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教甄筆試心得分享 103.7.18寸絲教甄筆記大更新快來下載

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我一拿到新書就開始和舊書一頁一頁比較,看看到底增刪了哪些內容
比較後發現新書將部分的AMC,ARML,AIME,TRML題目被移除了
我猜測作者要避免使用到有版權的題目,用指考及學測的題目代替

另外在序也提到
二、刪去「反三角函數」、「坐標變換」,加入「常態分佈與信賴區間」及「排列組合引用數列之遞迴解題」。
三、本書自94年出版以來,頗受好評,各校教師甄選採用本書中頗多題材,特此誌謝。


整體看來,修訂版變得比較迎向高中生的市場,但以教師甄試來看則稍嫌不足,因版權問題而有這樣的更動,卻也是無可奈何。
聖經之所以為聖經,就是擁有其他坊間參考書所沒有的競賽試題,而這些正是教甄的出題來源,不是說指考和學測試題不重要,而是隨便一本歷屆試題都有,高中數學101的價值也不在這裡。
我的建議是已經有舊版的網友請你好好收藏這本書,至於還沒有這本書的網友這本書仍是準備高中數學教甄的不二人選。



底下我列出幾個單元在新舊版上的差異,列出來的都是舊版才有的題目,你可以對照新版被換成哪些題目
像第13單元演練題4第1小題就是98松山工農考過的題目,但新版已經移除了



第10單元 一元二次方程式(一)
沒有更動

第11單元 一元二次方程式(二)
例題3
設\( ax^2+bx+c=0 \)之二根均為無理數,且此二根之近似值為0.8470703308及-0.5930703308。若\( a,b,c \in Z \),且(a,b,c)=1,又a>0,|b|≦10,|c|≦10,計算a=,b=,c=。【1996ARML試題】

第12單元 數列級數(一) 有限數列與級數
例題4
\( n \in N \),\( a_n=\sqrt{n} \)之最接近之整數值。(1)\( m \in N \),滿足\( a_n=m\)之自然數n之個數=。(用m表示) (2)\( \displaystyle \sum^{2001}_{k=1}a_k \)=。【日本國立橫濱大學】

演練題4
平面上n個圓最多將平面分成個區域。

演練題6
(1)\( \displaystyle \sum^{n}_{k=1}k(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n} ) \)=。
(2)數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)之前n項之和\( a_1+a_2+...+a_n=2^{n+1}(n^2-2n) \),則此數列第n項\( a_n \)=。【87日大社會組】

第13單元 數列級數(二) 等差、等比、調和級數
例題4
設a、b為二定正數,且\( a_1 \)、x、y、b成等差;a、u、v、b成等比,求證(1)xy≧uv。(2)x+y≧u+v。

演練題4
(1)已知\( \langle\; a_n \rangle\; \)成A.P.,求證\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}} \)。
(2)已知a、x、y、b成A.P.,a、p、q、b成H.P.,則\( \displaystyle \frac{qx}{py} \)=。

演練題5
一G.P.之前n項和= \( S_n \),前n項之乘積= \( P_n \),前n項倒數和= \( T_n \),求證\( \displaystyle P^2_n=( \frac{S_n}{T_n} )^n \)。

演練題6
(1)設a、b、c、d成H.P.,則\( \displaystyle \frac{a+b}{a-b}-\frac{c+d}{c-d} \)=。
(2)x≠1,則\( 1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^{n-1} \)=。

第14單元 數列級數(三) 遞迴數列、無窮數列之極限
例題4
(1)已知\( a_1=-2 \),\( \forall n \in N \),n>1時,\( \displaystyle a_n=\frac{1+a_{n-1}}{1-a_{n-1}} \),則\( a_{1999} \)=。【1999TRML試題】
(2)已知\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( a_1=2 \),\( a_2=8 \),n>1時,\( \displaystyle \sqrt{a_n}=\frac{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n+1}}}{2} \),則\( a_{2000} \)=。【2000TRML試題】

第15單元 數列級數(四) 無窮等比級數
沒有更動

第16單元 數學歸納法
沒有更動

第17單元 平面上之直線(一) 平面坐標系-距離公式、分點公式、面積、斜率
例題3
一個正十二邊形之頂點依順時針方向坐標為\( (x_i,y_i) \),i=1,2,3,...,12。若\( (x_i,y_i)=(15,9) \),且\( (x_7,y_7)=(15,5) \),則\( \displaystyle \sum^{12}_{i=1}(x_i-y_i) \)=。【2001ARML試題】

例題4
從原點出發之一道光線,射在鏡面(視為一直線)上一點A(4,8),且反射道點B(8,12),則鏡面(直線L)之斜率為。【2002ARML試題】

演練題5
利用解析證法證明任意凸四邊形四邊平方和≧二對角線平方和,並說明「=」成立\( \iff \)四邊形為平行四邊形。

演練題6
設A(-3,-1)、B(2,1)、C(3,4)、D(-2,8),P為平面上之動點,則
(1)\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2 \)之最小值=,此時P=。
(2)\( \overline{PA}+\overline{PB}+\overline{PC}+\overline{PD} \)之最小值=,此時P=。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-8-1 05:02 AM 編輯 ]

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好書不會絕後的!!

又出新版的,黃老師有聽到大家的心裏的os哦!!!

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經網友weirenn同意後將文章轉到這裡
僅節錄和筆試有相關的部份,其餘請參閱附件


在明星高中代理期間  我接了高中導師一職
其實對我而言 是一種磨練 也讓今年的教師甄試加了一些分數

因為我所代理的高中 學生都是PR99,98進來的
剛開始 我會小害怕  時時刻刻都處在隨時會被問倒的危機當中
但是俗話說的好"危機就是轉機"
我剛好用了這批學生來磨練我自己

首先 學校安排了一門數學選修課程給我上
內容幾乎都是高中課程的延伸  隱約有教師甄試的影子
像是 費氏數列 同餘 鴿籠原理 費瑪點 ...等等
雖然備課無敵累 但也幫我建立好一些底子
原來不是狂作考古題就好  基礎很重要

再來學生無時無刻都會拿難題來問你
TRML ARML AMC12 高中數學競賽等試題
我戰戰兢兢接受他們的磨鍊 也還好沒漏氣

因為學生程度夠 我便想到可以讓他們挑戰難題
我拿了高中數學101 及 教師甄試 的考題來上課
一方面給他們做 一方面我在講台上解一次
雙方都獲利! 事實證明
教甄有幾次就出現我上課講的題目


版主補充
高中數學101,高中數學能力競賽,TRML,ARML,AMC12,AIME
學測指考,奧數教程,高中數學競賽教程,這都是教甄命題的來源
今年沒考只是出題老師沒選到而已,不代表明年就不會考
只準備考古題很難在競爭激烈的教甄中脫穎而出

附件

你的報名費不會白費的.rar (7.07 KB)

2010-7-2 00:33, 下載次數: 3449

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僅節錄書單的部份,其餘請參閱附件

以下準備方向可供各位參考
(1)課內: (念完也"比較"不會被學生隨便輕易的問趴)
     1.課本, 教師手冊, 各版本常見的參考書(徐氏一定要熟讀, 這是最基本的)
     2.各名校段考試題(翰林有出書), 比較有深度的測驗卷(有些廠商有在賣)
     3.所有歷屆的學測, 推甄, 聯考, 指考試題(有些舊書可去圖書館找, 可以找到)
     4.各區模擬學測指考試題(賴老師網站, 薪橋, 詮達, ....很多都有出)
     5.名校輔教, 或數學年鑑, 或日本, 大陸入學考, 甚至高考試題(有心都可以找到)
     6.補習班講義有時候都會收集一些精彩考題(舊書攤找的到)

(2)課外:
     1.高中數學101(這是最基本的, 你不熟, 別人會很熟= =)
     2.名校校內數學競試(網路上都可以找到, 花點心思去找吧!)
     3.名校雙,單週一題(網路上也可以找到)
     4.中山雙週一題(有些題目比較偏離教甄, 但是還是有參考價值)
     5.AMC12(後面幾題比較有參考價值),TRML,ARML,AIME, 城市盃(題目都很漂亮)
     6.高中數學資優班入學考題(很多學校都有, 例如:中女,嘉中,中山大學,高雄大學..)
     7.台大, 師大數學系推甄試題, 台師大教育研究所考古題, 台大資工推甄試題...等
     8.台灣各區高中數學競賽, 能力競賽(網路有些也可以抓到)
     9.大陸高中數學聯賽, 或模擬試題
    10.亞太培訓教材, 或國內一些老師寫的培訓教材
    11.世界, 蘇聯, 美蘇, 莫斯科, 美國競賽試題,....太多了(有出書)
    12.九章, 凡異有很多競賽相關書籍
    13.大學微積分和線性代數
    14.建中通訊解題
    15.數學傳播的文章
    16.近十年的教甄考古題, 年份越早一定越不齊全, 95之後漸漸開始有公佈電子檔
    17.高中數學教程, 奧數教程(三冊)
    18.奧林匹克歷屆試題(可以學到一些觀念與技巧, 很有深度= =)

(3)論壇:
     1.全國教師會選聘服務網(96,97)
        h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/forumdisplay.php?f=24 (連結已失效)
  這裡可以下載備份檔
  https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9233
     2.全國教師會選聘服務網(94,95)
        h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/ (連結已失效)
     3.美夢成真教甄討論區
        http://www.shiner.idv.tw/teachers/index.php
     4.Math Pro 數學補給站
        https://math.pro/db/
     5.巨人网家長社區
        h ttp://bbs.juren.com/tag.php?name=%E6%95%B0%E5%AD%A6 (連結已失效)
     6.YLL討論網
        http://www.yll.url.tw/viewforum.php?f=52
     7.人教論壇
        http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=forumdisplay&fid=38
     8.台灣深藍學生聯合論壇
        http://www.student.tw/db/forumdisplay.php?f=397
     9.奧數之家
        http://www.aoshoo.com/bbs1/index.asp
    10.ptt數學版
    11.陆元鸿老师的《数学中国》园地
        http://www.mathchina.net/dvbbs/index.asp
    12.還有很多國外的, 自己花點時間去找吧!

[ 本帖最後由 bugmens 於 2017-3-28 12:27 編輯 ]

附件

99高中數學教甄準備方向供參考.rar (3.43 KB)

2010-7-12 03:23, 下載次數: 2379

AMC12.zip (1.18 MB)

2016-5-1 22:12, 下載次數: 834

ARML.zip (564.4 KB)

2016-5-1 22:27, 下載次數: 617

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難得有考生的經驗分享會提到"數學傳播",我再補充幾篇關於教甄的文章
至於檔案連結我就不放了,可以到http://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/尋找
也順便看看其他的文章,你的數學能力一定會所提升


設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)遞迴定義式為\( \displaystyle \cases{\displaystyle a_1=1 \cr a_n=\frac{5a_{n-1}}{3a_{n-1}+4},(n \in N,n \ge 2) } \),求\( a_n= \)?(以n表示)
(99鳳新高中,https://math.pro/db/thread-1492-1-1.html)

數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)中,\( a_1=a_2=1 \),\( a_n=a_{n-1}+2a_{n-2} \)( \( n \ge 3 \) )則\( a_n \)的一般式\( a_n= \)?
(99嘉義高工,https://math.pro/db/thread-964-1-2.html)

設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( a_1=2 \)且\( \displaystyle a_n=\frac{2a_{n-1}+1}{a_{n-1}+2} \),\( \forall n \ge 2 \),求一般項\( a_n \)(以n表示)。
(101台中一中,https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)的遞迴定義式為\( a_1=1 \),\( \displaystyle a_n=\frac{5a_{n-1}}{3a_{n-1}+4} \)( \( n \in N,n \ge 2 \) ),則一般項\( a_n \)為何?
(102台中二中代理,https://math.pro/db/thread-1691-1-1.html)

102.12.26補充
數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( a_0=3 \),\( \displaystyle a_n=\frac{3a_{n-1}+1}{a_{n-1}+3} \),求\( n \ge \)時,一般項\( a_n= \)?
(101台中二中二招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1459&page=4#pid9487)

105.5.16補充
求\(\langle\;a_n \rangle\;\)一般式,\( \Bigg\{\; \matrix{\displaystyle a_1=0       \cr a_n=-\frac{a_{n-1}+6}{a_{n-1}+4},n \ge 2} \)。
(105華僑高中,https://math.pro/db/thread-2507-1-1.html)


像這種分式線性遞推的題目已有標準作法,0和\( \displaystyle \frac{1}{3} \)是這題不動點,用倒數來解釋無法推論到其他題目
往年考到這類題目時隨著係數的不同或許有其他作法,但考試的時候還是用標準的做法來做會比較穩

至於二階線性遞歸的題目就更常見了,但要小心當特徵方程為重根時要怎麼處理

文章請見
徐瀝泉·王繼岳·陳漢冶,遞歸數列與不動點


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若兩圖形\( y=f(x)=a^x \)與\( y=g(x)=log_a x \)有唯一的交點,則不為1的正實數a之範圍為。
(99建國中學,https://math.pro/db/thread-968-1-2.html)

指數函數\( y=f(x)=a^x \)與對數函數\( y=g(x)=log_a x \),若已知\( f(x) \)與\( g(x) \)相交三點,求實數a的範圍。
(97中一中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=46779)

103.5.8補充
就a值討論,\( log_ax=a^x \)的解的個數。
(103大同高中,https://math.pro/db/thread-1873-1-1.html)
一個交點和三個交點都考過了還有兩個交點和沒有交點可以考
文章請見
李政豐·顏貽隆·蔡敏娟·陳明君,函數\( y=a^x \)與\( y=log_a x \)的圖形交點個數的探索


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95全國高中聯招考過三角形面積平分,95建功高中考過四邊形面積平分
http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl ... prev=4241&next=4232
文章請見
鄭再添,三角形面積平分探討


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若\( \displaystyle \frac{n}{100}<2cos \frac{2 \pi}{7}<\frac{n+1}{100} \),\( n \in N \),則\( n= \)?
(99建國中學,https://math.pro/db/thread-968-1-2.html)

我是看了這篇文章才知道要怎麼解題
文章請見
曾健威·夏芷惠·黃奕妮,從解三次方程到構作正七邊形


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設\( a,b,c \)為一個三角形的三邊長,試證明\( \sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \)。
(97中二中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807
99鳳新高中,https://math.pro/db/thread-974-1-2.html
99新竹實驗中學,100建國中學二招 都考過這題)

設\( \displaystyle 0< \theta < \frac{\pi}{2} \),求\( \displaystyle \frac{2}{sin\theta}+\frac{3}{cos\theta} \)之最小值。
(98彰化女中,https://math.pro/db/thread-741-1-2.html)

剛好一題用科西不等式,另一題用廣義的科西不等式解題

文章請見
張國男,廣義Cauchy不等式定理及其應用


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\( a,b,c \)為三角形之邊長且\( a,b,c \)為正整數,\( a<b<c \),若三角形周長等於三角形面積求所有數對\( (a,b,c) \)?
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=20694

題目改為半周長就是高中數學競賽教程的一題
求邊長為自然數的三角形,使其面積為周長的一半。
(高中數學競賽教程 P38)


文章請見
林克瀛,邊長為整數的三角形


------------
已知圓內接四邊形ABCD中,\( \overline{AB}=3 \),\( \overline{BC}=5 \),\( \overline{CD}=8 \),\( \overline{DA}=5 \),而點P為四邊形ABCD內一點,
今設點P至\( \overline{AB} \)、\( \overline{BC} \)、\( \overline{CD} \)、\( \overline{DA} \)的距離分別為a、b、c、d,試求:
(1)四邊形ABCD的面積?
(2)\( a^2+b^2+c^2+d^2 \)的最小值為?
(99桃園高中,https://math.pro/db/thread-980-1-2.html)

圓內接凸四邊形ABCD,若四邊長分為\( \overline{AB}=a \),\( \overline{BC}=b \),\( \overline{CD}=c \),\( \overline{DA}=d \),證明四邊形ABCD的面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \),其中\( \displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2} \)
(100玉井工商,https://math.pro/db/thread-1131-1-1.html)

101.5.4補充
若圓內接四邊形ABCD的四個邊長分別為a,b,c,d,設\( \displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2} \),試證明圓內接四邊形ABCD的面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)。
(100松山工農,https://math.pro/db/thread-1137-1-2.html)

考慮所有的四邊形ABCD,其中\( \overline{AB}=14 \),\( \overline{BC}=9 \),\( \overline{CD}=7 \),\( \overline{DA}=12 \)。試問在這種四邊形內部,或與此四邊形內切圓最大圓的半徑是多少?
(A)\( \sqrt{15} \) (B)\( \sqrt{21} \) (C)\( 2 \sqrt{6} \) (D)5 (E)\( 2\sqrt{7} \)
(2011AMC12,https://math.pro/db/thread-1080-1-1.html)

四邊形ABCD,\( \overline{AB}=14 \)、\( \overline{BC}=9 \)、\( \overline{CD}=7 \)、\( \overline{DA}=12 \),求四邊形ABCD的所有內切圓中,面積最大者為
(101文華高中,https://math.pro/db/thread-1333-1-1.html)

101.5.15補充
若圓內接四邊形ABCD的四邊長分別為a,b,c,d,設\( \displaystyle s=\frac{1}{2}(a+b+c+d) \),則四邊形ABCD之面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)
(101嘉義高中,https://math.pro/db/thread-1357-1-1.html)
(103松山家商,https://math.pro/db/thread-1925-1-1.html)

蔡聰明,四邊形的面積


------------
設四邊形ABCD是圓的內接四邊形,試證:\( \overline{AC}\times \overline{BD}=\overline{BC}\times \overline{AD}+\overline{AB}\times \overline{CD} \)。
(97中和高中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364)

文章請見
蔡聰明,星空燦爛的數學(II)--托勒密定理


------------
100.2.17補充
已知\( 146=5^2+11^2 \),\( 218=7^2+13^2 \),試將\( 146×218=31828 \)表示成兩個正整數的平方和?
(99松山高中,https://math.pro/db/thread-1044-1-1.html)
https://math.pro/db/thread-629-1-1.html

文章請見
陳敏晧,數學史連結數學思考一以費伯納西恆等式為例


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100.7.21補充
在99課綱中學生學到相關係數時,因為那時尚未學到科西不等式,所以請問您要如何跟學生講解相關係數的值是\( -1 \le r \le1 \)?
(100松山高中代理,https://math.pro/db/thread-1188-1-1.html)

解題的方法只是把柯西不等式的證明換句話說

文章請見
張福春、李姿霖,不等式之基本解題方法


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100.9.3補充
設\( \displaystyle S_n=\sum_{k=2}^n log_2(cos \frac{\pi}{2^k}) \),試證\( -1<S_n<0 \)。
(97潮州高中,98彰化女中,https://math.pro/db/thread-741-1-1.html)
題目出自72年大學聯考

文章請見
陳昭地,「七十二學年度大學聯考數學試題」雜感


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100.10.23補充
求\( \displaystyle \frac{1}{(x-3)(x-2)^2} \)中\( x^8 \)的係數。
答案:\( \displaystyle -(\frac{1}{3})^9-7(\frac{1}{2})^{10} \)
原來97松山工農的這題出自這裡

文章請見
張福春、曾介玫,一般生成函數之應用
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100.11.14補充
設\( x^3+2x^2+3x+4=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \),則\( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5 \)
(99苗栗高中,https://math.pro/db/thread-1019-1-1.html)

令a,b,c為三次方程式\( x^3+5x+11=0 \)的根,求\( a^3+b^3+c^3 \)
(A)-33 (B)33 (C)22 (D)-22
(98金門縣國中聯招)

101.6.17補充
a,b,c為非零實數,\( a^5+b^5+c^5=a^3+b^3+c^3 \),\( a+b+c=0 \),則\( a^2+b^2+c^2= \)?
(101鳳新高中,https://math.pro/db/thread-1420-1-1.html)

103.5.8補充
已知方程式\( x^3-2x^2-6x+5=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \),則\( \alpha^4+\beta^4+\gamma^4= \)?
(103家齊女中,https://math.pro/db/thread-1860-1-1.html)

103.7.5補充
若a、b、c是方程式\( x^3-6x^2+5x=1 \)的三個根,則\( a^5+b^5+c^5= \)?(A)2883 (B)3281 (C)3779 (D)4198
(103基隆市國中聯招) 

文章請見
何志誠,以長除法求一元n次方程各根m方和
陳錦初,多項式根冪次和的新解法

102.9.4補充
數學傳播第七卷第四期
林文東,一元n次方程式根的同次冪之和的求法.rar (105.48 KB)

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101.8.1補充
在圓上任取12個點,兩兩相連所得的直線,最多將此圓內區域分割成為幾個區域?
(101台中一中,https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

連接圓上10個相異點所能形成的所有弦,最多會把圓分成幾塊?
(101松山工農,https://math.pro/db/thread-1482-1-1.html)

文章請見
王子俠,一組弦可將圓分成幾部份?(一道簡單的計數問題所引發的兩個啟示)

感謝weiye
https://math.pro/db/thread-916-1-1.html

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101.10.14補充
在邊長為1的正方形內任給5點,證明:其中必有2點,他們的距離小於或等於\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \)。
(100全國高中數學能力競賽 第一區口試試題,https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

文章請見
在邊長為1的正方形上任取5點,其中必有2點,它們之間的距離不超過\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \)。
在邊長為1的正立方體內任取9點,證明:其中必有二點,距離不超過\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)。
(數學傳播 第6卷第4期 彭志帆 抽屜原理)
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有一個各位數字都不相同且都不為0的四位數,將這四位數的各位數字重新排列,可得一個最大數和一個最小數(例如:2793經重排後,最大數為9732,最小數為2379),如果如得的最大數與最小數的差恰好就是此四位數,試求所有這種四位數。
(100全國高中數學能力競賽 第一區筆試(一),https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

文章請見
將一個四位數更動其個、十、百、千位,得一最大數與最小數,取兩者之差得一新數。將此新數更動其位數,取其大數減小數之差得另一新數,將此新數反覆作同樣的操作,最後結果,只要原來四位數之個、十、百、千位不盡相同,都是6174。為什麼?請將以上事實給予嚴格的證明。
數學傳播 第3卷第2期 謝聰智,6174妙題巧解
------------
101.11.8補充
設\( a,b>0 \),求\( \displaystyle (a+\frac{1}{b})(3b+\frac{1}{3a}) \)之最小值為?
(101松山工農,https://math.pro/db/thread-1482-1-3.html)

當\( x>0,y>0 \)時求\( \displaystyle (x+\frac{1}{y})(2y+\frac{1}{2x}) \)之最小值?下述兩種做法所得答案不同,錯在哪裏?
數學傳播 第1卷第3期 羅添壽,極值求法
------------
102.3.7補充
在99課綱中學生學到相關係數時,因為那時尚未學到科西不等式,所以請問您要如何跟學生講解相關係數的值是-1<= r <=1?
(100松山高中代理,https://math.pro/db/thread-1188-1-1.html)

文章請見
數學傳播 第36卷第4期 唐柏寧,在99課綱中談相關係數\( -1 \le r \le 1 \)
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102.3.7補充裂項相消的題目
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{1}{3}\Bigg[\; 1-\frac{1}{3n+1} \Bigg]\; \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{4k}{4k^4+1}=1-\frac{1}{2n^2+2n+1} \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k \sqrt{k+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \)
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{2k+1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{5}{4}-\frac{1/2}{n+1}-\frac{3/2}{n+2} \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}cos k\alpha=\frac{sin(n+\frac{1}{2})\alpha}{2sin \frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \frac{sinx}{cosx}+\frac{sin2x}{cos^2 x}+...+\frac{sinnx}{cos^n x}=cotx-\frac{cos(n+1)x}{sinxcos^nx} \)
\( \displaystyle \frac{1}{sin2x}+\frac{1}{sin4x}+...+\frac{1}{sin2^nx}=cotx-cot2^nx \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k!(k^2+k+1)=(n+1)!(n+1)-1 \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k! \times k=(n+1)!-1 \)

文章請見
數學傳播 第36卷第4期 林宜嬪,張福春,級數求和、對消和與消乘積(下)
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葉東進-從函數觀點看遞迴數列.zip (50.45 KB)

2014-7-2 19:51, 下載次數: 1190

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先講筆試重點:
1.  高中數學101(94版):
  這本可以說是無人不知無人不曉,只要是高中數學科筆試,考試前隨便走走一定有這本的蹤跡,大家都拿在手上。 我考上不敢說只靠這本,但我敢說想要有系統的累積知識,這本可以幫助你滿多的

2.  徐式數學全套:
  這套如果全K完,考職業學校應該是十拿九穩,但我沒唸完,我把他當作工具書,哪裡是弱點,就先念哪裡。

3.  AIME、TRML、ARML、AMC各屆考題:
  書局有賣這些競賽的考古題,我考了大概快一百間吧,有些學校出題根本沒改數字一模一樣的考出來,所以說,如果沒事先唸過的話,就是等你翻到這題時再來陲心肝。

4.  教甄歷屆考題:
  承蒙demon大所說:數學科有Mathpro網站真的很幸福,裡面高手可是臥虎藏龍(瑋岳大和bugmen大和dream大和老王等等),bugmen大超有心還能找出類似考題,有時還有附上出處,以及延伸閱讀,每次延伸閱讀我都會下載盡力讀懂,因為延伸才是根本,網站上的只是延伸閱讀的鳳毛麟角而已。
  依我自己經驗,不是太多人會認真去看,因為有些人只是想知道怎麼解,不想知道原理。各位知道嗎?差距就是這樣拉開的。





  第一次代理,第一次當專任,學期也才16堂課,講實在滿輕鬆的。中午有時間我還能回家吃個午飯。但是人往往就是因為過於放鬆而失去鬥志,我自己就嚐到苦果。這年,我很認真拿起101每個章節都看,每個題目都算,不會的會先想一下才翻解答,然後再自己算一次。
  但是很快的我就發現,這樣是不夠的,到考場之後,要安心,一定要看自己有做筆記的筆記本,考場在那邊翻阿翻得,一本這麼重找重點又找不到,不如不要帶。

  所以我在代理這年就開始著手,當我整本念完一次後,第二次就把『看過曾經會算,但是久了再看卻不會算』的題目寫起來,特別難、需要特別技巧(公式or旋轉技巧)的就用紅筆加註。
  101裡面的重點整理如果有看到不知從何而來的公式,除了練到快背起來之外,一定要會證。  考題千變萬化,有時證明考出來10分,一翻兩瞪眼,有自己摸索過就會微笑,只有背的話只能傻笑。(我也曾經傻笑,但覺得太蠢了太不爽了,所以決定要努力變成微笑:D)

  關於筆記本的事情,我已經看完第二次,也將題目濃縮到兩本筆記本裡面,考出來得很多,我大多都會寫,因為我考前只看這個,但也有漏掉的時候,如果考出來確定在本子裡又沒寫對,就會想要撞牆and回家吃銀杏。
  這時101題目本已經累積兩本,公式本一本(寫得很少),精彩試題一本(主要寫當年考題or有特殊解法的),總共四本,考筆試我都會帶在身上,比較安心也不重。


感謝billyhun提供個人筆記照片檔,網址在附件裡。

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100年高中數學教甄心得.zip (8.95 KB)

2015-12-6 10:29, 下載次數: 2348

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此部份我專門討論如何「增強」筆試的實力,但可能不見得適合你(妳)
在第一年準備考試的時候,我算完了徐氏數學1-3冊,以及些許考古題
在第二年準備考試的時候,我算了一些舊版高中數學101,以及些許考古題
所以我今年在準備的什候,我直接算了4-6冊的徐氏數學以及沒算過的101
我把100年的所有搜集到的考古題印出來,打算一題一題寫
其實考到第三年,漸漸對於一些準備方式有自己的心得,以及編寫一些相關筆記


◎參考書目
因為我唸的書還蠻多的,參考的書目也很多,但沒有全部唸完
§徐氏數學(全)  (是一整套,打電話去訂購,然後匯款會寄一整套過來)
§高中數學101舊版 (完整做一輪)
§數學九陰真經(學測)(指考、舊制聯考)   裡面甚至有6x或7x年的聯考考題
§幾何明珠  (只有看一些定理,因為太多不懂了,之後會好好花時間研究)
§國中數學競賽教程    (當作工具書,之後要來研讀)
§高中數學競賽教程    (當作工具書,之後要來研讀)
§南一版(95)教師手冊  (參考補充資料)
§Math pro bugmens筆記分享
§100年度考古題(8x份) (完成95%以上)


◎觸類旁通、建立筆記、一題多解
我唸到高中數學101的一個單元,這個單元專門是在講遞迴數列的
但是很可惜他只有提到兩種比較"簡單型式(常見)"的遞迴數列
a_(n+1)=pa_n+q (兩項關係)
a_(n+2)+pa_(n+1)+qa_n=0 (三項關係)
但其實教甄真的很愛考遞迴數列,像101年教甄就考了「分數型式」的遞迴
出現了好幾次,我有看到的就兩次(中一中、內湖高中)
常用的技巧是「倒數、固定點」,在  Math pro 裡面有數學傳播的文章可以看
(是由高手bugmens推薦的文章,當然也要大推他的教甄準備之路以及筆記,太讚了!!!!)
所以我並不會只單純做101上面的題目,而是觸類旁通思考還有哪些型式
再來就是101有些題目其實很難,根本想不出來,有些題目我是做了3~5次之後
才能一看到題目就直覺地反應怎麼解,所以有些題目我會寫下筆記做「另解」
雖然不見得是很漂亮的解法,但至少是我自己寫的,考試的時候可以很快想出來。


◎考古題重要嗎?
我只能說,非常非常非常重要,重要的不僅僅是考古題本身,
而是你要去體會這個難度,比較建議的方法是一題一題「自己寫」
我自己的方法是,先把所有收集到100年的考古題印成一本(我記得有8x份),
我買了6本一模一樣的筆記本,然後一面只寫兩題,然後做標籤(ex. 100中二中)
把每一題的「解題過程」全部寫下來,這樣有什麼好處呢?
1.可以客觀判斷每一次的「思考流程」
2.了解為何沒有想到key point
3.請教一些身旁的高手,是否能繼續解下去
等等

有些題目一考再考,但能掌握的人卻不多
但雖然我做了這麼多的考古題,還是有好幾次考出來,我卻miss掉
有些技巧,用看的根本只會覺得很美,但為什麼要這樣做呢?
這才是分出勝負的關鍵點,是否有試著去思考背後的原理呢?
還記得曾經聽人說過一句話,第一次看到神奇的解法,你會覺得這是個技巧
但當你第十次使用就應該跟喝水一樣,於是就是苦練,不停地苦練才能進步
杜甫曾說過一句話:「讀書破萬卷,下筆如有神」
我一直覺得學數學可以慢慢思考,慢慢寫沒有關係
但在面臨這麼競爭的考試下,我覺得做得多,機會真的比較多


◎你(妳)想成為全能型考生嗎?
我一直覺得,每一個人從小到大唸數學,都會養成不同的「直觀」
什麼意思呢?每當你看到一道題目,可能會有「代數」或是「幾何」的切入點
像我自己就比較偏向「代數直觀」,我並不是全能型的考生
說實在話,我的幾何很差,尤其是空間幾何,我高中的時候,連正六面體都不會畫
我是直到重考的時候才會畫正四面體、正六面體等等。
我自己比較擅長的題型是比較偏代數的題目,但是對幾何、排組較為苦手
所以今年我一開始是從排組和空間幾何開始練習(甚至還看了幾何明珠)
但我發現要補到跟我代數題型要相同程度並不是短時間可以的
所以考試策略的建立非常的重要,在我做考古題的過程中,
我發現代數題型我大致上可以解出90%以上,然而排組和幾何就會差很多
於次每次考試的時候,我一拿到題目就會先把所有的題目分級(A、B、C)
我一看到就有想法的寫A,覺得應該做得出來的寫B,時間內寫不出來的寫C
這樣的考試策略讓我在筆試的通過率提高許多,當然也過了比較多的初試。
但即使我對於幾何比較苦手,但我仍建立一些解題模式,例如
考空間幾何正四面體、正八面體等等,我會練習去架設空間坐標系
利用解析幾何的方式來解決一些棘手的問題,平常有練,考試就上手許多
即使現在考上了,但未來的目標還是想加強排組以及幾何


感謝superlori提供"一題多解"、"遞迴數列"的筆記,請用Adobe Reader開啟。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-1-23 04:50 PM 編輯 ]

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101高中數學教甄心得.rar (896.17 KB)

2013-1-23 16:50, 下載次數: 1985

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教甄試題整理

「前人種樹,後人乘涼。」幾位老師的心得分享和書單及教甄準備方向都很精采。

書單及各種競賽考題,令人讚為觀止。

書,寸絲手邊雖是有幾本,但多束之高閣,無瑕細讀,偶爾翻閱。

各式考題,難易各有高低,考試方向與教甄亦有遠近,但亦無暇細分。

而寸絲準備教甄過程中,多是以考古題主,苦思、爬文、討論及請教其他老師。

數學科的考古題,可謂眾多,光是做考古題,幾乎就是做不完了,

幸有 Mathpro 上的討論串,可供參考查閱,

準備之時,對每份考題的每一題,都不輕易放過,雖有一解,但若覺粗糙、麻煩,

則應深思其它妙之解,或爬文、請教他人。

今日野人獻曝,整理歸類部分教甄試題,希望可供其他準備教甄的老師們參考。

其內容少部分附有解法,多數題目則留予網友們自行做答

每題亦附出處,如有需要,可自行在 Mathpro 上搜尋該份試題的討論串

單元內容

  • 數列
  • 級數
  • 方程式
  • 不定方程
  • 整理論
  • 多項式
  • 根與係數關係
  • 二次函數
  • 函數圖形的對稱性
  • 排列組合
    --------------------------2013.03.24 增加--------------------------
  • 三角
  • 向量、斜坐標
  • 幾何
    --------------------------2013.03.29 增加--------------------------
  • 柯西不等式
  • 算幾不等式
  • 三角不等式、凸函數不等式
  • 極值問題
    --------------------------2013.04.04 增加--------------------------
  • 圓錐曲線
  • 矩陣、行列式
  • 微積分


--------------------------2013.05.30 補充-------------------------------

前文 superlori 的心得提到:「觸類旁通、建立筆記、一題多解」。這一點寸絲也十分贊同,大概除了筆記做得少一些以外,其它兩點都實行了。以下來談談在這方面的經驗:

相信考古題大家都在做,同樣的考古題練習,要考得比人好,當然是下的功夫要比其它人多。一題不只是一題,還要做更深更多的思考,實力才會更進一步。

舉例來說:102 全國聯招考了一題:高斯符號 \( [x] \),表示不大於 \( x \) 的最大整數值。試求 \( \left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2012}\right] \) 的個位數字。我的做法是 \( \left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2012}\right]=(5+2\sqrt{6})^{1006}+(5-2\sqrt{6})^{1006}-1 \)。然後兩項式展開,有根號的互消,沒根號的幾乎都是 10 的倍數,所以答案大概就出來了。

有時間才看一次,重新想想,便開始胡思亂想。是否有其它類似題,如何變化,萬一不是這麼剛好可以乘出一堆 \( 10 \) 的倍數怎麼辦?要是改問除以 7  的餘數,那如何?結果就想了另一個方法和萊因哈特weiye 兩位老師的作法相同,也就是利用遞迴數列,觀察有限的循環節。

順帶放個題目給諸位練習,99南港高工:設 \( [x] \) 表示不大於 \( x \) 的最大整數,求 \( \left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2010}\right] \) 除以 7 的餘數。

教甄的試題,坦白說題目就那些(好大的那些範圍),但總不能期望數據一樣,一成不變。當這個類題出現時,但數據不同,或許原先的「特例」解法就不適用,因此做考古題的時候,不只是善完成那份題目,更進一步的問問,是個巧合,還是一般性的做法?否則真的出現,大概就是「啊!~這題我看過做過,但...做不出來」,如果事先想過,結局就是反過來:「你會而別人不會」。

再舉個例子:求 \( \sin\frac{\pi}{n}\sin\frac{2\pi}{n}\sin\frac{3\pi}{n}\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}} \)。這個式子或許知道,或許推得出來。做完之後聯想:那 \( \cos \) 的連乘積呢?
於是乎,又可以做出一個式子  \( \cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^{n}} \),其中奇數是因為:分母如果是偶數,那必有一項是 \( \cos\frac{\pi}{2}=0 \),而得乘積就無聊了。那麼問又可改成分母偶項,拿掉 \( \cos\frac{\pi}{2} \) 那項,就像是99文華高中:\( \cos10^{\circ}\cos20^{\circ}\cos30^{\circ}\cos40^{\circ}\cos50^{\circ}\cos60^{\circ}\cos70^{\circ}\cos80^{\circ}=\) _________。
Joy091 老師 利用餘角關係把它換成 \( \sin \),問題就解決了。
餘角關係,又給了一個新的想法,是不是 \( \cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1} \) 也可換成 \( \sin \) 處理?試著一寫得到 \( \sin\frac{\pi}{4n+2}\sin\frac{3\pi}{4n+2}\cdots\sin\frac{(2n-1)\pi}{4n+2} \),
我們又得到一個 \( \sin \) 連乘積的推廣問題。

101 武陵高中也考了一題:\( \sin1^{\circ}\sin3^{\circ}\sin5^{\circ}\cdots\sin87^{\circ}\sin89^{\circ} \)。
而這個問題我正好想過,還推廣成一般的情形:\( n\in\mathbb{N} \), \( \theta=\frac{\pi}{n} \),求 \( \prod\limits _{k=0}^{n-1}\sin(\alpha+k\theta) \)。

除了自己胡思亂之外,還有 Mathpro 上網友的挑戰,例如102 武陵高中:求函數 \( f(x)=\frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x} \) 的值域。一開始我知道 5 倍角可以做,但不想用 5 倍處理,嘗試之後,失敗了。而隔了一段時間後,有網友詢問是不否有非 5 倍角的做法,而再次挑戰。

發展不同的解法,對這一題的分數而言,可能沒有什麼意義,但考題非是一成不變,「觸類旁通、一題多解」,正是累積自己實力的方法,即使題目改了,方法一失效,還有方法2,這就是額外下功夫的收獲。

-------------------------- 2014.03.29 修正--------------------------
感謝 natureling、Redik、smartdan 指出多處筆誤及誤植,及其它計算錯誤。檔案中,以用紅字標示
新舊的內容差異不大,主要是修正錯誤,合併同類型題目,以及增加 ★ 標示部分較難的問題,基本上看過舊版的就不需新版了

--------------------------103.07.20 --------------------------
Mathnote0718,主要更動如下

  • 將重覆出現的題型,以同題號子題標示,以量表示其重要性。
  • 以★標記部分難題,這些難題其實大多數可能沒有很重要。
  • 將部分主題(子題)中的少數較不重要題目刪除或移至該子題結尾的倒數幾題。
  • 增加第 21 主題:其它,包含其它常考題但未列入前 20 個主題,如二進位、數學歸納法、連分數、變量中的不變數…


102.10.10版主補充
若你發現錯誤的地方,可以到寸絲的部落格回應
http://tsusy.wordpress.com/2013/ ... %AF%87/#comment-157

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-7-20 08:34 PM 編輯 ]

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math note 01-10 by tsusy.pdf (1.77 MB)

2014-3-29 13:53, 下載次數: 5543

最後更新 2013.03.29

math note 11-13 by tsusy.pdf (1.93 MB)

2014-3-29 13:53, 下載次數: 3949

最後更新 2013.03.29

math note 14-17 by tsusy.pdf (1.45 MB)

2014-3-29 13:53, 下載次數: 3503

最後更新 2013.03.29

math note 18-20 by tsusy.pdf (1.59 MB)

2014-3-29 13:53, 下載次數: 3659

最後更新 2013.03.29

文不成,武不就

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想請教考上的高手,考試遇到的瓶頸

請教高手
今年我考古題算的比較多
在考場上遇到題目有時卻沒辦法馬上解出來
但是在回家路上就可以想出來,或是看到網路上的解法很簡單
才在懊惱為何在考場沒有解出來

如何去克服這種情況呢?

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回復 19# cherryhung 的帖子

會不會是考試的時候太緊張了,或許以後印出各校考古題之後,

幫自己找一個完整的時間與沒有干擾的空間,

限定自己兩個小時之內要寫出完整的解答,

給自己一個近似於考場的感覺,製造一點緊張感再來寫考古題,

多試幾次或許正式考試就不會那麼緊張了。

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