這裡有大量教甄試題解答，需要很多時間整理
《数学中国》，
http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=forumdisplay&fid=5
陆元鸿老师的《数学中国》园地，h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/index.asp
109.10.20補充
h ttp://www.mathchina.net/連結已失效
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97臺中女中
選擇題
1.設\( f(x)=6x^{100}-x^2-4 \)，\(i=\sqrt{-1}\)，下列何者為正確？
(A)\(f(i)=i\) (B)以\(x^2-x+1\)去除\(f(x)\)所得餘式為\(5x-3\) (C)\( f(f(f(1)))=1 \) (D)\( \displaystyle f(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2})=\frac{13-7\sqrt{3}i}{2} \)
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2.老師想從甲、乙、丙、丁四人中派一位出公差，為了公平起見，此四人協商要以猜拳的方式來決定這位公差，猜拳的方式如下：先以『黑白猜(即每人以手掌向上或向下兩種方式出拳)』篩選，直到恰有一人出的手掌方向與其他三人不同，則此人就不必出公差；接下來其餘三人再以『剪刀、石頭、布』的方式出拳比輸贏，直到三人中恰有一人輸為止，則此輸的人即為出公差者。依照上述的猜拳規則，則此四人為了決定出公差人選的猜拳次數期望值為
(A)4次 (B)5次 (C)8次 (D)12次
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填充題
3.設有一等腰三角形的三邊長為有理數，且恰好是方程式\(x^3-16x^2+px-150=0\)的三根，試求\(p\)之值：
。
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4.已知\( \displaystyle \frac{\pi}{2}<x<\pi \)且\( 16^{1+sin^2 x}+4^{1+cos2x}=40 \)，則\( tanx= \)
。
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5.設\( \Delta ABC \)中，\(D\)在\( \overline{BC} \)邊上，且\( \overline{AD} \)為\( ∠A \)之內角平分線，若\( \overline{AB}=8 \)，\( \overline{AC}=6 \)，將射線\( \overline{AD} \)延長至\(P\)點，使得\( \Delta ABP \)面積\( \displaystyle =\frac{9}{2}\Delta ABC \)面積，若\( \vec{AP}=x\vec{AB}+y \vec{AC} \)，則數對\( (x,y)= \)
。
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7.設每一個自然數\(N\)中，數字\(n\)恰出現\(n\)次(\(n=1,2,\ldots,9\))，則稱此自然數\(N\)為「自我描述數」。例如122是一個三位自我描述數，32233是一個五位自我描述數，則七位自我描述數共有
個。
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8.為了驗證一枚古硬幣是否為勻稱的硬幣，某人做了多次的投擲試驗，並發表推論如下：「我們有95%的信心認為此硬幣出現正面的機率是38%到42%之間。」則在此實驗中此人總共投擲了
次硬幣。
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12.研究六位學生的性向測驗與成就測驗的關係，已知六位學生兩種測驗的得分如下；
試求滿足這些數據之最適合直線方程式：
。
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97國立大里高中，[url]https://math.pro/db/thread-2402-1-1.html
如圖，ABCD是邊長為1的正方形，沿\( \overline{PQ} \)對折，使得A,B對折之後分別重合於A',B'兩點，且B'在\( \overline{CD} \)上，
(a)證明△RB'D的周長為2。
(b)求△QB'C的最大面積。
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99中山女高，[url]https://math.pro/db/thread-1775-1-1.html
某人到遊樂場玩擲硬幣計分遊戲，遊戲時要一次擲出五個均勻硬幣。如果出現正面的個數少於出現反面的個數，就必須重擲，直到擲出正面的個數多於反面的個數為止。此時如果出現三個正面得6分，出現四個正面得9分，出現五個正面得15分，則此人玩此遊戲得分的數學期望值是幾分。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=5&Id=11594
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99嘉義高工，[url]https://math.pro/db/thread-964-1-3.html
13.同時擲三個公正骰子，最大點數(不是指點數和)的期望值為
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=5&Id=11504
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100麗山高中，[url]https://math.pro/db/thread-1138-1-1.html
4.已知兩點\( A(x,y) \)，\( B(p,q) \)，且\( \displaystyle x=\frac{p}{p^2-q^2} \)，\( \displaystyle y=\frac{q}{p^2-q^2} \)，(\( p \ne q \))，若\(B\)點在直線\(x-y-1=0\)上運動，則\(A\)點的軌跡方程式為\(=\)
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=11579
12.已知\( a_1,a_2,\ldots,a_n \)是由正整數所組成的等比數列，而且滿足\( 100 \le a_1 <a_2<\ldots,a_n \le 1000 \)。試求\(n\)的最大值，且其公比為\(r\)，則此\( (n,r)= \)
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11580
14.已知\( \Delta ABC \)中，\( \overline{AB}\times \overline{AC}=15 \)，\(∠A\)的角平分線長為3，則\( \Delta ABC \)的最大面積為何？
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16.投擲一公正銅板6次，試求「在投擲過程中，曾經連續出現兩次正面」的機率=
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17.已知有\( \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{2011} \)共2011個數，若規定「運算一次」如下：「消去其中兩數\(a,b\)，再加上另一數「\(a+b+ab\)」，則經過2010次的「運算一次」後，只剩下一數，則此數為何？
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18.如圖(三)，一圓交一正三角形\(ABC\)於\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)六點，若\( \overline{CF}=1\)，\( \overline{FG}=13\)，\( \overline{AG}=2\)，\( \overline{HI}=7\)，則\( \overline{DE}=\)
。
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19.如圖(四)，\( \Delta ABC \)中，\(D\)為\( \overline{BC} \)之中點，\( \overline{AB}=12 \)，\( \overline{AC}=16 \)，\(E\)在\( \overline{AC} \)上，\(F\)在\(\overline{AB}\)上，且\( \overline{AE}=2\overline{AF} \)，則\( \overline{EG}:\overline{FG}= \)
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=11586
22.正三角形\(ABC\)的邊長為1，在\( \overline{AB} \)、\( \overline{BC} \)、\( \overline{CA} \)上各取\(P\)、\(Q\)、\(R\)滿足\( \overline{AP}^2=\overline{BQ}^2=\overline{CR} \)。
(1)令\( \overline{AP}=x \)，求\( \Delta PQR \)的面積\(=\)
。(以\(x\)表示)
(2)若\(P\)在\( \overline{AB} \)上移動，\( \Delta PQR \)的最小面積為\(M\)，使得\( \Delta PQR \)的面積為最小時的\(x\)值為\(a\)；則\( (M,a)= \)
。
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24.如下圖，麗山高中的\(L\)形圖騰由一些方格所構成
(1)用5種顏色來塗這些方格，規定相鄰的格子必須著不同色，顏色可重複使用，則著色方法有
種。
(2)若用\(2 \times 1\)恰兩個方格大小的長方形磁磚來鋪這個\(L\)形的圖騰，規定不能敲碎磁磚，且須剛好鋪滿整個L形的圖騰，則鋪法有
種。
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25.\( \displaystyle log_3[(3+1)\cdot (3^2+1)\cdot(3^4+1)\ldots(3^{64}+1)+\frac{1}{2}]+log_3 2= \)
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11581
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103臺中女中，[url]https://math.pro/db/thread-1867-1-1.html
3.設\(I\)為\(\Delta ABC\)的內心，且其三邊長為\( \overline{AB}=7 \),\( \overline{BC}=6 \),\( \overline{AC}=5 \)，已知\(P\)點在\( \overline{AB} \)邊上且\( \overline{AP}=2 \)，若直線\(IP\)交\( \overline{BC} \)邊於\(Q\)點，則\(
\overline{QC} \)之長為
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=11483
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=8755
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104新北市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-2279-1-1.html
4.
設\(z_1,z_2,\ldots,z_r\)為方程式\( \displaystyle 24x^{24}+\sum_{k=1}^{23}(24-k)(x^{24-k}+x^{24+k})=0 \)的所有相異根；並令\( z_k^2=a_k+ib_k \)(\(k=1,2,\ldots,r\))，其中\(i=\sqrt{-1}\)且\(a_k\)與\(b_k\)均為實數。若\( \displaystyle \sum_{k=1}^r |\;b_k |\;=m+n \sqrt{p} \)，其中\( m,n,p \)均為整數，且\(p\)不能被任何質數的平方整除，則\( m+n+p= \)？
(A)12 (B)15 (C)18 (D)21
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105高中數學能力競賽決賽筆試試題(一)，[url]http://cauchy.math.nknu.edu.tw/math/competitions/files/105qa.pdf
1.
設\(a,b\)為正整數且\(a>b\)，試求滿足條件\( (a-b)^{ab}=a^b \cdot b^a \)的所有可能數對\((a,b)\)值。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11742
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105高中數學能力競賽決賽筆試試題(二)，[url]http://cauchy.math.nknu.edu.tw/math/competitions/files/105qa.pdf
1.
設\(x_1,x_2,\ldots,x_r\)為方程式\( 24x^{24}+\sum_{k=1}^{23}(24-k)(x^{24-k}+x^{24+k})=0 \)的所有相異根。若\(x_k^2=a_k+ib_k\)(\(k=1,2,\ldots,r\))，其中\(a_k\)與\(b_k\)均為實數。試求\( \sum_{k=1}^r |\; b_k |\;= \)？
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105高雄師範大學數學系大學甄選入學，[url]http://cauchy.math.nknu.edu.tw/math/exam.php#tabs-2
1.
兩正數\(\alpha\)和\(\beta\)滿足\(log_9 \alpha=log_{12}\beta=log_{16}(\alpha+\beta)\)，試求\( \displaystyle \frac{10\alpha \beta}{\alpha^2+\beta^2} \)之值。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11676
2.
袋中有編號1到52的球52個，從袋中一次取一球出來且取後不放回，若取出球的號碼大於前一球的號碼，則繼續取下一球；若取出球的號碼小於前一球的號碼，則停止取球，求至少有5個球被取出的機率為何？
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=5&Id=11674
5.
設\(a=2^{537}\times 3^{429} \times 5^{317}\)，\( b=2^{536}\times 3^{428} \times 7^{318} \)，\( c=2^{538}\times 3^{430} \times 7^{316} \)，則\(a\)、\(b\)、\(c\)三數大小關係為何？
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11675
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106高雄師範大學數學系大學甄選入學，[url]http://cauchy.math.nknu.edu.tw/math/exam.php#tabs-2
4.
假設有3個不同的投資方案，每個方案的投資金額單位以千元計，也可以不投資，現
王武有2萬元，問
(1)若2萬元需全部投資，求共有多少種不同的投資方式？
(2)若2萬元不需全部投資，則又共有多少種不同的投資方式？
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=6&Id=11681
5.
一條筆直的道路從\(A\)點到\(B\)點的距離為6公尺，若一個機器人每走一步只能有三種距離：0.5,1.5或2.5公尺，則此機器人從\(A\)點恰好走到\(B\)點的方式共有多少種？
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6.
設\(a,b\)均為實數，已知\((x^3+2x^2+ax-5)(x^3-a^2x+2)(2x^2+b)=a_8x^8+a_7x^7+a_6x^6+\ldots+a_1x+a_0\)，若\(a_8+a_6+a_4+a_2+a_0=a_7+a_5+a_3+a_1\)，試求\(a+b\)之值？
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105內湖高中，[url]https://math.pro/db/thread-2491-1-1.html
2.
在平面直角坐標系中，定義點\(P(x_1,y_1)\)、\(Q(x_2,y_2)\)之間的直角距離\(d(P,Q)=|\; x_1-x_2 |\;+|\; y_1-y_2 |\;\)，若\(C(x,y)\)到點\(A(1,3)\)、\(B(6,9)\)的直角距離相等，其中\(x,y \in R\)，滿足\(0 \le x\le 10,0 \le y \le 10\)，求滿足條件點\(C\)軌跡的長度和。
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3.
各位數字不大於3的全體正整數\(m\)(例如132符合，但432不符合)按小到大的順序排成一個數列\( \langle\;a_n\rangle\; \)，求\(a_{2016}\)。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11914
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106指考數甲
非選擇題
1.
在坐標平面上，考慮二階方陣\( \displaystyle A=\frac{1}{5}\left[ \matrix{4 &-3 \cr 3 & 4} \right] \)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。令\(a=\overline{OP_1}\)。
(1)試求\(sin(∠P_1OP_3)\)。
(2)試以\(a\)表示\( \Delta P_1P_2P_3 \)的面積。
(3)假設\(P_1\)是圖形\( \displaystyle y=\frac{1}{10}x^2-10 \)上的動點，試求\( \Delta P_1P_2P_3 \)面積的最小可能值。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11546
2.
坐標空間中，\(O(0,0,0)\)為原點。平面\(z=h\)(其中\(0 \le h \le 1\))上有一以\((0,0,h)\)為圓心的圓，在此圓上依逆時鐘順序取8點構成正八邊形\(P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7\)，使得各線段\(\overline{OP_j}\)(\(0 \le j \le 7\))的長度都是1。請參見示意圖。
(1)試以\(h\)表示向量內積\( \vec{OP_0}\cdot \vec{OP_4} \)。
(2)若\(V(h)\)為以\(O\)為頂點、正八邊形\(P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7\)為底的正八角錐體積，試將\(V(h)\)表為\(h\)的函數(註：角錐體積\(\displaystyle =\frac{1}{3}\)底面積\(\times\)高)。
(3)在\( \vec{OP_0} \)和\( \vec{OP_4} \)夾角不超過\(90^{\circ}\)的條件下，試問正八角錐體積\(V(h)\)的最大值為何？
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106指考數乙，[url]https://math.pro/db/thread-2829-1-1.html
選擇題
3.有一個不公正的骰子，投擲一次出現1點的機率與出現3點的機率之和是0.2，出現2點的機率與出現4點的機率之和是0.4，出現5點的機率與出現6點的機率之和是0.4。試選出正確的選項：
(1)出現1點的機率是0.1
(2)出現4點的機率大於出現3點的機率
(3)出現偶數點的機率是0.5
(4)出現奇數點的機率小於0.5
(5)投擲點數的期望值至少是3
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=5&Id=11544
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106全國聯招，[url]https://math.pro/db/thread-2769-1-1.html
選擇題
12.
設\(A,B,C\)均為二階方陣，且其各矩陣中的所有元均為整數，若滿足\(AB=\left[ \matrix{2 & 2 \cr -2 & 6} \right] \)，\(AC=\left[ \matrix{5 & 1\cr -13&3} \right] \)，試求矩陣\(A\)可能為下列何者？
(A)\(\left[ \matrix{2 & 0\cr 0& 1} \right] \) (B)\(\left[ \matrix{3 & -1\cr 1& 1} \right] \) (C)\(\left[ \matrix{-3 & 1\cr 2& 1} \right] \) (D)\(\left[ \matrix{1 & -1\cr 1& 1} \right] \)。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=10935
填充題
1.
設級數\(f(n)=1^n-2^n+3^n-4^n+\ldots+2015^n-2016^n+2017^n\)，求\( \displaystyle \frac{f(1)f(2)}{f(3)}= \)
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=10932
7.
設\(z\)為複數，若\( |\; z |\;=2 \)，則\( |\; z^2-2z+8 |\; \)的最小值為
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=10937
計算證明題
1.
(1)若\( (\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m} \)，則正整數\(m\)之值為何？
(2)請證明存在某一正整數\(m\)滿足：\((\sqrt{2}-1)^{2017}=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=10925
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106彰化女中，[url]https://math.pro/db/thread-2765-1-1.html
填充題
2.
從5,6,7,8這四種數字中選出四個寫成四位數(數字可重複使用)；若5的右邊不能緊接著6，且5的右邊不能緊接著7；則這樣的四位數共有幾個？
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=7&Id=11852
計算題
2.
數列\(\langle\; a_n \rangle\;\)滿足\( \cases{a_1=6 \cr a_n=2a_{n-1}-4n+13,n \ge 2} \)，則\(a_{50}\)是幾位數？
(已知\(log2=0.3010\)，\(log3=0.4771\)，\(log7=0.8451\))
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11844
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106內湖高中，[url]https://math.pro/db/thread-2759-1-1.html
有一正四面體\(A-BCD\)，\(M,N\)為\(\overline{AB},\overline{AC}\)上的一點滿足\(\overline{AB}=3\overline{AM},\overline{AC}=3\overline{AN}\)，且體積為\(18 \sqrt{2}\)，求\( \overline{MN} \)與\(\overline{CD}\)兩歪斜線的距離。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=11541
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106新竹高商，[url]https://math.pro/db/thread-2784-1-1.html
3.
如下圖，扇形之半徑為10，\(∠COD=90^{\circ}\)，\(A\)為\(CD\)弧上動點，過\(A\)作\(\overline{AB}⊥\overline{OC}\)，再過\(B\)作\(\overline{BH}⊥\overline{OA}\)，設\(∠AOC=\theta\)，則如果\( \overline{AB}+\overline{BO}+\overline{BH} \)有最大值，此最大值為
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=11825
4.
已知\(m\)、\(n\)為正整數且\(m^2<7n^2\)，求\(7n^2-m^2\)的最小值為
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11826
8.
計算極限值\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \sqrt{16n^2-(4k)^2}= \)
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=4&Id=11824
10.
今有16枝相同的筆要全部分給\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四人，每人至少分得一枝，若僅考慮四人所獲得筆的數量，則共有
種分筆的方式使得\(A\)獲得的數量大於\(B\)獲得的數量。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=7&Id=11822
15.
將四位數1746(原數)左右倒過來寫得到6471(新數)，新數比原數大4725。試問；滿足新數比原數大4725的所有四位數的原數有
個。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=7&Id=11823
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106師大附中，[url]https://math.pro/db/thread-2747-1-1.html
填充題
12.
聯立方程式\( \cases{ab=cd \cr a+b+c+d=265} \)的正整數解有
組。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11432
13.
某次選舉有甲、乙兩位候選人，經150人投票開票後，已知甲獲得99票、乙獲得51票，試問開票過程中，能使甲候選人最多落後乙候選人1票的機率是
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=5&Id=11188
計算證明題
6.
\(a,b,c\)皆為正數，且\(a+b+c=1\)。試證明：\( \displaystyle \frac{a^2+b^2}{a+3b}+\frac{b^2+c^2}{b+3c}+\frac{c^2+a^2}{c+3a} \ge \frac{1}{2} \)。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11434
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106麗山高中，[url]https://math.pro/db/thread-2742-1-1.html
填充題
3.
13個小正方形排列，若要塗上紅、黃、藍三種顏色，並規定每個小正方形恰塗一色，相鄰不同色，則有
種塗法。
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10.
設二階方陣\( \left[ \matrix{\displaystyle x+\frac{1}{x}&x^5+\frac{1}{x^5}\cr x^{27}+\frac{1}{x^{27}}&|\; x |\;} \right]=\left[ \matrix{-\sqrt{3}&a \cr b&c} \right] \)，則序對\((a,b,c)=\)。
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12.
設\(a,b,c,d \in R,abcd \ne 0\)，且\(a+b+c+d=0\)，則
\(\displaystyle a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{d}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+d(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)之值為
。
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計算題
4.
(1)某金融卡的提款密碼規定為四碼，每一碼可以選用數字或英文字母，但密碼不能全部都只有英文字母(不區分大小寫)或全部都只有數字，請問共有幾組不同密碼可以選用？
(2)請詳述你針對(1)小題的課程概念，讓學生正確學習相關數學觀念。
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106羅東高中，[url]https://math.pro/db/thread-2801-1-1.html
填充題
2.
將直徑為\(2a\)之半圓之周長6等分，如圖之\( P_0,P_1,\ldots,P_6 \)為其等分點，求\( \Delta P_1P_3P_6 \)的面積為\( \Delta P_0P_1P_3 \)面積的幾倍。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=11083&page=6
10.
設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\)，求\( \displaystyle f(\frac{2}{3}) \)。
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106松山工農，[url]https://math.pro/db/thread-2794-1-1.html
3.
假設袋中有15顆球，其中4顆紅球、1顆白球、10顆黃球。規定一次只能抽一球且不放回去，現在依甲先乙後的順序分別抽球一次，但當抽到的球是白球時，則須馬上再補抽一球，問甲有抽中紅球且乙也有抽中紅球的機率為
？
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106松山工農代理，[url]https://math.pro/db/thread-2837-1-1.html
填充題
9.
已知\(f(5^x)=7xlog_3 5+110\)，求\(f(3)+f(9)+f(27)+\ldots+f(3^{10})\)的値為？
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15.
試求所有可能的整數\(a\)，使得\(x\)的方程式\( x^2-x\sqrt{5a^2-6a+18}-(a^2-9a-26)=0 \)的兩根皆為整數。
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106北一女中三招，[url]https://math.pro/db/thread-2787-1-1.html
填充題
1.
\( a_n=|\; 1-2+3-4+5-6+\ldots+(-1)^{n+1}n |\; \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}= \)？
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計算證明題
2.
某次考試題目如下：
多項式\(f(x)\)在\(x\)為正實數時恆滿足\( \displaystyle f(x)=-4x^3+\frac{33}{2}x^2-9x+\int_0^x f(t)dt\)，試求\(f(x)\)。
以下為
小綠的解題過程：
令\( c=\int_0^x f(t)dt \)，則\( \displaystyle f(x)=-4x^3+\frac{33}{2}x^2-9x+c \)
由\( \displaystyle c=\int_0^x f(t)dt=\int_0^x(-4t^3+\frac{33}{2}t^2-9t+c)dt=(-t^4+\frac{11}{2}t^3-\frac{9}{2}t^2+ct)|\;_0^x=-x^4+\frac{11}{2}x^3-\frac{9}{2}x^2+cx \)
可得\( \displaystyle c(1-x)=-x^4+\frac{11}{2}x^3-\frac{9}{2}x^2 \)
由於時間匆促，
小綠來不及算完，請問：
(1)
小綠的解題過程是否正確？
(2)若正確，請完成
小綠未寫完的過程；若不正確，請指出錯誤之處，並寫出正確的解題過程。
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4.
設直線\(L\)通過原點，\(L\)與\(y=x^2-4x-5\)所夾封閉區域面積為\(A\)，\(L\)與\(y=-x^2+8x-19\)所夾封閉區域面積為\(B\)，當 \(A=B\)時，試求：
(1)直線\(L\)的方程式為何？
(2)此時\(A=\)？
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105高雄中學數學科學科能力競賽初試第一階段試題，[url]http://web.kshs.kh.edu.tw/math/exam/kshs/contest/2016KSHS_1.pdf
4.
給定坐標平面上的兩點\( A(x_1,y_1) \)及\( B(x_2,y_2) \)，我們規定：\( \displaystyle \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \)稱為\( \overline{AB} \)的斜率。試問斜率為\( \displaystyle -\frac{5}{7} \)且在第一象限恰通過6個格子點的直線有幾條。
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10.
已知\(f(x)\)為定義在正整數上的函數，假設對任意正整數\(x,y\)均滿足：
\( \displaystyle f(x+y)=(1+\frac{y}{x+1})f(x)+(1+\frac{x}{y+1})f(y)+x^2y+xy+xy^2 \)且\( \displaystyle f(1)=\frac{3}{2} \)，試求\( f(12) \)之值。
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11.
\( \delta ABC \)中，\( \overline{AB}=6,\overline{AC}=14,\overline{BC}=10 \)，\(P,Q\)分別為\( \overline{AB},\overline{AC} \)上一點使得\( \delta APQ \)與四邊形\( PBCQ \)的面積與周長相等，試求\( \overline{PQ} \)的長度。
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106高雄中學數學科學科能力競賽初試第二階段試題，[url]http://web.kshs.kh.edu.tw/math/exam/kshs/contest/2017KSHS_2.pdf
1.
考慮一個分針與時針皆為連續移動的時鐘，若在\(12:00\)之後\(m\)分鐘，\(m \in Z\)，\( 1 \le m \le 720 \)，時針與分針夾\( 1^{\circ} \)，試求所有的\(m\)之值。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11716
2.
假設\( f(n)=(n^2-2n+1)^{\displaystyle \frac{1}{3}}+(n^2-1)^{\displaystyle \frac{1}{3}}+(n^2+2n+1)^{\displaystyle \frac{1}{3}} \)，試求\( \displaystyle \sum_{k=1}^{500000}\frac{1}{f(2k-1)} \)之值。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11717
3.
若實數函數\(f(x)\)，滿足\(f(xy)+f(y-x)\ge f(y+x)\)，試證明：對所有實數\(x\)而言，\( f(x)\ge 0 \)。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11726
5.
若\( a,b,c \in N \)，\( a^2+b^2=c^2 \)，試證明：
(1)\( \displaystyle (\frac{c}{a}+\frac{c}{b})^2>8 \)。
(2)不存在任何正整數\(n\)，只要能找到一組\( (a,b,c) \)，使得\( \displaystyle (\frac{c}{a}+\frac{c}{b})^2=n \)。
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6.
假設\( \delta ABC \)的周長\(P\)、面積\(K\)，外接圓半徑\(R\)，試求\( \displaystyle \frac{KP}{R^3} \)的最大值。
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7.
設\(a,b,c\)皆為不大於7的正奇數，若\(x\)的二次方程式\(2ax^2-bx+c=0\)的兩根為\(\alpha,\beta\)，且\(2<\alpha<3\)，\(0<\beta<1\)，則數對\((a,b,c)=\)？
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11719
8.
\(n\)為正整數，設\(a_n\)為\(1^3+2^3+3^3+4^3+\ldots+n^3\)之個位數字，求證：\(0.a_1a_2a_3a_4 \ldots a_n \ldots \)為一有理數。
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9.設\( 0\le x \le \pi \)，則\(x\)的方程式\( \sqrt{sinx}-\sqrt{\displaystyle \frac{x}{4}}=\frac{1}{2}x-2sinx \)的實根有幾個？
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=11725
10.
證明：若\(n\)是大於5的任意整數，則任一菱形可以剖分成\(n\)個較小的菱形(每個小菱形之大小不必相同)
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=11723
11.
\(n\)為正整數，假設有\(n\)顆相同的紅球、\(n\)顆相同的綠球、\(n\)顆相同的黑球、\(n\)顆相同的白球，隨意分裝到兩個相同的袋子中，每袋各有\(2n\)顆球，若分法共有\( \displaystyle \frac{an^3+bn^2+cn+d}{6} \)種(其中\(a,b,c,d\)皆為整數)，求數對\((a,b,c,d)=\)？
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=7&Id=11722
13.
有一單位圓\(O\)，其中\(A\)為圓上定點，\(B\)為圓上一動點，\(C\)為\(B\)在直線\(OA\)上的投影點，求\(\Delta ABC\)面積的最大值？
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=11720
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104高中數學能力競賽，[url]https://math.pro/db/thread-2466-1-6.html
已知正整數\(n\)使不等式\( \displaystyle \frac{9}{17}<\frac{n}{n+k}<\frac{8}{15} \)有唯一的正整數解\(k\)，求最大的正整數\(n\)
複賽北一區(花蓮高中)筆試二試題
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已知\(D\)為\(R^2\)上的平面區域，其中\( D=\{\; (x,y):3|\; x |\;+2|\; y |\; \le 24且y \ge x^3+x^2-2x \}\; \)。區域\(D\)上之格子點(\(x,y\)座標均為整數的點)的數目為
複賽嘉義區筆試二試題
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106高雄中學學科能力競賽初試第一階段試題，[url]http://web.kshs.kh.edu.tw/math/exam/kshs/contest/2017KSHS_1.pdf
填充題
7.
假設數列\( \{\;a_n \}\; \)為公差不為零的等差數列，從數列\( \{\;a_n \}\; \)中取出部分形成新的數列\( \{\;a_{kn} \}\; \)恰成等比數列，已知\(k_1=1,k_2=5,k_3=17\)，試求\( k_{2017}\)之值。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11625
12.
將一均勻的硬幣擲10次，若沒有連續出現正面的機率為\( \displaystyle \frac{n}{m} \)，其中\( m,n \)為互質的整數，試求有序數對\( (m,n) \)。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=5&Id=11621
計算證明題
1.
假設\(a,b,c\)均為有理數且\( \root 3 \of{9}a+\root 3 \of{3}b+c=0 \)，試證明：\(a=b=c=0\)
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11622
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2017TRML，[url]https://math.pro/db/thread-2854-1-1.html
團體賽
1.
設\(n\)為正整數，若\(n+5\)為7的倍數且\(n+7\)為5的倍數，則\(n+20\)除以35的餘數為。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11346
8.
設實數\(m\)使得方程式\(x^4-(5m+6)x^2+9m^2=0\)有四個實數根，且此四個根成等差數列，則\(m\)的最大值為。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11345
個人賽
1.
凸四邊形\(ABCD\)中，已知\(∠ABC\)與\(∠CDA\)均為直角，且\(\displaystyle tan∠ABD=\frac{2}{3}\)，\(\displaystyle tan∠BDA=\frac{4}{7}\)，則\( \displaystyle \frac{\Delta BCD面積}{\Delta BAD面積}\)。
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2.
某商店上半年前4個月的盈虧情形為：一月份、二月份都不賺不賠，三月份賠6萬元，四月份賺18萬元，設\(k\)月份賺了\(f(k)\)萬元（若賠錢則\(f(k)\)為負的），其中\(f(x)\)為至多3次的多項式，則\(f(x)\)的常數列為。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11350
5.
設實數\(x\)滿足\(log_{5x+4}(x^2+4x+4)+log_{x+2}(5x^2+14x+8)=4\)，則\(x\)的最小值為
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11353
6.
令\(a_1=\sqrt{5}+1\)，\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}\)(\(n=1,2,3,\ldots\))。若此數列\( \{\; a_n\}\; \)中前60項總和為\(a\)，前60項的乘積為\(b\)，則\(a+b\)。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11371
9.
設\(a,b\)皆為正整數，滿足\(b^2=121(a+2017)\)，則\(a+b\)的最小值為。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11369
10.
設多項式\(f_k(x)=x^k+k(k=1,2,3,4)\)。已知從這四個多項式中任取兩個或三個相異多項式的乘積，可得到10個多項式，若\(f(x)\)為這10個多項式的和，則\(f(x)\)除以\(x+1\)的餘式為。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11342
11.
已知\(k>0\)，且三平面\(x-y+z=0\)、\(2x-ky+5z=0\)與\(kx+2y+3z=0\)的交點不只一個，則在它們的交集上，\(x^2+y^2+z^2-2x+4y+3z+4\)的最小值為。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=11356
12.
設有7個機器戰警，其戰鬥力分別為：1,3,7,15,31,63,127。每兩個戰警可合組成一個新的戰警，且新戰警仍可繼續與其他戰警組合；假每一次組合戰鬥力的變化規則如下：『戰鬥力為\(x\)與\(y\)的兩個戰警，可合組成戰鬥力為\(x+y+xy\)的新戰警』。已知不論組合的次序如何，經過6次的重組後，最後留下來的唯戰警之戰都等於\(k\)，則\(log_2(k+1)\)之值為。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11354
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107樟樹高中，[url]https://math.pro/db/thread-2923-1-1.html
三、
2.
在園周上有284個位置，現依順時針方向每個位置填入一個整數，使得第19個位置的數為\(-2\)，第71個位置的數為10及第140個位置的數為7，且任20個連續位置的數字之和恆為30，則第230個位置的數為何？
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=6&Id=11886
3.
一隻蟲從一個正立方體的某一個頂點開始沿著稜線依下列的規則移動，每次移動均由一頂點開始沿交會於此頂點的三條稜線中之一稜線移至下一個頂點。每一條稜線被選到的機率相同且每次選取都是獨立的。七次移動後，這隻蟲經過每一個頂點恰好一次的機率為何？
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四、
2.
已知在一個與變化量\(x\)、\(y\)有關的線性規劃作業中，有三個限制條件。在坐標平面上畫出符合這三個限制條件的區域，最後得到的可行解區域是一個三角形\(ABC\)及其內部區域(包含邊界)，已知\(A(3,3)\)，\(B(5,-7)\)，\(C(\alpha,\beta)\)。在此可行解區域中，當目標函數為\(f(x,y)=x+2y\)時，得到在\(A\)點有最大值，在\(B\)點有最小值。現因環境條件改變的需要，加入了第四個限制條件\(ax+by \le c\)，結果符合所有限制條件的可行解區域變成一個四邊形區域，頂點少了\(A(3,3)\)，但新增了頂點\(D(1,1)\)，\(E(4,-2)\)。若已知滿足上述條件的\(C(\alpha,\beta)\)，其中\(\alpha\)可能的最小範圍為\(m \le \alpha<n\)，\(m\)、\(n\)為整數。請問數對\((m,n)=\)？
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\(f(x)\)為3次多項式，在\(x=1\)和\(x=5\)處有極值，在\((3,f(3))\)點的切線方程式為\(y=4x-12+f(3)\)，求\(\int_0^2 f'(x)dx\)。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=4&Id=11970
\(a,b,c \in R\)，若\(a^2+b^2+c^2=10\)，\(d^2 \le 4\)，求\( \left| \matrix{a&b&c \cr 1&d&4 \cr 2&-1&4} \right| \)的最大值。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11968
\( \displaystyle a_1=\frac{4}{3}\)，\((4^n-1)a_n=3 \times 4^{n-1}S_n\)
(1)求\(S_n\)
(2)\(\displaystyle b_n=\frac{n}{3a_n}\)，\(T_n\)為\( \langle b_n \rangle \)之和，求\( \lim_{n \to \infty}T_n= \)
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11967
有兩條直線\(L_1\)：\(y=2x-106\)，\(L_2\)：\(y=3x-107\)，平面座標上有一點\(P(4,5)\)對\(L_1\)的對稱點為\(Q\)，\(Q\)對\(L_2\)的對稱點為\(R\)，\(L_1,L_2\)的交點為\(K\)，則\(tanPKR\)為？
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實係數四次方程式\(x^4-8x^3+24x^2+ax+b=0\)為兩實根兩虛根，兩實根和為4，兩虛根積為5，求\((a,b)\)
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11966
\(X~B(n,p)\)，求\(E(\displaystyle \frac{1}{x+1})\)
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=5&Id=11962
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107台中女中，[url]https://math.pro/db/thread-2950-1-1.html
3.
在\( \Delta ABC \)中，\(P\)、\(Q\)在\(\overline{BC}\)上，\(\overline{BP}=12\)，\(\overline{PQ}=15\)，\(\overline{CQ}=9\)，\(∠BAP=∠CAQ\)，\(\overline{AC}=20\)，則\(\overline{AB}=\)
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=12014
4.
設國文考科分成兩部分，一部分是測驗成績、另一部分是寫作成績。某校某次國文測驗成績平均為62分，標準差為15分；寫作成績平均為18分，標準差為5分。測驗成績與寫作成績的相關係數為\(0.6\)，國文考科的總成績為測驗成績與寫作成績之和，則總成績的標準差為
分。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=5&Id=11995
7.
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}(\frac{1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3}{(\root 3 \of 1+\root 3 \of 2+\root 3 \of 3+\ldots+\root 3 \of n)^3}) \)之值為
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=4&Id=12020
9.
將菱形\(ABCD\)的紙張沿\(\overline{BD}\)將\(\Delta BCD\)往上摺，直到\(C\)點的投影\(P\)點正好落在\(\Delta ABD\)的重心上，設此時平面\(ABC\)與平面\(ABD\)之兩面角為銳角\(\theta\)，若\(\overline{AC}=12\)，\(\overline{BD}=6\)，則\(tan \theta\)的值為
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=12002
13.
圓\(C\)：\(x^2+y^2=25\)上有兩點\(A(3,4)\)、\(B(-5,0)\)，有一拋物線\(\Gamma\)同時切圓\(C\)：\(x^2+y^2=25\)於\(A\)、\(B\)兩點，則拋物線\(\Gamma\)之焦點坐標為
。
h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=12021
15.
設\(\displaystyle f(x)=\frac{sinx}{\sqrt{4cosx+5}}\)，其中\(x \in R\)，已知\(f(x)\)的值域為區間\( [a,b] \)，則數對\((a,b)=\)
。
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107全國高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-2964-1-1.html
複選題
8.
在\(\Delta ABC\)中，已知\( \overline{AB}=3 \)、\(\displaystyle \overline{AC}=\frac{25}{13}\)，\(∠C\)為鈍角且\(\Delta ABC\)的外接圓半徑為\(\displaystyle \frac{5}{2}\)，則\(cos ∠BAC=\)？(A)\( \displaystyle \frac{16}{65} \) (B)\( \displaystyle \frac{27}{65} \) (C)\( \displaystyle \frac{33}{65} \) (D)\( \displaystyle \frac{63}{65} \)。
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9.
若\( \displaystyle \frac{b+c}{2a}=\frac{a-c}{2b}=\frac{a-b}{2c} \)，求\( \displaystyle \frac{a}{a+b+c} \)的值？(A)1 (B)\(-1\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (D)\(\displaystyle \frac{-1}{2}\)
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12.
全班40人參加數學、物理測驗，各科分數均為0~100，已知數學平均50，標準差8分，物理平均\(M\)，標準差12分，導師算得物理對數學的迴歸直線方程式為\( \displaystyle y=\frac{3}{4}x+20 \)，則下列哪些選項正確？
(A)\(M=57.5\) (B)數學與物理成績的相關係數是0.5 (C)已知小王數學考80，則物理也一定考80 (D)以算術平均數為中心，物理成績分布比較分散。
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填充題
1.
若\((sin^2 63^{\circ}-3sin^2 27^{\circ})\times(sin^2 9^{\circ}-3cos^2 171^{\circ})=tan \theta\)，且\(180^{\circ}<\theta<360^{\circ}\)，求\(\theta=\)
。
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9.
設數列\( \langle\;a_n\rangle\; \)滿足\(a_n=a_{n-1}-a_{n-2}\)，其中\(n \ge 3\)。已知\( \displaystyle \sum_{n=1}^{40}a_n=30 \)，\( \displaystyle \sum_{n=1}^{80}a_n=78 \)，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{123}a_n= \)
。
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計算證明題
1.
已知\(f(x)=x^3-4x^2+2x+4\)，若方程式\(f(x)=0\)有三實根\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)，且\(\alpha<\beta<\gamma\)，求不等式\(\displaystyle \frac{1}{x-\alpha}+\frac{1}{x-\beta}+\frac{1}{x-\gamma}>0\)的解。
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2.
若複數\(z=x+yi\)(其中\(x\)、\(y\)為實數)，滿足\( |\;z-1-i |\;-|\;z+1+i |\;=2 \)，則\(xy=\)？
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107建國中學二招
討論線性變換前後平行四邊形的面積關係有以下的定理：
設\(A=\left[ \matrix{a&b \cr c&d} \right]\)且\( det(A)=\left| \matrix{a&b \cr c&d} \right|=ad-bc \ne 0 \)，若\(A\)將平行四邊形區域\(R\)"變換"到另一平行四邊形區域\(R'\)。則(\(R'\)的面積)：(\(R\)的面積)\(=\left| det(A) \right|:1\)。
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實係數方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)有四根為\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)、\(\omega\)，其中\(\alpha+\beta=3+6i\)且\(\gamma\omega=4+3i\)，則\(a+b+c+d=\)
。
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新北市高中聯招
若\(x,y,z\)滿足\( \cases{\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{y}{3+log2}+\frac{z}{3+log5}=1 \cr \frac{x}{7}+\frac{y}{7+log2}+\frac{z}{7+log5}=1 \cr \frac{x}{11}+\frac{y}{11+log2}+\frac{z}{11+log5}=1} \)，則\(x+y+z\)之值為
。
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定義在\(R\)上的函數\(f(x)\)，對任意的實數\(x\)均有\(f(x+3)\le f(x)+3\)，\(f(x+2)\ge f(x)+2\)，且\(f(1)=2\)。記\(a_n=f(n)\)，\(n \in N\)，則\(f(2017)=\)
。
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試求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{100}[\frac{1}{2}(log_2 n)-1]\)之值，其中[ ]為高斯函數。
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有一數列\( \langle a_n \rangle \)，若\(a_1=0\)，且\(a_{n+1}-1=a_n+2 \sqrt{1+a_n}\)，\(n=1,2,3,\ldots\)，求\(a_{30}\)。
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107西松高中，[url]https://math.pro/db/thread-2969-1-1.html
2.
在\( \Delta ABC \)中，頂點\(A\)、\(B\)、\(C\)的對邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)。已知\(c=10\)且\(CosA:CosB=a:b=4:3\)，若\(P\)為\(\Delta ABC\)內切圓上的動點，求\(P\)點到三頂點距離平方和的最大值為
。
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3.
定義在\(R\)上的函數\(f(x)\)，對任意的實數\(x\)均有\(f(x+3)\le f(x)+3\)，\(f(x+2)\ge f(x)+2\)，且\(f(1)=2\)。記\(a_n=f(n)\)，\(n \in N\)，則\(f(2017)=\)
。
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5.
\(1\times3\times5\times7+3\times5\times7\times9+...+29\times31\times33\times35=\)
。
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7.
有一個直角\( \Delta ABC \)的三邊長分別為\(2\sqrt{3}\)、5、\(\sqrt{37}\)，若正\( \Delta DEF \)的頂點分別在\( \Delta ABC \)的三邊上，求正\( \Delta DEF \)面積的最小值為
。
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8.
如果一個正整數的立方的末三位為999，則稱這樣的數為「久違數」，試求第二小的「久違數」是
。
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12.
設實係數多項式\(P(x)\)滿足\((x+3)(x^2+2x+2)P(x)=(x-3)(x^2-2x+2)P(x+2)\)，試求所有可能的\(P(x)\)為
。
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13.
設\(O\)為平面坐標的原點，\(A,B\)兩點皆為格子點(\(x,y\)坐標皆為整數的點)。已知\(\Delta OAB\)的內心坐標為\( I(106 \times 2017,7 \times 106 \times 2017) \)，且\(∠AOB \)為直角。試問：這樣的三角形有幾
個。
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14.
已知\(x,y,z,u,v,w\)均為正整數，且\(334(xyzuvw+xyzu+xyzw+xyvw+xuvw+xy+xw+zuvw+zu+zw+vw+1)=6597(yzuvw+yzu+yzw+yvw+uvw+y
+u+w)\)，求\(x+y+z+u+v+w\)之值為
。
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107高雄市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-2985-1-1.html
2.
若\(f(x)\)是一首項係數為1的107次實係數多項式，若\(f(x)=0\)的所有根之和為2018，則方程式\(f(x^2+x+1)=0\)的所有根之和為多少？
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4.
由\(y=x^3\)與\(x=0\),\(x=2\)及\(x\)軸圍成一區域\(S\)的面積\(R\)，將\(S\)分成\(n\)個等寬的長方形，令其上和為\(U_n\)，下和為\(L_n\)，則滿足\( \displaystyle \left| U_n-R \right|<\frac{1}{10} \)之最小自然數\(n=\)
。
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6.
求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n
+3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}})= \)
。
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9.
設直線\(L\)：\(4x-5y-18=0\)與圓\(C\)：\(x^2+y^2-2x+3y=0\)交於\(A\)、\(B\)之切線交於一點\(P\)，則\(P\)之坐標為
。
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13.
觀測站\(S_1,S_2\)之距離為\(r\)，飛機\(A\)在地面\(B\)點上空，\(S_1\)站測得\(A\)之仰角為\(\phi\)，\(∠BS_1S_2\)為\(\rho\)，\(S_2\)站測得\(∠BS_2S_1\)為\(\theta\)，則飛機之高\(\overline{AB}\)為\( \displaystyle \frac{r sin \theta tan \phi}{sin(\theta+\rho)}\)，試證之。
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14.
求證\( \displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{tan \theta-sin \theta}{\theta^3}=\frac{1}{2} \)
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107松山工農，[url]https://math.pro/db/thread-2972-1-1.html
\(\Delta ABC\)內接於圓心為\(O\)之單位圓。若\( \vec{OA}+\vec{OB}+\sqrt{3}\vec{OC}=\vec{0} \)，則\(\Delta ABC\)面積=
。
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設二次函數\(\Gamma\)：\(4x^2+y^2-6y+6=0\)，以矩陣\(A=\left[ \matrix{1&a \cr -a&1} \right]\)對\(\Gamma\)作線性變換得\(\Gamma'\)，即\(\left[ \matrix{x' \cr y'} \right]=A \left[ \matrix{x \cr y} \right]\)，其中\(a\)為實數，\((x,y)\in \Gamma\)，\((x',y')\in \Gamma'\)，則當\(\Gamma'\)與\(x\)軸相切時，\(a=\)
。
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某數列的前兩項為\(a_1=1\)，\( \displaystyle a_2=\frac{\sqrt{3}}{3} \)；對於\(n \ge 1\)，滿足\( \displaystyle a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{1-a_n a_{n+1}} \)，試問\(a_{2018}\)之值為
。
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圓\(C\)：\(x^2+y^2=25\)上有兩點\(A(3,4)\)、\(B(-5,0)\)，有一拋物線\(\Gamma\)同時切圓\(C\)：\(x^2+y^2=25\)於\(A\)、\(B\)兩點，則拋物線\(\Gamma\)之焦點坐標為
。
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108中科實中雙語部
3.
設\(\Delta ABC\)中，\(∠A\)、\(∠B\)、\(∠C\)的對邊長分別為\(a,b,c\)，且\(a,b,c\)三數成等差，若\(a=20\)且\(bcosB=ccosC\)，則\(\Delta ABC\)的內切圓面積為
。
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10.
求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\left(\frac{1}{2n}\right)^P+\left(\frac{2}{2n}\right)^P+\ldots+\left(\frac{2n}{2n}\right)^P}
{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)^P+\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{2n}\right)^P+\ldots+\left(\frac{1}{2}+\frac{n}{2n}\right)^P}\)之值\((p>0)\)
。
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16.
設\(f\)：\(N \to R\)，且滿足
(1)\(\displaystyle f(1)=\frac{3}{2}\)
(2)\(\displaystyle \forall x \in N\)，\(f(x+1)=\left(1+\frac{1}{x+1}\right)\cdot f(x)+\left(1+\frac{x}{2}\right)\cdot f(1)+x^2+2x\)，
則\(f(40)=\)
。
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計算題
2.
函數\(f(x)=\sqrt{40-x}+\sqrt{x}+\sqrt{13-x}\)，其中\(0\le x \le 13\)，
(1)\(f(x)\)的最大值為何？此時\(x\)為何值？
(2)\(f(x)\)的最小值為何？此時\(x\)為何值？
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