html)

113.6.15補充
設函數\(f(x,y)=x^2-xy+y^2+2x-3y+5\)，當數對\((x,y)=\)　　　時，\(f(x,y)\)有最小值。
(113花蓮女中，https://math.pro/db/thread-3889-1-1.html)

113.1.30補充
設\(\vec{a}=(1,5,7),\vec{b}=(3,4,5),\vec{c}=(1,1,1)\)，且\(x,y\)為實數，則\(|\;\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}|\;\)之最小值為　　　。
(102北一女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1568&page=2#pid7735)
另解，看成點到平面的距離https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1568&page=1#pid7734

113.6.20補充
設\(\vec{a}=(5,-5,-2),\vec{b}=(2,1,-2),\vec{c}=(2,-2,1)\)，則\(|\;\vec{a}+t\vec{b}+s\vec{c}|\;\)的最小值=　　　。
(106麗山高中，https://math.pro/db/thread-2742-1-1.html)

112.4.27補充
已知\(\vec{OA}=(1,2,3)\)、\(\vec{OB}=(1,-1,0)\)、\(\vec{OC}=(1,-2,1)\)，當\(|\;\vec{OA}-x\vec{OB}-y\vec{OC}|\;\)有最小值m時，數對\((x,y,m)=\)？
(112高雄中學，https://math.pro/db/thread-3727-1-1.html)

112.6.6補充
設空間中三向量\(\vec{u}=(2,0,-2)\)、\(\vec{v}=(0,1,2)\)、\(\vec{w}=(-1,1,0)\)，二實數\(s,t\)，則向量長度\(|\;\vec{u}+s\vec{v}+t\vec{w}|\;\)的最小值為　　　。
(112新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html)

113.5.26補充
若\(\vec{a}=(-2,2,1),\vec{b}=(1,3,2),\vec{c}=(-2,3,1)\)，則當\(|\;\vec{a}-s\vec{b}-t\vec{c}|\;\)有最小值時，\((s,t)=\)　　　。
(113高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3877-1-1.html)

112.4.29補充
設\(a,b\)皆為實數，求當\((a-41b-33)^2+(a-42b-34)^2+(a-40b-35)^2+(a-39b-32)^2+(a-38b-31)^2\)為最小值時的\((a,b)=\)？
(112六家高中，https://math.pro/db/thread-3737-1-1.html)

112.7.25補充
設\(f(a,b)=(a+b-2)^2+(a+2b-3)^2+(a+3b-5)^2+(a+4b-8)^2\)，當\(f(a,b)\)有最小值時，求數對\((a,b)=\)　　　。
(112東石高中，https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html)

同感，寸絲自認為是實力存在考場之外的人。但實際情況上，其它人也好不到哪去吧，不是只有你一個人在緊張在懊惱。

為什麼？因為，考試是很現實的限時作答。因為有時限，所以做題的順序必然是先挑看過會寫的題型

寫完之後，剩下來的事：檢查驗算或處理其它題目。有限時間加上過多的空格，就會發生，這題想想...沒有頭緒

換一題，也許另一題比較簡單。就這樣換來換去，時間就這樣渡過，也許做出了幾題，又遺留了幾題。

幾次的教甄之後，發現其實計算錯誤及遺漏、看錯題，不比這些遺珠之憾來得少

與其把時間花在上面，也許不如仔細驗算檢查 (當然每個人的情況不一樣)

前文 weiye 老師說了限時模擬考試。我也是採同樣的做法，只是通常限制時間是更短的 80 分鐘或 90 鐘。

把時限練好，至於和考場的時差，和拿來做什麼，就看自己的決定。

還有，沒有人不犯錯，即使像我今年無壓力地偷某試題時，有也有一題忘記平方 \( a^2 + b^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 \), 一題不小心看錯題目

類似的錯誤，很頻繁常見，而我的態度是

1. 降低出錯率，每場考試，除了筆試過或不過，還要算算自己這場發揮了多少？是 7 成、8 成，還是只有 6 成？

2. 如果發揮的比上不去，那就提升分母，也就是更加緊地練習筆試，以增提升功力，練到，即使只有 6 成發揮，也要考進複試

其實這幾年的題目看下來，能把考古題練熟，考九成以上的學校，應該都有 50 分以上了(通常這分數跟進複試的門檻差不多)
要達到更高的分數，小弟覺得有 2 個方向可以試試

1. 同類型的題目要一起準備，這個部份，bugmens兄已多有提示，寸絲兄的分享檔也是如此，再加上思考某個類型的題目還能怎麼考，就比較全方面了

舉個常見的考古題：
有二個首項皆為 2 的數列 ＜a_n＞、＜b_n＞，且對於所有的自然數 n，滿足
a_(n+1) = 3a_n + 4b_n
b_(n+1) = 2a_n + 3b_n
求 a_n 和 b_n

若題目改成以下這樣呢？
a_(n+1) = 3a_n + 4b_n + 2
b_(n+1) = 2a_n + 3b_n + 2

2. 不要只看別人精采的解法，要揣摩他的思路與所用方法的基本觀念為何，不懂他用的觀念就要補足，想不出來他如何下手的就直接或私下請教，這些已經考上的高手，一定都是不吝分享

最後，每年都會出現神人，像去年的寸絲兄，今年的建北雙榜首及文華滿分者。
不過，這些神人都只能佔一個缺，而這幾年數學科的缺都在 100 個左右
當您練到某個實力，自然就水到渠成，所謂先求有再求好，祝福您！

回答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=4#pid9314 insel的疑問

既然寸絲將這單元取名為"Fubini定理"，那妳就要先知道什麼是Fubini定理。
請參考游森棚老師所寫的文章
連結已失效h ttp://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=14687

107.9.9補充
在2013年在科學月刊發表的"算兩次"文章，內容大同小異
連結已失效h ttp://scimonth.blogspot.tw/2013/12/blog-post_5.html

整篇最重要的觀念就是
用兩個方法算同一個量, 結果會一樣


回到寸絲筆記math note 01-10第2.6單元　富比尼定理
求:\( \displaystyle 1 \times (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100})+3 \times (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots +\frac{1}{99}+\frac{1}{100}) \)
\( \displaystyle +5 \times (\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots \frac{1}{99}+\frac{1}{100})+\ldots+197 \times (\frac{1}{99}+\frac{1}{100})+199 \times \frac{1}{100} \)
(100麗山高中2招，https://math.pro/db/thread-1164-1-1.html)
(113台北市立陽明高中，https://math.pro/db/thread-3864-1-1.html)
[解答]
原本題目是橫的總和，改算直的總和，結果當然一樣
\( \matrix{1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　& \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　& \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　& \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　& \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　& \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　& \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　& \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　& \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　&　& \ldots &　&　\cr
　&　&　&　& \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　&　&　&　& \frac{1}{100}} \)
－－－－－－－－－－－－－－－－－
\( \displaystyle 1 \times 1+4 \times \frac{1}{2}+9 \times \frac{1}{3}+ \ldots +99^2 \times \frac{1}{99}+100^2 \times \frac{1}{100}=5050 \)

111.2.14補充
計算\(\displaystyle 1\times(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+3\times(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+5\times(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+7\times(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+9\times \frac{1}{5}=\)？
(A)13　(B)14　(C)15　(D)16
(106台北市國中聯招)

103.9.6補充
若\( log_5 144^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{10}}+2 log_5 144^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{10}}+3 log_5 144^{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{10}}+\ldots+9 log_5 144^{\frac{1}{10}}=a log_5 2+b log_5 3 \)，則\( a+b= \)？
(103新化高中，https://math.pro/db/thread-2022-1-1.html)
(105桃園高中，https://math.pro/db/thread-2489-1-1.html)
[提示]
\( \displaystyle 1(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{10})+2(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{10})+3(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{10})+\ldots+9(\frac{1}{10}) \)

\( \displaystyle =(1)\frac{1}{2}+(1+2)\frac{1}{3}+(1+2+3)\frac{1}{4}+\ldots+(1+2+\ldots+9)\frac{1}{10} \)

105.5.6補充
計算\( \displaystyle \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2006} \right)+\left( \frac{2}{3}+\frac{2}{4}+\ldots+\frac{2}{2006} \right)+\left( \frac{3}{4}+\ldots+\frac{3}{2006} \right)+\ldots+\left( \frac{2004}{2005}+\ldots+\frac{2004}{2006} \right)+\frac{2005}{2006} \)
(2006青少年數學國際城市邀請賽　個人賽)

105.5.6補充
計算\( \displaystyle \frac{1}{1}+\left( \frac{2}{1}-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{3}{1}-\frac{2}{2}+\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{4}{1}-\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4} \right)+\ldots+\left( \frac{9}{1}-\frac{8}{2}+\frac{7}{3}-\frac{6}{4}+\ldots+\frac{1}{9} \right) \)
(建中通訊解題　第96期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

108.5.18補充
設\(a,b,c,d \in R,abcd \ne 0\)，且\(a+b+c+d=0\)，則
\(\displaystyle a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{d}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+d(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)之值為　　　。
(108麗山高中，https://math.pro/db/thread-2742-1-1.html)
[提示]
\(\matrix{\displaystyle 　&+&\frac{a}{b}&+&\frac{a}{c}&+&\frac{a}{d} \cr
\frac{b}{a}&+&　&+&\frac{b}{c}&+&\frac{b}{d} \cr
\frac{c}{a}&+&\frac{c}{b}&+&　&+&\frac{c}{d} \cr
\frac{d}{a}&+&\frac{d}{b}&+&\frac{d}{c}&+&　 \cr}\)
－－－－－－－－－－－－－－－－－


\( y=[\; x ]\; \)表高斯函數，求\( \displaystyle\Large\sum_{k=1}^{40}\left[10^{\frac{k}{40}}\right] \)
(101文華高中，https://math.pro/db/thread-1333-1-3.html)
[解答]
觀察函數\( y=10^{\frac{x}{40}} \)的圖形，要計算格子點的個數。

101文華高中.gif (13.25 KB)

2013-10-12 15:23

原本應該直著算(\( x=1 \)有1個點，\( x=2 \)有1個點，...，\( x=39 \)有9個點，\( x=40 \)有10個點)
改成橫著算，也就是\( \displaystyle \Large 10^{\frac{x}{40}}\ge j \)，\( x \ge 40 \times log(j) \)，會有幾個x值(當然\( x \le 40 \))
\( j=1 \)，\( x \ge 40 log(1)=0 \)，有40個點
\( j=2 \)，\( x \ge 40 log(2)=12.0411 \)，有28個點
\( j=3 \)，\( x \ge 40 log(3)=19.0848 \)，有21個點
\( j=4 \)，\( x \ge 40 log(4)=24.0823 \)，有16個點
\( j=5 \)，\( x \ge 40 log(5)=27.9588 \)，有13個點
\( j=6 \)，\( x \ge 40 log(6)=31.1260 \)，有9個點
\( j=7 \)，\( x \ge 40 log(7)=33.8039 \)，有7個點
\( j=8 \)，\( x \ge 40 log(8)=36.1235 \)，有4個點
\( j=9 \)，\( x \ge 40 log(9)=38.1697 \)，有2個點
\( j=10 \)，\( x \ge 40 log(10)=40 \)，有1個點
共141個格子點


\( \displaystyle \sum_{k=1}^{2013} \Bigg[\; \root 5 \of{\frac{2013}{k}} \Bigg]\; \)
(102建國中學，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=1#pid7760)
[提示]

102建國中學.gif (9.39 KB)

2013-10-12 15:23

這就可以解釋為什麼寸絲要計算\( \displaystyle \Bigg[\; \root 5 \of{\frac{2013}{k}} \Bigg]\; \ge n \)，\( \displaystyle \frac{2013}{k}\ge n^5 \)，\( \displaystyle \frac{2013}{n^5}\ge k \ge 1 \)
\( n=1 \)，\( \displaystyle \frac{2013}{1^5}\ge k \)，有2013個點

\( n=2 \)，\( \displaystyle \frac{2013}{2^5}\ge k \)，有62個點

\( n=3 \)，\( \displaystyle \frac{2013}{3^5}\ge k \)，有8個點

\( n=4 \)，\( \displaystyle \frac{2013}{4^5}\ge k \)，有1個點
共2084個點

113.1.27補充
說明：本題中\([\;x ]\;\)為高斯符號，表示小於或等於x的最大整數，例如：\([\;\sqrt{2} ]\;=1\)、\([\;7 ]\;=7\)。
求\(1000~2022\)連續正整數的四次方根後再取高斯符號之總和
即求\([\;\root{4}\of {1000}]\;+[\;\root{4}\of {1001}]\;+[\;\root{4}\of {1002}]\;+\ldots+[\;\root{4}\of {2021}]\;+[\;\root{4}\of {2022}]\;\)的值為　　　。
(111台中一中科學班，https://acad.tcfsh.tc.edu.tw/zh_tw/science/cos11)


我想寸絲應該是參考高中數學競賽教程第32講　福比尼原理 所以才用集合的寫法
而我是參考单壿老師所寫的書"算两次"，在第3章　格點計算 有討論類似的問題，用的是幾何的方法
另外書上還有一些問題可以讓各位練習看看
1.設\( p,q \)為互質的自然數，證明\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{p}{q} \Bigg]\;+\Bigg[\; \frac{2p}{q} \Bigg]\;+\ldots+\Bigg[\; \frac{(q-1)p}{q} \Bigg]\;=\frac{(p-1)(q-1)}{2}  \)

2.設\( p,q \)為互質的自然數，證明\( \displaystyle \sum_{m=1}^{[1/2(q-1)]}\Bigg[\; \frac{mp}{q} \Bigg]\;+\sum_{n=1}^{[1/2(p-1)]}\Bigg[\; \frac{nq}{p} \Bigg]\;=\Bigg[\; \frac{p-1}{2} \Bigg]\; \times \Bigg[\; \frac{q-1}{2} \Bigg]\; \)

3.設n為自然數，證明\( \displaystyle [\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+\ldots+[\sqrt{n^2}]=\frac{1}{6}n(4n^2-3n+5) \)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
112.4.25補充
對集合\(\{\;1,2,\ldots,n \}\;\)的每一個非空子集定義"交錯和"如下：將該子集的元素依遞減次序排列，然後從最大的數開始交錯地減或加後繼的數(例如子集\(\{\;1,2,4,6,9 \}\;\)的交錯和是\(9-6+4-2+1=5\)。\(\{\;5 \}\;\)的交錯和是5)。求全部"交錯和"的總和\(S\)。

解　直接從定義入手去計算\(S\)，顯然是困難重重。我們尋找另一種計算\(S\)的方法。
　　從元素入手。每一個小於\(n\)的元素\(a\)，如果在不含\(n\)的子集\(A\)中，那麼它也在含\(n\)的子集\(\{\;n \}∪A\;\)中，反之亦然。如果它對集合\(A\)的交錯和貢獻為\(+a\)(若\(-a\))，那麼它對集合\(\{\;n \}∪A\;\)的交錯和貢獻為\(+a\)(若\(-a\))，反之亦然。於是，\(a\)對各個子集的交錯和貢獻兩兩抵消。\(a\)對於總和\(S\)的貢獻為0。
　　元素\(n\)，對每個含\(n\)的子集的交錯和，貢獻為\(n\)。而含\(n\)的子集有\(2^{n-1}\)個。所以\(n\)對總和\(S\)的貢獻為\(n\cdot 2^{n-1}\)。綜上所述，\(S=n\cdot 2^{n-1}\)。
(單墫，算兩次P54)

\(M\)是集合\(S=\{\;1,2,3,\ldots,9 \}\;\)的子集，將\(M\)中各元素由大到小排列，最大的數維持原值，次大的數變號，第三大的數又維持原值，第四大的數變號，\(\ldots\)，再將經過這種程序處理過的數相加，稱為\(M\)的交錯和。(例如\(M=\{\;9,7,4,3,1 \}\;\)，則其交錯和為\(9-7+4-3+1=4\))。求所有\(S\)的子集的交錯和的和。
(96南港高工日間部)

對於{1,2,3,4,5,6,7}的每一個非空子集，我們將子集內的元素依遞減排列，且正負號依序交錯，並計算其值。舉例來說，對於子集{5} 我們得到 5；對於子集{6 , 3 , 1} 我們得到6-3+1=4；試求所有的結果數字的總和是多少？
https://math.pro/db/thread-3073-1-1.html

\(X\)為有限集合，定義函數\(f(X)\)為\(X\)內最大的數，減第二大的數，加第三大的數，減第四大的數，\(\ldots\)，依此類推。
例如：\(f(\{\;3,6,10,1 \}\;)=10-6+3-1=6\)，\(f(\{\;3,6,10,2,4 \}\;)=10-6+4-3+2=7\)。若\(A=\{\;1,2,3,4,\ldots,112 \}\;\)，而\(X\)為\(A\)中的非空子集，則所有\(f(x)\)的和為　　　。
(112台北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3729-1-1.html)

請問有人看過"高中數學精粹1,3,5"嗎?
https://boukai.wordpress.com/201 ... 學精粹①③⑤/
是一般的參考書嗎?
市面上的書局都沒進貨
有人可以分享嗎?
感謝

剛才花了半小時騎機車到北投的日昇書局看看這本書的內容，但書架上只有"高中數學精粹①"，我就我看到的為各位說明

整本書195頁，每章一開始有簡單的重點摘要，接下來就是練習題，只是練習題下面有很大一塊的空白讓妳寫計算式，它的詳解是另外放在後面，難怪整本書只有三章而已，所以整本書收錄的題目沒有想像中的多。

至於收錄的題目大多是名校高中的段考題或學測指考題，再搭配其他國家的競賽試題，題目有比較難只是取向比較不切合教師甄試會出的題目。

這裡有其他書局的地址，你可以就近看看書的內容是否符合你的需要
http://boukai.wordpress.com/

之前教甄題目若有出自全國高中數學能力競賽，我都會引用游森棚教授在高雄大學的歷屆試題網頁。
希望考生不要只有注意考古題，有些教甄題目也會從全國高中數學能力競賽出題。
或許決賽的題目對教甄還是太難了，但過去還是考了很多複賽的題目，値得考生用心準備。
只是游教授已經到臺灣師大任教，他在高雄大學的網頁也都刪除了。
之後我要花更多心力將失效的連結更新，所以以後再有引用能力競賽的教甄題目就統一在這裡發表。

感謝中一中數學科老師將86-101年的複賽和決賽試題公佈在數學科網頁
h ttp://www.tcfsh.tc.edu.tw/knowledge/know_fodview.asp?id={B1FFD9BD-7711-4CCC-A006-DC34A9E747BF}　(連結已失效)

mathpro關於全國高中數學能力競賽的討論文章
95高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-1770-1-1.html
97高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html
98高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-911-1-1.html
99高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html
100高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-1349-1-3.html
101高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html
102高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html
103高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html
104高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html
105高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-2608-1-1.html
106高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-3579-1-1.html
109高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html
110高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html
111高中數學能力競賽，沒有公告題目https://sites.google.com/mail.nk ... /%E9%A6%96%E9%A0%81
112.8.21補充
111高中數學能力競賽題目公布在決賽總報告
113.11.10補充
連結已失效h ttps://drive.google.com/file/d/1n-g-i6hhKU_emnwOhB608u3hZeRWbnl2/view?usp=share_link
112高中數學能力競賽網頁，目前沒有題目
https://sites.google.com/mail.nk ... 8%E5%B9%B4%E5%BA%A6
113高中數學能力競賽https://math.ncue.edu.tw/p/404-1042-26665.php
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103.5.24補充
有一遊戲規則如右：在下圖中每一直行、每一橫列及每個小四方格裡，只有1到4的數字，每個數字在每個行列及每個小四方格裡都只出現一次，滿足這些條件的填法稱為一種解法。考慮方格不可旋轉或翻轉，則共有種解法。
１２３４
４３１２
２１４３
３４２１
(94全國高中數學能力競賽　北區第二區　筆試(二)試題，h ttp://www.tcfsh.tc.edu.tw/mediafile/4190020/knowledge/62/2/62/2012-11-26-17-16-37-nf1.pdf　(連結已失效))

有紅,黃,藍,綠四種顏色，要從右圖中任取4小格塗色，且顏色不重複使用，每1小格只塗一色，但同一行，同一列皆只能塗1小格，則有　　種不同的塗法。
(100永春高中代理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1190&page=2#pid4897)

4乘4的數獨是用1,2,3,4填入4乘4的方格中。每一行及每一列都須包含1~4，不能缺少也不能重複，粗線圍起來的區域(正方形的4格)也是填入1~4，不能缺少也不能重複。今將1~4填入這16格且要符合上述規則，則共有　　種不同的方法。
(103臺中二中，https://math.pro/db/thread-1901-1-1.html)

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103.6.5補充
若多項式\( (1+x+x^2+x^3+x^4)^{11} \)的展開式為\( 1+a_1x+a_2x^2+a+\ldots+a_{43}a^{43}+x^{44} \)，試求實數\(  a_{2} \)之值。
(90全國高中數學競賽　高屏區)

多項式\((1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8)^{10}\)的展開式中\(x^6\)項的係數為　　　。
(93台南女中，https://math.pro/db/thread-3491-1-1.html)

\( (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^6 \)的\( x^{15} \)項係數。
(103武陵高中，https://math.pro/db/thread-1902-1-1.html)

105.4.30補充
若多項式\( (1+x+x^2+x^3+x^4)^{11}=1+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{43}x^{43}+x^{44} \)，試求\( a_6= \)？
(105彰化高中，https://math.pro/db/thread-2492-1-1.html)

113.4.24補充
求\((1+x+x^2+x^3)^6\)展開式中\(x^5\)的係數=　　　。
(113彰化女中，https://math.pro/db/thread-3845-1-1.html)
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103.6.5補充
已知\( sin \alpha+sin \beta+sin \gamma=0 \)以及\( cos \alpha+cos \beta+cos \gamma=0 \)試求
(1)\( cos 2 \alpha+cos 2 \beta+cos 2 \gamma= \)？
(2)\( sin^2 \alpha+sin^2 \beta+sin^2 \gamma= \)？
(89全國高中數學競賽　屏東區試題(一))

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103.6.5補充
設f為由實數映到實數的函數且f不為零函數。若對任意實數x,y，\( f(x+yf(x))=f(x)+xf(y) \)皆成立，試證明：對每一個正整數n，\( f(n)=n \)。
(88全國高中數學競賽　台中區複賽試題(一))

定義f是由自然數集映至自然數集的函數，若任意正整數\( x,y \)恆有\( f(f(x)+f(y))=x+y \)，求\( f(2014) \)之值。
(103松山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1869&page=2#pid10096)
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103.8.28補充
試求\( \displaystyle \sqrt{6+2 \sqrt{7+3 \sqrt{8+4 \sqrt{9+\ldots}}}} \)之值。
(88全國高中數學能力競賽(一)台南一中)
https://math.pro/db/thread-2017-1-1.html
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103.8.28補充
求聯立方程組\( \cases{\displaystyle x+\frac{1}{x}=y \cr y+\frac{1}{y}=z \cr z+\frac{1}{z}=x} \)之實數解。
(88全國高中數學能力競賽(二)台南一中)
更多輪換方程組題目，https://math.pro/db/thread-2020-1-2.html

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104.5.2補充
對\( x>0 \)，函數\( g(x)=\sqrt{x^2+(log x)^2}+\sqrt{(4-x)^2+(6+log x)^2} \)的最小值為何？
(96高中數學能力競賽　新竹區試題，96苗栗縣國中聯招)
(104桃園高中，https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)

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104.7.5補充
已知\( \alpha>0 \)，且\( \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} \)為一正整數，求\( \alpha= \)？
(99高中數學能力競賽　第二區(新店高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html)
(104新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-2279-1-1.html)


105.4.30補充
設\(x\)為正實數，且\(n=\root 3 \of{3+\sqrt{x}}+\root 3 \of {3-\sqrt{x}}\)，而\(n\)為正整數，求\(x\)之值。
(建中通訊解題　第120期)
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105.4.30補充
設\( \matrix{\displaystyle \omega=cos \frac{2 \pi}{7}+i sin\frac{2 \pi}{7}, \cr \alpha=\omega+\omega^6=2 cos\frac{2 \pi}{7},\cr \beta=\omega^2+\omega^5=2 cos \frac{4 \pi}{7},\cr \gamma=\omega^3+\omega^4=2cos \frac{6 \pi}{7}} \)求以實數\( \alpha,\beta,\gamma \)為三根的三次方程式為　　　。
(88高中數學能力競賽　第一區(花蓮高中)筆試二試題)

112.7.4補充
若多項式方程式\(x^3+ax^2+bx+c=0\)的三個根為\(\displaystyle cos \frac{2\pi}{7}\)、\(\displaystyle cos \frac{4\pi}{7}\)、\(\displaystyle cos \frac{6\pi}{7}\)，其中角度是弳度，則乘積\(abc\)之值為多少？　　　
(112新竹高中代理，https://math.pro/db/thread-3765-1-1.html)

若\( \displaystyle \frac{n}{100}<2 cos \frac{2 \pi}{7}<\frac{n+1}{100} \)，\( n \in N \)，則\(n=\)。
(99建國中學，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=968&page=1#pid2218)

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105.4.30補充
例用三根10公尺的竹竿，沿著河岸圍出一個等腰梯形。試問此等腰梯形的最大面積為　　　平方公尺
(88高中數學能力競賽　第一區(花蓮高中)筆試二試題)

用3枝10公尺長的竹竿，沿著河岸圍出一個等腰梯形。試求此等腰梯形的最大面積。
(103鳳新高中，https://math.pro/db/thread-1928-1-1.html)
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106.7.22補充
設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數，且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\)，則\(\displaystyle f(\frac{1}{3})=\)　　　。
(102高中數學能力競賽　北三區(新竹高中)筆試二試題

設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數，且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\)，求\( \displaystyle f(\frac{2}{3})\)。
106羅東高中，https://math.pro/db/thread-2801-1-1.html)
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106.7.24補充
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的黃球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求：小紅球的最大半徑為　　　單位。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題)

一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的大球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小球。問：小球的最大半徑為　　單位。
(100華江高中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1177&page=1#pid3990)

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108.5.8補充
(1)描繪出函數\(y=-2+\sqrt{-x^2+6x+7}\)的圖形。
(2)求定積分\(\displaystyle \int_{-1}^7 -2+\sqrt{-x^2+6x+7}dx\)。(請試以高中理科數學所教定積分與面積關係解之)
(89高中數學能力競賽 高屏區)

求\(\displaystyle \int_{-1}^7 -2+\sqrt{-x^2+6x+7}dx\)。
(108麗山高中，https://math.pro/db/thread-3113-1-1.html)

113.4.21補充
定積分\(\displaystyle \int_{-1}^7 (-2+\sqrt{-x^2+6x+7})dx=\)　　　。
(113文華高中，https://math.pro/db/thread-3836-1-1.html)


設\(P\)為正方體\(ABCD-EFGH\)內部一點，今已知\(\overline{PA}=\sqrt{2},\overline{PB}=\overline{PD}=\sqrt{3},\overline{PE}=\sqrt{2}\)，試問此正立方體的稜長為？
(89高中數學能力競賽　宜花東區)
(108麗山高中，https://math.pro/db/thread-3113-1-1.html)

設\(P\)為正立方體\(ABCDEFGH\)內部一點，且滿足\(\displaystyle \overline{PA}=\overline{PB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)，\(\displaystyle \overline{PF}=\overline{PC}=\frac{\sqrt{107}}{2}\)，求此正立方體的邊長。
(100高中數學能力競賽　台中區複賽筆試二試題，https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)
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108.5.18補充
設\(\displaystyle a=7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)(有2013個7)，試求\(a\)的末兩位數為　　　。
(102高中數學能力競賽　北二區(新竹高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)

設\(\displaystyle 7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)總共2019個7，請問此數除以100的餘數為　　　。
(108新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3133-1-1.html)
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108.5.18補充
已知拋物線\(y=x^2+3x-1\)上有兩相異點對直線\(x+y=0\)成對稱，則此兩相異點的坐標為　　　。
(92高中數學能力競賽，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

已知拋物線\(y=x^2+7x+11\)上有兩相異點對直線\(x+y=0\)成對稱，則此兩相異點的坐標為　　　。
(103高中數學能力競賽　，https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html)

若拋物線\(y=mx^2-1\)上必存在著相異兩點會對稱於直線\(x+y=0\)，試求\(m\)的範圍。
(108板橋高中，https://math.pro/db/thread-3125-1-1.html)
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108.5.18補充
試求49除\(6^{98}+8^{98}\)的餘數。
(94高中數學能力競賽 高雄屏東區，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

設\(a_n=8^n+9^n+10^n\)，\(n=1,2,\ldots\)，試求\(a_{99}\)除以729的餘數。
(98高中數學能力競賽 台北市筆試一試題，https://math.pro/db/thread-911-1-1.html)

\(6^{108}+8^{108}\)除以343的餘數為　　　。
(108板橋高中，https://math.pro/db/thread-3125-1-1.html)
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109.5.3補充
實數\(x,y,z\)滿足\(\cases{\displaystyle x+y+z=-3 \cr \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{3} \cr x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=-24}\)，求\(x^2+y^2+z^2=\)　　　。
(94高中數學能力競賽　南區(高屏區)筆試二試題)
(109興大附中，https://math.pro/db/thread-3318-1-1.html)

在一個缺角棋盤的各水平線和鉛垂線的交會點上，分別標示數字，其中的\(x_1，x_2，\ldots，x_9\)等為未知數字。今假設每一個\(x_i\)恰為其相鄰的四個數字的平均數，例如\(\displaystyle x_1=\frac{1}{4}(4+2+x_2+x_4)\)，\(\displaystyle x_5=\frac{1}{4}(x_2+x_4+x_6+x_8)\)，試求\(x_5\)之值為　　　。
(97高中數學能力競賽　嘉義區複賽試題一，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)
(109興大附中，https://math.pro/db/thread-3318-1-1.html)
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109.6.2補充
設\(x,y\)為任意實數，則\((x-2cosy)^2+(3x^2+9-2siny)^2\)的最小值為　　　。
(94全國高中數學能力競賽　新竹區)

設\(x,y\)為任意實數，則\((x-2cosy)^2+(3x^2+8-2siny)^2\)的最小值為　　　。
(109中壢高中代理，https://math.pro/db/thread-3339-1-1.html)

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109.6.25補充
某一燈塔裝置了紅、黃、藍、綠、紫五種不同顏色的燈，每晚會點亮其中一種燈，且每一晚都是從前一晚未點過的四種燈中隨機點亮一種。設第1晚點亮紅色燈，則第6晚也點亮紅色燈的機率為　　　（以最簡分數表示）。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

設集合\(A=\{\;1,2,3,\ldots,102 \}\;\)共102個數，\(B\)、\(C\)為另2個集合，滿足\(B∪C=A\)，則這樣的\((B,C)\)共有　　　。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的黃球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求：小紅球的最大半徑為　　　單位。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

設\(a\)、\(b\)為正整數，若\(a^{20}\)為31位數，\(\displaystyle \left(\frac{1}{b}\right)^{20}\)自小數點以下25位才不為0，則\((ab)^5\)是　　　位數。
(104高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

將10個相同的小球裝入3個編號為1、2、3的盒子(每次要把10個球裝完)，要求每個盒子裡球的個數不少於盒子的編號數，這樣的裝法種數共有　　　種。
(104高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

設\(Q_1\)、\(Q_2\)為以原點\(O(0,0)\)為圓心的單位圓和\(x\)軸的兩交點。若上半圓上兩點\(P_1\)和\(P_2\)滿足\(∠P_1OP_2=45^{\circ}\)，則\(\Delta P_1OQ_1\)和\(\Delta P_2OQ_2\)面積和的最大值為　　　。
(105高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

將長\(\overline{AB}=240\)，寬\(\overline{BC}=288\)的長方形紙張對摺，讓頂點\(C\)剛好落在線段\(\overline{AB}\)的中點\(M\)上，若\(\overline{EF}\)是摺線，則摺線\(\overline{EF}\)的長度為多少？
(101高中數學能力競賽　花蓮區筆試一試題，http://pisa.math.ntnu.edu.tw/fil ... s_writtenexam_1.pdf)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

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給還在努力中的你的建議

1。一定要組讀書會
愈早愈好，每週定時都開讀書會，兩週安排一次試教
大家一起討論絕對會比閉門造車好，而且可以聽到許多不一樣的解題想法
讀書會成員要慎選，那種時間不能配合的、常常搞不清狀況的就不行
總召要有執行力、成員也要全力配合，務求拼一年就考上！！

2。寫題目、量不必多，但質要精
我只有稍微翻數學101，然後對於近兩年的考古題「非常精熟」的做，逐題檢討
其實很多題目的解題概念，實在沒必要花太多時間做重複性高的題目

3。善用網路資源
(1)mathpro
(2)美夢成真教甄網
(3)FunLearn 數學討論區

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讀書會組成方式分享
時間：每週一次，三份考古題，成員輪流負責寫出詳解，隔週討論
把要討論的考古題全部列出來進行分配規劃

image1.gif (48.02 KB)

2014-8-28 21:09

我們會把詳解掃成電子檔放在google雲端

image2.jpg (104.83 KB)

2014-8-28 21:09

image3.jpg (122.82 KB)

2014-8-28 21:09

google雲端很好用，大家也可以把手邊各版本課本的電子檔上傳分享
準備的時候用平板就可以了

另外建立讀書會行事曆，上面定出討論、試教日期
考季到時，也可以把各學校報考日期放上去

image4.jpg (139.36 KB)

2014-8-28 21:09

平時溝通的平台是透過facebook
在上面會隨時更新讀書會的動態，在上面也可以放很多東西
例如試教完後會把照片放上去
h ttp://i.imgur.com/1lZuBaz.jpg　(連結已失效)

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讀書會目前，幾乎都上榜了，算是還蠻成功的
所以是建議各位如果已經要準備明年的教甄
現在就要開始準備組讀書會，規劃這一年的計劃了




以下是我的補充說明
　　math pro和美夢成真就有看不完的資料了，那為什麼還要組讀書會，但就我這幾年的觀察其實大多數的人都只是默默下載題目和看現成的解答而已，遇到看不懂或是解題時卡住的，除非身旁有人可以問否則就只能先擱著，看別人的解答不求甚解的吞下去，不僅容易忘掉而且考試時改個條件就解不出來了。而我在回答問題時也會將步驟寫的比較精簡，反正沒人提問就當你已經懂了。

　　但在讀書會可以互相討論，在討論的過程中大家腦力激盪，或許會有不一樣的想法出來。為什麼你會想到這個方法，這個方法要注意些什麼，題目換一下條件這個方法還能不能用，有哪些題目是適用這個方法…討論要能擦出火花就代表讀書會成員要慎選，只想收獲不想付出的、常常藉故不到的、還要分心準備教育科目的、搞不清楚是來交朋友還是準備考試的…所以在PTT的實習老師版在徵求讀書會成員時，可以寄站內信先了解彼此的需求，但是否是個好咖就要實際相處過才會知道。

經網友leo790124同意後將文章轉到這裡
僅節錄和筆試有相關的部份，其餘請參閱附件

三、 筆試
第一關的專業筆試相較於國中而言真的是難很多很多，而且高中大多獨招，每間學校的出題方向都不一致，不過考了很多很多間之後就會發現，其實大多學校仍採中規中矩的方式，就是填充題再搭配兩三題計算證明題，在教甄的筆試裡，考試時間短則90分鐘，長則120分鐘，我的作法是：拿到題目後我會先簡單瀏覽一下題目，看看哪些是不需要想就可以算的題目先做記號，然後看一下配分，舉個例子，如果計算證明有3題各10分，那填充有14題各5分，當然是先把握住計算題，當增加了基本分數之後，自己的心裡也會比較踏實一點，就可以比較從容的往下做題目，衝高分數。

前輩們所提供的書目大致其實差不多，高中數學101，寸絲筆記，mathpro論壇等等，但我大多都是先寫考古題，然後如果有碰到不會的就去mathpro查，然後就相關的主題和題型在整理，因為其實準備的範圍很廣，有的是基本的課內題，模擬考題，競賽題，所以一定要就相關的主題自己整理題型；舉個例子：遞迴數列就有一階、二階、分式型、什麼都不是等等，那每一種都會有特定的作法，有的要找規律，有的要用算的，同時搭配一下數學傳播或是其他的期刊文章，就可以加深很多的知識，可以把一些特殊的結果記下來，考試的時候就會比別人快很多。

論壇上面很多題目都有很多強手會PO出他們的做法，在整理的時候其實可以把自己可以理解的做法都記下來，如果太技巧的做法就要適時評估自己的能力，有些做法很漂亮，可是考試當下壓根不可能想的到，那你硬要用也是白搭，所以一題多解在教學現場或是思考時固然重要，可是在教甄的考試現場時，最重要的是一看到題目你就要果斷知道用哪個方法可以算出來，或許不是最快的，但是拿到分數才是第一要務，這樣的經驗並非能一蹴可幾，都是要多看多整理，才能消化成自己的東西。

市面上有一些比較有名的競賽，例如TRML，AMC，ARML、學科能力競賽等等，其實在考完的不久網路上幾乎都會有人會分享題目，如果行有餘力，其實可以做做看，將自己的知識再加廣一些，如果碰到還不錯或是類似的題型，也可以加以整理，永遠不知道你會不會在下一份考卷裡遇到它，當你準備累積了一百題如果有考出一題就值得了，如果整張考卷都沒看過會做的，一、那就代表自己努力還不夠；二、那就代表那考卷太難啦！無論如何，當你距離最低錄取分數愈來愈接近時，離第二階段就不遠了。

若實數\(a,b,c\)滿足\(\displaystyle \frac{a}{3}+\frac{b}{4}+\frac{c}{6}=\frac{a}{4}+\frac{b}{5}+\frac{c}{7}=\frac{a}{6}+\frac{b}{7}+\frac{c}{9}=1\)，則\(a+b+c=\)　　　
(113竹東高中，https://math.pro/db/thread-3883-1-1.html)

設\(c\)為大於1的實數，\(\Omega_c\)表二次曲線\(y=cx(1-x)\)與\(x\)軸所圍的封閉區域，若直線\(y=x\)將\(\Omega_c\)分成兩塊等面積的區域，求\(c\)的值為　　　。
(106興大附中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2749&page=1#pid17003)

若正四面體其中兩條對稜分別落在直線\(L_1\)：\(\cases{x=1+3t\cr y=2+6t\cr z=\sqrt{3}-5\sqrt{3}t},t\in R\)與直線\(L_2\)：\(\cases{x+2y=0\cr z=0}\)上，則此正四面體的體積為　　　立方單位。
(113師大附中二招)

平面坐標上兩個函數圖形\(\displaystyle y=f(x)=\sqrt{x},y=g(x)=\frac{x}{2}\)所圍成的區域假設為\(R\)，試分別求出將\(R\)(1)繞\(x\)軸　(2)繞\(y\)軸　一圈所得之旋轉體體積？
(99明倫高中)

已知多項式函數\(f(x)=2x^3-3x^2+4x-2\)，則\(\displaystyle \sum_{i=1}^{113}f\left(\frac{i}{113}\right)=\)　　　。
(113武陵高中)

設\(n\)為自然數，且\(\displaystyle \frac{n^3-3n^2+5n-13}{n-3}\)為質數，則滿足上述條件之所有自然數\(n\)的總和為
(A)10　(B)11　(C)12　(D)13
(99全國高中職聯招)

若整數\(n\)可使\(\displaystyle \frac{n^3+2024}{n+11}\)亦為整數，則\(n\)的最大值為　　　。
(113南港高工)

求最大的整數\(n\)使得\(\displaystyle \frac{n^3+108}{n+11}\)也是整數，\(n=\)　　　。
(108麗山高中)

數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_{n-1}=a_n+a_{n-2}\)，\(n\ge 3\)，設此數列前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(s_{2023}=2024\)，\(S_{2024}=2023\)，則\(S_{2025}=\)？
(113彰化高中)

\(x\)為正整數，\(1\le x\le 210\)，有多少\(x\)，滿足\(4^x-x^4\)為7的倍數。
https://math.pro/db/thread-3701-1-7.html
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\(m\)個相異正偶數與\(n\)個相異正奇數總和為1987，求\(3m+4n\)的最大值。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3186&page=3#pid20433

\(\overline{AB}\)為圓\(x^2+y^2=37\)上的一弦，若點\(P(1,2)\)在\(\overline{AB}\)上，且剛好為\(\overline{AB}\)的其中一個三等分點，試求直線\(AB\)的方程式。
101國立陽明高中，https://math.pro/db/thread-1433-1-1.html
110彰化女中，https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html
113竹東高中，https://math.pro/db/thread-3883-1-1.html

在坐標平面上，\( \displaystyle \frac{|\; 3x+2y |\;}{5}+\frac{|\; 7x+y |\;}{8}=1 \)所圍成的區域面積為何？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2264&page=3#pid13904

求拋物線\(y=-x^2+2x\)與直線\(y=-x\)的圖形所圍成之封閉區域繞\(x\)軸旋轉一圈所得之旋轉體的體積為　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1144&page=1#pid3652

設\(a\in R\)，若\(a+log_2 3\)，\(a+log_4 3\)，\(a+log_8 3\)是等比數列，求此等比數列的公比為　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=952&page=1#pid2527

方程式\(\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}-1=0\)的正根個數有多少個相關題目
https://math.pro/db/thread-1348-1-1.html

求整數 \(\displaystyle \left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]\) 的末尾兩位數字。相關題目
https://math.pro/db/thread-708-1-1.html

設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若曲線\(y=f(x)\)上，以\((2,-10)\)為切點的切線斜率為最小，且此時之切線通過原點，求
\(a,b,c\)之值及切線方程式　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=803&page=1#pid1501

設\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \)，\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \)，且α、β、γ為\( f(x)=0 \)之三根。
試求\( \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)} \)之值。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=807&page=1#pid1652

已知\(z\ne 1\)，且\(z^7=1\)，求\(z+z^2+z^4=\)　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3512&page=1#pid22742

已知\(\displaystyle tan10\theta=\frac{a_1\cdot tan\theta+a_3\cdot tan^3\theta+a_5\cdot tan^5\theta+a_7\cdot tan^7\theta+a_9\cdot tan^9 \theta}{a_0+a_2\cdot tan^2\theta+a_4\cdot tan^4\theta+a_6\cdot tan^6\theta+a_8\cdot tan^8\theta+a_{10}\cdot tan^{10}\theta}\)相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3350&page=1#pid21520

已知\(\Delta ABC\)為邊長為1的正三角形，設\(\overline{BC}\)邊上有\(n-1\)個等分點，由\(B\)點到\(C\)點的順序為\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{n-1}\)，且令\(B=P_0\)，\(C=P_n\)。若\(S_n=\vec{AB}\cdot \vec{AP_1}+\vec{AP_1}\cdot \vec{AP_2}+\vec{AP_2}\cdot \vec{AP_3}+\ldots+\vec{AP_{n-1}}\cdot \vec{AC}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n}=\)。相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2498&page=1#pid15288

已知\(a,b,c,d\)為實數，且方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)有四個虛根，其中兩根的乘積為\(13+i\)，另外兩根的和為\(3+4i\)，求\(a,b\)之值？相關問題
https://math.pro/db/thread-456-1-1.html

\(\displaystyle \left[ {\frac{1}{3}} \right] + \left[ {\frac{2}{3}} \right] + \left[ {\frac{{{2^2}}}{3}} \right] +  \cdots \left[ {\frac{{{2^{100}}}}{3}} \right] = \) 的值?相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1042&page=1#pid11268

設\(x,y,z\)均為整數且滿足\(\cases{x^3+y^3+z^3=132\cr x+y+z=6}\)，求\(|\;x|\;+2|\;y|\;+|\;z|\;\)的所有可能值為何？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2543&page=1#pid15832

設\( 0 \le x \le 2 \pi \)，求\( tan^2x-9tanx+1=0 \)之各根總和為多少？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1880&page=1#pid10245

化簡\( \displaystyle cos \frac{6 \pi}{7}-cos \frac{5 \pi}{7}+cos \frac{4 \pi}{7} \)的值為？相關問題
https://math.pro/db/thread-1163-1-1.html

袋中有紅球4個,白球5個,黑球6個,每次由袋中取一球不放回,則紅球最先取完之機率?相關問題
https://math.pro/db/thread-536-1-1.html

空間中的曲面，\(S\)：\((2x+3y+z)^2+(3x-2y+z)^2+(x+3y+2z)^2=1\) 所圍出的體積為多少?相關題目
https://math.pro/db/thread-1336-1-1.html

(1)請證明\(\displaystyle \lim_{\theta\to 0}\frac{sin\theta}{\theta}=1\)　(2)用(1)的結果求正弦函數的微分，即\(\displaystyle \frac{d}{dx}sinx=\)？
(99明倫高中)
求證\(\displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x}=1\)
(98家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=803&page=1#pid4575)

正2n或2n+1邊形有幾個銳角三角形，直角三角，鈍角三角形，相關題目
https://math.pro/db/thread-519-1-1.html

設\(A(1,1,0),B(2,1,-1),C(3,2,-2)\)，則\(\Delta ABC\)的垂心座標為。相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid5684

\( [\; x ]\; \)表示不大於x的最大整數(高斯符號)，試求\( [\; (\sqrt{3}+1)^8 ]\;= \)？
https://math.pro/db/viewthread.p ... isplaystyle A=\Bigg

將\( (x-2y+3z-4u)^{40}-(x+2y-3z-4u)^{40} \)展開後並將同類項合併，則會有幾種不同類項？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262

設\( y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1 \)( \( n \in N \) )之圖形與x軸交於\( A_n \)與\( B_n \)兩點，若\( \overline{A_nB_n} \)之長為\( l_n \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}l_n \)之和為？相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=1#pid5182

\(\Delta ABC\)中，\(A(2,-4)\)，若\(\angle B\)、\(\angle C\)之角平分線分別為\(L_1\)：\(x+y-2=0\)及\(L_2\)：\(x-3y-6=0\)，則\(\overline{BC}\)之方程式為　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=3#pid5286

四邊形內切圓最大面積，相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=6#pid5380

質點由點\((a,b,c)\)移到點\((b+c-1,c+a-1,a+b+3)\)稱為一次移動，相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1483&page=1#pid7092

\(\Delta ABC\)中，內部一點\(P\)，求\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)最小值，相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=924&page=1#pid1990

空間中 \(\left\{\begin{array}{ccc}  0&\le& x+2y &\le& 4\\  -1&\le& x-3y+z &\le& 3\\ 1&\le& x+3y-2z&\le& 7 \\ \end{array}\right.\)所圍成的平行六面體體積是多少，相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=924&page=1#pid1993

老鼠走迷宮有一定機率回到原地，相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid1475

已知\(y=x^3+kx^2-1\)恰有三相異切線過\((0,0)\)，求\(k\)的範圍。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1644&page=2#pid8567

在整數列\(\displaystyle \left[\frac{1^2}{103}\right],\left[\frac{2^2}{103}\right],\left[\frac{3^2}{103}\right],\ldots,\left[\frac{k^2}{103}\right],\ldots,\left[\frac{103^2}{103}\right]\)中，共有　　　個互不相等的整數。的相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=1#pid10256

一路領先的相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1710&page=2#pid11780

橢圓和拋物線相交，求\(a\)範圍的相關題目
https://math.pro/db/thread-1272-1-1.html

若線性方程組\(L\)：\(\cases{a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \cr a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \cr a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3}\)在坐標空間中代表三個平面，兩兩相交於一線，且三交線兩兩互相平行，
試證明：\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)不全為0的相關問題。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid4748

A有m元，B有n元，投硬幣正面A給B1元，投硬幣反面B給A1元，A輸光的機率的相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1349&page=1#pid11870

所有正整數從小排列到大，求與105互質的第1204項的數為何的相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=1#pid10251

\( f(x) \)為一2010次多項式，滿足\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)，其中\( k=1,2,3,...,2010 \)的相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

\(\sqrt{2009}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)的相關題目
https://math.pro/db/thread-664-1-1.html

方程式\( (x^2-3x+1)^{x+1}=1 \)有幾個整數解相關題目？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1294

\(\displaystyle \frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}\)的最小值相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278

表示成\( \displaystyle \frac{5}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \)的相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=6#pid5380

長方形對角線折起來的相關題目
https://math.pro/db/thread-567-1-1.html

螞蟻在正四面體的邊上爬行的相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=4#pid5071

甲乙兩隊各出7名隊員按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽...相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=786&page=1#pid1446

滿足\( m^3+n^3+99mn=33^3 \)且\( m \cdot n \ge 0 \)之序對\( (m,n) \)有幾組整數解相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847

丟番圖恆等式\( (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 \)相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=629&page=1#pid1765

解循環方程式\( \displaystyle \cases{y=4x^3-3x \cr z=4y^3-3y \cr x=4z^3-3z} \)相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2020&page=1#pid11798

解方程式\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x \)相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1492&page=2#pid7156

拋物線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡為準線相關題目
https://math.pro/db/thread-723-1-1.html

空箱的期望值相關題目
https://math.pro/db/thread-690-1-1.html

袋中有 \(2008\) 顆球，分別編號為 \(1,2,3,…,2008\)，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 \(T\)，求 \(T\) 之期望值。相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2659

若\( \cases{a+b+c+d+e=8 \cr a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16} \)，求\(e\)的最大值相關題目
https://math.pro/db/thread-61-1-1.html

已知\( \cases{a+b=8 \cr ax+by=9 \cr ax^2+by^2=57 \cr ax^3+by^3=111} \)，求\( ax^4+by^4 \)相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=799&page=1#pid1495

設正實數\( x \)、\( y \)、\( z \)滿足\( \displaystyle x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}} \)，\( \displaystyle y=\sqrt{x^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{25}} \)，\( \displaystyle z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}} \)，且\(x+y+z= \)？相關題目
https://math.pro/db/thread-1968-1-1.html

正數x,y,z滿足方程組\( \displaystyle \Bigg\{\ \matrix{x^2+xy+\frac{y^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=9 \cr z^2+xz+x^2=16} \)，求\( xy+2yz+3xz \)的值。相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1604&page=1#pid8139

聯立方程組\(\cases{3x^2+y^2-3xy=3+2\sqrt{2}\cr y^2+z^2-yz=9+6\sqrt{2}\cr z^2+w^2+\sqrt{3}zw=3+2\sqrt{2}\cr w^2+3x^2+\sqrt{3}wx=9+6\sqrt{2}}\)求\(\sqrt{3}xz+yw\)之值。
(112學年度第一學期中山大學雙週一題第三題)

設\( x_1,x_2,...,x_n \)都是正數，試證\( \displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+...+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+...+x_n \)。相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1144&page=1#pid3596

設\(f(x)=ax^2+bx+c\)，已知\( -1\le f(1) \le 2 \),\( 2\le f(2)\le 4 \),\(-3 \le f(3)\le4\)，令\(f(4)\)的最大值，最小值相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=2#pid4635

\([x]+[2x]+[3x]+[4x]=2014\)，求\(x\)的範圍相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1892&page=3#pid10524

將\(n\)分解成一些正整數之和，求這些正整數乘積的最大值相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1945

對稜相等的四面體體積相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=1#pid1991

三平行線上的正三角形邊長相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid6229

4個球兩兩相切，求第4個球半徑相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=836&page=1#pid1604

\(\displaystyle \sum_{x=1}^{10000}\frac{1}{\sqrt{x}}\)整數部分相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048

環狀區域相鄰不同色相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=499&page=1#pid1890

將5個A、5個B以及5個C等15個字母排成一列，使得前5個字母沒有A，中間5個字母沒有B，且最後5個字母沒有C，試問共有多少可能的排列相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=454&page=1#pid1779

若\( \displaystyle \root 3 \of{\root 3 \of 2 -1}=\root 3 \of a+\root 3 \of b+\root 3 \of c \)，則\( a+b+c= \)？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840

\((\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=1#pid17237
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在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)，\(\overline{AC}=3\)，\(\angle A=2\angle B\)，則\(\triangle ABC\)之內切圓半徑為？
(112學年度第1學期中山大學雙週一題第2題)

令\(x_1,x_2,\ldots,x_{18}\)為方程式\(x^{18}+4x^{11}+1=0\)的18個根，求\((x_1^4+x_1^2+1)(x_2^4+x_2^2+1)\ldots(x_{18}^4+x_{18}^2+1)\)的值為何？
(112學年度第2學期中山大學雙週一題第3題)

下列方程組\(\cases{x+y=3(z+u)\cr x+z=5(y+u)\cr x+u=7(y+z)}\)的解\((x,y,z,u)\)，其中\(x\)、\(y\)、\(z\)、\(u\)皆為正整數，求\(x\)可能的最小值為何？
(110學年度第1學期中山大學雙週一題第1題)

設\(x、y\in R\)，求\(\sqrt{x^2+y^2-6x+4y+17}+\sqrt{x^2+y^2+6x-8y+50}\)的最小值。
(110學年度第1學期中山大學雙週一題第2題)

將一個圓分成12個相等的扇形，並用紅藍綠三種顏色塗上顏色，相鄰的扇形顏色不同，則有幾種塗色方法？(註：不考慮旋轉的情形)
(110學年度第1學期中山大學雙週一題第5題)

試求函數\(f(x)\)，對任意實數\(x\)，\(|\;x|\;\ne 1\)，滿足\(\displaystyle f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{3+x}{1-x}\right)=x\)。
(110學年度第1學期中山大學雙週一題第6題)

\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)，\(\overline{AC}=3\)，過\(A\)點作直線\(\overline{BC}\)的垂直線，設垂足為\(H\)，若\(\displaystyle \vec{AH}=-\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{3}{2}\vec{AC}\)，求\(\triangle ABC\)的外接圓面積為何？
(110學年度第2學期中山大學雙週一題第1題)

如下圖，將數字\(1\sim 14\)填入一個\(2\times 7\)的表格中，其中左邊的數字要比右邊的數字小，上面的數字要比下面的數字小，滿足這種規律的填法有幾種？
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(110學年度第2學期中山大學雙週一題第2題)

將半徑為10公分的三個球放入一半球形碗中，發現此三球的頂端恰與此碗頂端位於同一水平面，請問此半球形狀的碗之半徑為多少公分？
(110學年度第2學期中山大學雙週一題第5題)
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Canadian Mathematical Olympiad
https://cms.math.ca/competitions/cmo/
1978
Determine the largest real number \(z\) such that \(\matrix{x+y+z=5\cr xy+yz+xz=3}\) and \(x,y\) are also real.

1986
In the diagram line segments \(AB\) and \(CD\) are of length 1 while angles \(ABC\) and \(CBD\) are \(90^{\circ}\) and \(30^{\circ} \)respectively. Find \(AC\).
設\(P\)為\(\Delta ABC\)的\(BC\)邊上一點，且\(\overline{PB}=\overline{AC}=a\)，若\(\displaystyle\angle BAP=\frac{1}{3}\angle PAC=30^{\circ}\)，則\(\overline{PC}=\)　　　。
(95台中一中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=987&page=2#pid22591)

1994
Evaluate the sum \(\displaystyle \sum_{n=1}^{1994}(-1)^n\frac{n^2+n+1}{n!}\).

Show that every positive integral power of \(\sqrt{2}-1\) is of the form \(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\) for some positive integer \(m\).
(e.g. \((\sqrt{2}-1)^2=3-2\sqrt{2}=\sqrt{9}-\sqrt{8}\)).
(相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=1#pid17237)

1996
If \(\alpha,\beta,\gamma\) are the roots of \(x^3-x-1=0\), compute \(\displaystyle \frac{1+\alpha}{1-\alpha}+\frac{1+\beta}{1-\beta}+\frac{1+\gamma}{1-\gamma}\).

Find all real solutions to the following system of equations. Carefully justify your answer.
\(\cases{\displaystyle \frac{4x^2}{1+4x^2}=y\cr \frac{4y^2}{1+4y^2}=z\cr \frac{4z^2}{1+4z^2}=x}\)
(相關題目101中正高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1422&page=1#pid6438)
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這裡有大量教甄試題解答，需要很多時間整理

《数学中国》，http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=forumdisplay&fid=5
陆元鸿老师的《数学中国》园地，h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/index.asp
109.10.20補充
h ttp://www.mathchina.net/連結已失效

110.5.26
題目連結都已經失效，舊內容刪除，轉成相關題目網址索引