難得有考生的經驗分享會提到"數學傳播"，我再補充幾篇關於教甄的文章
至於檔案連結我就不放了，可以到
http://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/尋找
也順便看看其他的文章，你的數學能力一定會所提升
設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)遞迴定義式為\( \displaystyle \cases{\displaystyle a_1=1 \cr a_n=\frac{5a_{n-1}}{3a_{n-1}+4}，(n \in N,n \ge 2) } \)，求\( a_n= \)？(以n表示)
(99鳳新高中，
https://math.pro/db/thread-1492-1-1.html)
數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)中，\( a_1=a_2=1 \)，\( a_n=a_{n-1}+2a_{n-2} \)( \( n \ge 3 \) )則\( a_n \)的一般式\( a_n= \)？
(99嘉義高工，
https://math.pro/db/thread-964-1-2.html)
設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( a_1=2 \)且\( \displaystyle a_n=\frac{2a_{n-1}+1}{a_{n-1}+2} \)，\( \forall n \ge 2 \)，求一般項\( a_n \)(以n表示)。
(101台中一中，
https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)
數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)的遞迴定義式為\( a_1=1 \)，\( \displaystyle a_n=\frac{5a_{n-1}}{3a_{n-1}+4} \)( \( n \in N,n \ge 2 \) )，則一般項\( a_n \)為何？
(102台中二中代理，
https://math.pro/db/thread-1691-1-1.html)
102.12.26補充
數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( a_0=3 \)，\( \displaystyle a_n=\frac{3a_{n-1}+1}{a_{n-1}+3} \)，求\( n \ge \)時，一般項\( a_n= \)？
(101台中二中二招，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1459&page=4#pid9487)
105.5.16補充
求\(\langle\;a_n \rangle\;\)一般式，\( \Bigg\{\; \matrix{\displaystyle a_1=0 \cr a_n=-\frac{a_{n-1}+6}{a_{n-1}+4},n \ge 2} \)。
(105華僑高中，
https://math.pro/db/thread-2507-1-1.html)
112.7.25補充
已知遞迴數列滿足，\(\displaystyle a_1=\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+3}{2a_n-4}\)，求一般式\(a_n=\)
。(以\(n\)表示)
(112東石高中，
https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html)
113.4.24補充
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴關係\(\cases{\displaystyle a_1=2\cr a_{n+1}=\frac{3}{2a_n+1},n\ge1}\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(a_n-1)(-\frac{3}{2})^n=\)
。
(113彰化女中，
https://math.pro/db/thread-3845-1-1.html)
像這種分式線性遞推的題目已有標準作法，0和\( \displaystyle \frac{1}{3} \)是這題不動點，用倒數來解釋無法推論到其他題目
往年考到這類題目時隨著係數的不同或許有其他作法，但考試的時候還是用標準的做法來做會比較穩
至於二階線性遞歸的題目就更常見了，但要小心當特徵方程為重根時要怎麼處理
文章請見
徐瀝泉·王繼岳·陳漢冶，遞歸數列與不動點
－－－－－－－－－－－－
若兩圖形\( y=f(x)=a^x \)與\( y=g(x)=log_a x \)有唯一的交點，則不為1的正實數a之範圍為。
(99建國中學，
https://math.pro/db/thread-968-1-2.html)
指數函數\( y=f(x)=a^x \)與對數函數\( y=g(x)=log_a x \)，若已知\( f(x) \)與\( g(x) \)相交三點，求實數a的範圍。
(97中一中，
https://math.pro/db/thread-1344-1-1.html)
103.5.8補充
就a值討論，\( log_ax=a^x \)的解的個數。
(103大同高中，
https://math.pro/db/thread-1873-1-1.html)
一個交點和三個交點都考過了還有兩個交點和沒有交點可以考
文章請見
李政豐·顏貽隆·蔡敏娟·陳明君，函數\( y=a^x \)與\( y=log_a x \)的圖形交點個數的探索
－－－－－－－－－－－－
95全國高中聯招考過三角形面積平分，95建功高中考過四邊形面積平分
http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl ... prev=4241&next=4232
文章請見
鄭再添，三角形面積平分探討
－－－－－－－－－－－－
若\( \displaystyle \frac{n}{100}<2cos \frac{2 \pi}{7}<\frac{n+1}{100} \)，\( n \in N \)，則\( n= \)？
(99建國中學，
https://math.pro/db/thread-968-1-2.html)
我是看了這篇文章才知道要怎麼解題
文章請見
曾健威·夏芷惠·黃奕妮，從解三次方程到構作正七邊形
－－－－－－－－－－－－
設\( a,b,c \)為一個三角形的三邊長，試證明\( \sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \)。
(97中二中，
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807
99鳳新高中，
https://math.pro/db/thread-974-1-2.html
99新竹實驗中學，100建國中學二招 都考過這題)
設\( \displaystyle 0< \theta < \frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{2}{sin\theta}+\frac{3}{cos\theta} \)之最小值。
(98彰化女中，
https://math.pro/db/thread-741-1-2.html)
剛好一題用科西不等式，另一題用廣義的科西不等式解題
文章請見
張國男，廣義Cauchy不等式定理及其應用
－－－－－－－－－－－－
\( a,b,c \)為三角形之邊長且\( a,b,c \)為正整數，\( a<b<c \)，若三角形周長等於三角形面積求所有數對\( (a,b,c) \)？
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=20694
題目改為半周長就是高中數學競賽教程的一題
求邊長為自然數的三角形，使其面積為周長的一半。
(高中數學競賽教程 P38)
文章請見
林克瀛，邊長為整數的三角形
－－－－－－－－－－－－
已知圓內接四邊形ABCD中，\( \overline{AB}=3 \)，\( \overline{BC}=5 \)，\( \overline{CD}=8 \)，\( \overline{DA}=5 \)，而點P為四邊形ABCD內一點，
今設點P至\( \overline{AB} \)、\( \overline{BC} \)、\( \overline{CD} \)、\( \overline{DA} \)的距離分別為a、b、c、d，試求：
(1)四邊形ABCD的面積？
(2)\( a^2+b^2+c^2+d^2 \)的最小值為？
(99桃園高中，
https://math.pro/db/thread-980-1-2.html)
圓內接凸四邊形ABCD，若四邊長分為\( \overline{AB}=a \)，\( \overline{BC}=b \)，\( \overline{CD}=c \)，\( \overline{DA}=d \)，證明四邊形ABCD的面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)，其中\( \displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2} \)
(100玉井工商，
https://math.pro/db/thread-1131-1-1.html)
101.5.4補充
若圓內接四邊形ABCD的四個邊長分別為a，b，c，d，設\( \displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2} \)，試證明圓內接四邊形ABCD的面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)。
(100松山工農，
https://math.pro/db/thread-1137-1-2.html)
考慮所有的四邊形ABCD，其中\( \overline{AB}=14 \)，\( \overline{BC}=9 \)，\( \overline{CD}=7 \)，\( \overline{DA}=12 \)。試問在這種四邊形內部，或與此四邊形內切圓最大圓的半徑是多少？
(A)\( \sqrt{15} \) (B)\( \sqrt{21} \) (C)\( 2 \sqrt{6} \) (D)5 (E)\( 2\sqrt{7} \)
(2011AMC12，
https://math.pro/db/thread-1080-1-1.html)
四邊形ABCD，\( \overline{AB}=14 \)、\( \overline{BC}=9 \)、\( \overline{CD}=7 \)、\( \overline{DA}=12 \)，求四邊形ABCD的所有內切圓中，面積最大者為
(101文華高中，
https://math.pro/db/thread-1333-1-1.html)
101.5.15補充
若圓內接四邊形ABCD的四邊長分別為a,b,c,d，設\( \displaystyle s=\frac{1}{2}(a+b+c+d) \)，則四邊形ABCD之面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)
(101嘉義高中，
https://math.pro/db/thread-1357-1-1.html)
(103松山家商，
https://math.pro/db/thread-1925-1-1.html)
113.1.6補充
設平面四邊形ABCD的四邊長\(a=AB,b=BC,c=CD,d=DA\)，
(1)試求此四邊形面積的最大值；
(2)若\(a,b,c,d\)為四個連續的正整數。證明：四邊形\(ABCD\)面積的最大值不為整數。
(112基隆女中第二次，
https://math.pro/db/thread-3803-1-1.html)
蔡聰明，四邊形的面積
－－－－－－－－－－－－
設四邊形ABCD是圓的內接四邊形，試證：\( \overline{AC}\times \overline{BD}=\overline{BC}\times \overline{AD}+\overline{AB}\times \overline{CD} \)。
(97中和高中，
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364)
文章請見
蔡聰明，星空燦爛的數學(II)－－托勒密定理
－－－－－－－－－－－－
100.2.17補充
已知\( 146=5^2+11^2 \)，\( 218=7^2+13^2 \)，試將\( 146×218=31828 \)表示成兩個正整數的平方和？
(99松山高中，
https://math.pro/db/thread-1044-1-1.html)
https://math.pro/db/thread-629-1-1.html
文章請見
陳敏晧，數學史連結數學思考一以費伯納西恆等式為例
－－－－－－－－－－－－
100.7.21補充
在99課綱中學生學到相關係數時,因為那時尚未學到科西不等式,所以請問您要如何跟學生講解相關係數的值是\( -1 \le r \le1 \)?
(100松山高中代理，
https://math.pro/db/thread-1188-1-1.html)
解題的方法只是把柯西不等式的證明換句話說
文章請見
張福春、李姿霖，不等式之基本解題方法
－－－－－－－－－－－－
100.9.3補充
設\( \displaystyle S_n=\sum_{k=2}^n log_2(cos \frac{\pi}{2^k}) \)，試證\( -1<S_n<0 \)。
(97潮州高中，98彰化女中，
https://math.pro/db/thread-741-1-1.html)
題目出自72年大學聯考
文章請見
陳昭地，「七十二學年度大學聯考數學試題」雜感
－－－－－－－－－－－－
100.10.23補充
求\( \displaystyle \frac{1}{(x-3)(x-2)^2} \)中\( x^8 \)的係數。
答案：\( \displaystyle -(\frac{1}{3})^9-7(\frac{1}{2})^{10} \)
原來97松山工農的這題出自這裡
文章請見
張福春、曾介玫，一般生成函數之應用
－－－－－－－－－－－－
100.11.14補充
設\( x^3+2x^2+3x+4=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5 \)
(99苗栗高中，
https://math.pro/db/thread-1019-1-1.html)
令a,b,c為三次方程式\( x^3+5x+11=0 \)的根，求\( a^3+b^3+c^3 \)
(A)-33 (B)33 (C)22 (D)-22
(98金門縣國中聯招)
101.6.17補充
a,b,c為非零實數，\( a^5+b^5+c^5=a^3+b^3+c^3 \)，\( a+b+c=0 \)，則\( a^2+b^2+c^2= \)？
(101鳳新高中，
https://math.pro/db/thread-1420-1-1.html)
103.5.8補充
已知方程式\( x^3-2x^2-6x+5=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \alpha^4+\beta^4+\gamma^4= \)？
(103家齊女中，
https://math.pro/db/thread-1860-1-1.html)
103.7.5補充
若a、b、c是方程式\( x^3-6x^2+5x=1 \)的三個根，則\( a^5+b^5+c^5= \)？(A)2883 (B)3281 (C)3779 (D)4198
(103基隆市國中聯招)
109.4.20補充
已知方程式\(x^5-x^4-x^3-x^2-x-3=0\)的五個根分別為 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\)，求\(a^5+b^5+c^5+d^5+e^5\)的值為。
(109竹科實中，
https://math.pro/db/thread-3311-1-1.html)
109.5.11補充
已知三次方程式\(x^3-2x^2-6x+5=0\)的三根分別為\(\alpha,\beta,\gamma\)，則\(\alpha^5+\beta^5+\gamma^5=\)
。
(109中正預校，
https://math.pro/db/thread-3325-1-1.html)
113.5.30補充
已知\(\alpha+\beta+\gamma=3,\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-2,\alpha\beta\gamma=-10\)，試求\(\alpha^7+\beta^7+\gamma^7=\)
。
(113華江高中，
https://math.pro/db/thread-3880-1-1.html)
113.2.15補充
多項式\(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)，
定義：
\(e_0(f(x))=1\)、
\(e_1(f(x))=\alpha+\beta+\gamma\)(即\(f(x)=0\)的三根之和)、
\(e_2(f(x))=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\)(即\(f(x)=0\)的三根任取兩個乘積不重複之和)、
\(e_3(f(x))=\alpha\beta\gamma\)(即\(f(x)=0\)的三根任取三個乘積不重複之和)、
\(p_n(f(x))=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n\)(即\(f(x)=0\)的三根各別\(n\)次方之和，\(n\)為自然數)。
故\(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-e_1(f(x))x^2+e_2(f(x))x-e_3(f(x))\)
(1)試証：\(2\cdot e_2(f(x))=e_1(f(x))\cdot p_1(f(x))-e_0(f(x))\cdot p_2(f(x))\)
(2)利用\(\cases{f(\alpha)=\alpha^3-e_1(f(x))\alpha^2+e_2(f(x))\alpha-e_3(f(x))=0 \cr
f(\beta)=\beta^3-e_1(f(x))\beta^2+e_2(f(x))\beta-e_3(f(x))=0 \cr
f(\gamma)=\gamma^3-e_1(f(x))\gamma^2+e_2(f(x))\gamma-e_3(f(x))=0}\)，
証明：\(3e_3(f(x))=e_2(f(x))\cdot p_1(f(x))-e_1(f(x))\cdot p_2(f(x))+e_0(f(x))\cdot p_3(f(x))\)
(3)若\(p_1(f(x))=\alpha+\beta+\gamma=1\)、\(p_2(f(x))=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=2\)、\(p_3(f(x))=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=3\)、
①利用(1)、(2)及\(g(x)=x(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)，求出\(p_4(g(x))=p_4(f(x))=\alpha^4+\beta^4+\gamma^4\)之值。
②利用(1)、(2)、①及\(h(x)=x^2(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)，求出\(p_5(h(x))=p_5(f(x))=\alpha^5+\beta^5+\gamma^5\)之值。
(109台南一中科學班 實驗實作試題，
https://www.tnfsh.tn.edu.tw/sub/ ... 9,31,245,200,,,1023)
文章請見
何志誠，以長除法求一元n次方程各根m方和
陳錦初，多項式根冪次和的新解法
102.9.4補充
數學傳播第七卷第四期
林文東,一元n次方程式根的同次冪之和的求法.rar (105.48 KB)
－－－－－－－－－－－－
101.8.1補充
在圓上任取12個點，兩兩相連所得的直線，最多將此圓內區域分割成為幾個區域？
(101台中一中，
https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)
連接圓上10個相異點所能形成的所有弦，最多會把圓分成幾塊？
(101松山工農，
https://math.pro/db/thread-1482-1-1.html)
文章請見
王子俠，一組弦可將圓分成幾部份？(一道簡單的計數問題所引發的兩個啟示)
感謝weiye
https://math.pro/db/thread-916-1-1.html
－－－－－－－－－－－－
101.10.14補充
在邊長為1的正方形內任給5點，證明：其中必有2點，他們的距離小於或等於\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \)。
(100全國高中數學能力競賽 第一區口試試題，
https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)
文章請見
在邊長為1的正方形上任取5點，其中必有2點，它們之間的距離不超過\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \)。
在邊長為1的正立方體內任取9點，證明：其中必有二點，距離不超過\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)。
(數學傳播 第6卷第4期 彭志帆 抽屜原理)
－－－－－－－－－－－－
有一個各位數字都不相同且都不為0的四位數，將這四位數的各位數字重新排列，可得一個最大數和一個最小數(例如:2793經重排後，最大數為9732，最小數為2379)，如果如得的最大數與最小數的差恰好就是此四位數，試求所有這種四位數。
(100全國高中數學能力競賽 第一區筆試(一)，
https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)
文章請見
將一個四位數更動其個、十、百、千位，得一最大數與最小數，取兩者之差得一新數。將此新數更動其位數，取其大數減小數之差得另一新數，將此新數反覆作同樣的操作，最後結果，只要原來四位數之個、十、百、千位不盡相同，都是6174。為什麼？請將以上事實給予嚴格的證明。
數學傳播 第3卷第2期 謝聰智，6174妙題巧解
－－－－－－－－－－－－
101.11.8補充
設\( a,b>0 \)，求\( \displaystyle (a+\frac{1}{b})(3b+\frac{1}{3a}) \)之最小值為？
(101松山工農，
https://math.pro/db/thread-1482-1-3.html)
當\( x>0,y>0 \)時求\( \displaystyle (x+\frac{1}{y})(2y+\frac{1}{2x}) \)之最小值？下述兩種做法所得答案不同，錯在哪裏？
數學傳播 第1卷第3期 羅添壽，極值求法
－－－－－－－－－－－－
102.3.7補充
在99課綱中學生學到相關係數時,因為那時尚未學到科西不等式,所以請問您要如何跟學生講解相關係數的值是-1<= r <=1?
(100松山高中代理，
https://math.pro/db/thread-1188-1-1.html)
113.5.11補充
\(n\)筆數據\((x_i,y_i)\)，\(1\le i\le n\)，若\(n\)筆數據\((x_i,y_i)\)的相關係數存在並記為\(r\)，試用高中數學的方法證明\(|\;r|\;\le 1\)。
(113全國高中職聯招，
https://math.pro/db/thread-3859-1-1.html)
文章請見
數學傳播 第36卷第4期 唐柏寧，在99課綱中談相關係數\( -1 \le r \le 1 \)
－－－－－－－－－－－－
102.3.7補充裂項相消的題目
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{1}{3}\Bigg[\; 1-\frac{1}{3n+1} \Bigg]\; \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{4k}{4k^4+1}=1-\frac{1}{2n^2+2n+1} \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k \sqrt{k+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \)
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{2k+1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{5}{4}-\frac{1/2}{n+1}-\frac{3/2}{n+2} \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}cos k\alpha=\frac{sin(n+\frac{1}{2})\alpha}{2sin \frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \frac{sinx}{cosx}+\frac{sin2x}{cos^2 x}+...+\frac{sinnx}{cos^n x}=cotx-\frac{cos(n+1)x}{sinxcos^nx} \)
\( \displaystyle \frac{1}{sin2x}+\frac{1}{sin4x}+...+\frac{1}{sin2^nx}=cotx-cot2^nx \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k!(k^2+k+1)=(n+1)!(n+1)-1 \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k! \times k=(n+1)!-1 \)
文章請見
數學傳播 第36卷第4期 林宜嬪,張福春，級數求和、對消和與消乘積(下)
－－－－－－－－－－－－
113.5.11補充
設\(f(x)=cos x+sin(\sqrt{3}x)\)，試證：\(f(x)\)不是週期函數。
(100中科實中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1107&page=1#pid3149)
文章請見
數學傳播 第48卷第1期 林開亮，三角多項式的週期：對47年前本刊創刊號一問題之回響
