這裡有大量教甄試題解答，需要很多時間整理
《数学中国》，
http://www.mathchina.net/dvbbs/index.asp
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106全國聯招，
https://math.pro/db/thread-2769-1-1.html
選擇題
12.
設\(A,B,C\)均為二階方陣，且其各矩陣中的所有元均為整數，若滿足\(AB=\left[ \matrix{2 & 2 \cr -2 & 6} \right] \)，\(AC=\left[ \matrix{5 & 1\cr -13&3} \right] \)，試求矩陣\(A\)可能為下列何者？
(A)\(\left[ \matrix{2 & 0\cr 0& 1} \right] \) (B)\(\left[ \matrix{3 & -1\cr 1& 1} \right] \) (C)\(\left[ \matrix{-3 & 1\cr 2& 1} \right] \) (D)\(\left[ \matrix{1 & -1\cr 1& 1} \right] \)。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=10935
填充題
1.
設級數\(f(n)=1^n-2^n+3^n-4^n+\ldots+2015^n-2016^n+2017^n\)，求\( \displaystyle \frac{f(1)f(2)}{f(3)}= \)
。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=10932
7.
設\(z\)為複數，若\( |\; z |\;=2 \)，則\( |\; z^2-2z+8 |\; \)的最小值為
。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=10937
計算證明題
1.
(1)若\( (\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m} \)，則正整數\(m\)之值為何？
(2)請證明存在某一正整數\(m\)滿足：\((\sqrt{2}-1)^{2017}=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=10925
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106師大附中，
https://math.pro/db/thread-2747-1-1.html
填充題
12.
聯立方程式\( \cases{ab=cd \cr a+b+c+d=265} \)的正整數解有
組。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11432
13.
某次選舉有甲、乙兩位候選人，經150人投票開票後，已知甲獲得99票、乙獲得51票，試問開票過程中，能使甲候選人最多落後乙候選人1票的機率是
。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=5&Id=11188
計算證明題
6.
\(a,b,c\)皆為正數，且\(a+b+c=1\)。試證明：\( \displaystyle \frac{a^2+b^2}{a+3b}+\frac{b^2+c^2}{b+3c}+\frac{c^2+a^2}{c+3a} \ge \frac{1}{2} \)。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11434
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106麗山高中，
https://math.pro/db/thread-2742-1-1.html
填充題
10.
設二階方陣\( \left[ \matrix{\displaystyle x+\frac{1}{x}&x^5+\frac{1}{x^5}\cr x^{27}+\frac{1}{x^{27}}&|\; x |\;} \right]=\left[ \matrix{-\sqrt{3}&a \cr b&c} \right] \)，則序對\((a,b,c)=\)。
http://www.mathchina.net/dvbbs/d ... Id=10869&page=7
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106羅東高中，
https://math.pro/db/thread-2801-1-1.html
填充題
2.
將直徑為\(2a\)之半圓之周長6等分，如圖之\( P_0,P_1,\ldots,P_6 \)為其等分點，求\( \Delta P_1P_3P_6 \)的面積為\( \Delta P_0P_1P_3 \)面積的幾倍。
http://www.mathchina.net/dvbbs/d ... Id=11083&page=6
10.
設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\)，求\( \displaystyle f(\frac{2}{3}) \)。
http://www.mathchina.net/dvbbs/d ... Id=11082&page=5
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106松山工農代理，
https://math.pro/db/thread-2837-1-1.html
填充題
9.
已知\(f(5^x)=7xlog_3 5+110\)，求\(f(3)+f(9)+f(27)+\ldots+f(3^{10})\)的値為？
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11361
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106北一女中三招，
https://math.pro/db/thread-2787-1-1.html
填充題
1.
\( a_n=|\; 1-2+3-4+5-6+\ldots+(-1)^{n+1}n |\; \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}= \)？
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=4&Id=11308
計算證明題
2.
某次考試題目如下：
多項式\(f(x)\)在\(x\)為正實數時恆滿足\( \displaystyle f(x)=-4x^3+\frac{33}{2}x^2-9x+\int_0^x f(t)dt\)，試求\(f(x)\)。
以下為
小綠的解題過程：
令\( c=\int_0^x f(t)dt \)，則\( \displaystyle f(x)=-4x^3+\frac{33}{2}x^2-9x+c \)
由\( \displaystyle c=\int_0^x f(t)dt=\int_0^x(-4t^3+\frac{33}{2}t^2-9t+c)dt=(-t^4+\frac{11}{2}t^3-\frac{9}{2}t^2+ct)|\;_0^x=-x^4+\frac{11}{2}x^3-\frac{9}{2}x^2+cx \)
可得\( \displaystyle c(1-x)=-x^4+\frac{11}{2}x^3-\frac{9}{2}x^2 \)
由於時間匆促，
小綠來不及算完，請問：
(1)
小綠的解題過程是否正確？
(2)若正確，請完成
小綠未寫完的過程；若不正確，請指出錯誤之處，並寫出正確的解題過程。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=4&Id=11312
4.
設直線\(L\)通過原點，\(L\)與\(y=x^2-4x-5\)所夾封閉區域面積為\(A\)，\(L\)與\(y=-x^2+8x-19\)所夾封閉區域面積為\(B\)，當 \(A=B\)時，試求：
(1)直線\(L\)的方程式為何？
(2)此時\(A=\)？
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=4&Id=11318
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104高中數學能力競賽，
https://math.pro/db/thread-2466-1-6.html
已知正整數\(n\)使不等式\( \displaystyle \frac{9}{17}<\frac{n}{n+k}<\frac{8}{15} \)有唯一的正整數解\(k\)，求最大的正整數\(n\)
複賽北一區(花蓮高中)筆試二試題
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11383
已知\(D\)為\(R^2\)上的平面區域，其中\( D=\{\; (x,y):3|\; x |\;+2|\; y |\; \le 24且y \ge x^3+x^2-2x \}\; \)。區域\(D\)上之格子點(\(x,y\)座標均為整數的點)的數目為
複賽嘉義區筆試二試題
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=11384
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2017TRML，
https://math.pro/db/thread-2854-1-1.html
團體賽
1.
設\(n\)為正整數，若\(n+5\)為7的倍數且\(n+7\)為5的倍數，則\(n+20\)除以35的餘數為。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11346
8.
設實數\(m\)使得方程式\(x^4-(5m+6)x^2+9m^2=0\)有四個實數根，且此四個根成等差數列，則\(m\)的最大值為。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11345
個人賽
1.
凸四邊形\(ABCD\)中，已知\(∠ABC\)與\(∠CDA\)均為直角，且\(\displaystyle tan∠ABD=\frac{2}{3}\)，\(\displaystyle tan∠BDA=\frac{4}{7}\)，則\( \displaystyle \frac{\Delta BCD面積}{\Delta BAD面積}\)。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&Id=11348
2.
某商店上半年前4個月的盈虧情形為：一月份、二月份都不賺不賠，三月份賠6萬元，四月份賺18萬元，設\(k\)月份賺了\(f(k)\)萬元（若賠錢則\(f(k)\)為負的），其中\(f(x)\)為至多3次的多項式，則\(f(x)\)的常數列為。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11350
5.
設實數\(x\)滿足\(log_{5x+4}(x^2+4x+4)+log_{x+2}(5x^2+14x+8)=4\)，則\(x\)的最小值為
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11353
6.
令\(a_1=\sqrt{5}+1\)，\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}\)(\(n=1,2,3,\ldots\))。若此數列\( \{\; a_n\}\; \)中前60項總和為\(a\)，前60項的乘積為\(b\)，則\(a+b\)。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11371
9.
設\(a,b\)皆為正整數，滿足\(b^2=121(a+2017)\)，則\(a+b\)的最小值為。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11369
10.
設多項式\(f_k(x)=x^k+k(k=1,2,3,4)\)。已知從這四個多項式中任取兩個或三個相異多項式的乘積，可得到10個多項式，若\(f(x)\)為這10個多項式的和，則\(f(x)\)除以\(x+1\)的餘式為。
http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11342
11.
已知\(k>0\)，且三平面\(x-y+z=0\)、\(2x-ky+5z=0\)與\(kx+2y+3z=0\)的交點不只一個，則在它們的交集上，\(x^2+y^2+z^2-2x+4y+3z+4\)的最小值為。
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12.
設有7個機器戰警，其戰鬥力分別為：1,3,7,15,31,63,127。每兩個戰警可合組成一個新的戰警，且新戰警仍可繼續與其他戰警組合；假每一次組合戰鬥力的變化規則如下：『戰鬥力為\(x\)與\(y\)的兩個戰警，可合組成戰鬥力為\(x+y+xy\)的新戰警』。已知不論組合的次序如何，經過6次的重組後，最後留下來的唯戰警之戰都等於\(k\)，則\(log_2(k+1)\)之值為。
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本帖最後由 bugmens 於 2017-9-7 19:04 編輯 ]
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本帖最後由 bugmens 於 2017-9-24 07:43 編輯 ]
