之前教甄題目若有出自全國高中數學能力競賽,我都會引用游森棚教授在高雄大學的歷屆試題網頁。
希望考生不要只有注意考古題,有些教甄題目也會從全國高中數學能力競賽出題。
或許決賽的題目對教甄還是太難了,但過去還是考了很多複賽的題目,値得考生用心準備。
只是游教授已經到臺灣師大任教,他在高雄大學的網頁也都刪除了。
之後我要花更多心力將失效的連結更新,所以以後再有引用能力競賽的教甄題目就統一在這裡發表。
感謝中一中數學科老師將86-101年的複賽和決賽試題公佈在數學科網頁
h ttp://www.tcfsh.tc.edu.tw/knowledge/know_fodview.asp?id={B1FFD9BD-7711-4CCC-A006-DC34A9E747BF} (連結已失效)
mathpro關於全國高中數學能力競賽的討論文章
95高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/thread-1770-1-1.html
97高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/thread-919-1-1.html
98高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/thread-911-1-1.html
99高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html
100高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/thread-1349-1-3.html
101高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html
102高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html
103高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html
104高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html
105高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/thread-2608-1-1.html
106高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/thread-3579-1-1.html
109高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html
110高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html
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103.5.24補充
有一遊戲規則如右:在下圖中每一直行、每一橫列及每個小四方格裡,只有1到4的數字,每個數字在每個行列及每個小四方格裡都只出現一次,滿足這些條件的填法稱為一種解法。考慮方格不可旋轉或翻轉,則共有
種解法。
1234
4312
2143
3421
(94全國高中數學能力競賽 北區第二區 筆試(二)試題,h ttp://www.tcfsh.tc.edu.tw/mediafile/4190020/knowledge/62/2/62/2012-11-26-17-16-37-nf1.pdf (連結已失效))
有紅,黃,藍,綠四種顏色,要從右圖中任取4小格塗色,且顏色不重複使用,每1小格只塗一色,但同一行,同一列皆只能塗1小格,則有
種不同的塗法。
(100永春高中代理,
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1190&page=2#pid4897)
4乘4的數獨是用1,2,3,4填入4乘4的方格中。每一行及每一列都須包含1~4,不能缺少也不能重複,粗線圍起來的區域(正方形的4格)也是填入1~4,不能缺少也不能重複。今將1~4填入這16格且要符合上述規則,則共有
種不同的方法。
(103臺中二中,
https://math.pro/db/thread-1901-1-1.html)
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103.6.5補充
若多項式\( (1+x+x^2+x^3+x^4)^{11} \)的展開式為\( 1+a_1x+a_2x^2+a+\ldots+a_{43}a^{43}+x^{44} \),試求實數\( a_{2} \)之值。
(90全國高中數學競賽 高屏區)
\( (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^6 \)的\( x^{15} \)項係數。
(103武陵高中,
https://math.pro/db/thread-1902-1-1.html)
105.4.30補充
若多項式\( (1+x+x^2+x^3+x^4)^{11}=1+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{43}x^{43}+x^{44} \),試求\( a_6= \)?
(105彰化高中,
https://math.pro/db/thread-2492-1-1.html)
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103.6.5補充
已知\( sin \alpha+sin \beta+sin \gamma=0 \)以及\( cos \alpha+cos \beta+cos \gamma=0 \)試求
(1)\( cos 2 \alpha+cos 2 \beta+cos 2 \gamma= \)?
(2)\( sin^2 \alpha+sin^2 \beta+sin^2 \gamma= \)?
(89全國高中數學競賽 屏東區試題(一))
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103.6.5補充
設f為由實數映到實數的函數且f不為零函數。若對任意實數x,y,\( f(x+yf(x))=f(x)+xf(y) \)皆成立,試證明:對每一個正整數n,\( f(n)=n \)。
(88全國高中數學競賽 台中區複賽試題(一))
定義f是由自然數集映至自然數集的函數,若任意正整數\( x,y \)恆有\( f(f(x)+f(y))=x+y \),求\( f(2014) \)之值。
(103松山高中,
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1869&page=2#pid10096)
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103.8.28補充
試求\( \displaystyle \sqrt{6+2 \sqrt{7+3 \sqrt{8+4 \sqrt{9+\ldots}}}} \)之值。
(88全國高中數學能力競賽(一)台南一中)
https://math.pro/db/thread-2017-1-1.html
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103.8.28補充
求聯立方程組\( \cases{\displaystyle x+\frac{1}{x}=y \cr y+\frac{1}{y}=z \cr z+\frac{1}{z}=x} \)之實數解。
(88全國高中數學能力競賽(二)台南一中)
更多輪換方程組題目,
https://math.pro/db/thread-2020-1-2.html
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104.5.2補充
對\( x>0 \),函數\( g(x)=\sqrt{x^2+(log x)^2}+\sqrt{(4-x)^2+(6+log x)^2} \)的最小值為何?
(96高中數學能力競賽 新竹區試題,96苗栗縣國中聯招)
(104桃園高中,
https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)
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104.7.5補充
已知\( \alpha>0 \),且\( \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} \)為一正整數,求\( \alpha= \)?
(99高中數學能力競賽 第二區(新店高中)筆試二試題,
https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html)
(104新北市高中聯招,
https://math.pro/db/thread-2279-1-1.html)
105.4.30補充
設\(x\)為正實數,且\(n=\root 3 \of{3+\sqrt{x}}+\root 3 \of {3-\sqrt{x}}\),而\(n\)為正整數,求\(x\)之值。
(建中通訊解題 第120期)
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105.4.30補充
設\( \matrix{\displaystyle \omega=cos \frac{2 \pi}{7}+i sin\frac{2 \pi}{7}, \cr \alpha=\omega+\omega^6=2 cos\frac{2 \pi}{7},\cr \beta=\omega^2+\omega^5=2 cos \frac{4 \pi}{7},\cr \gamma=\omega^3+\omega^4=2cos \frac{6 \pi}{7}} \)求以實數\( \alpha,\beta,\gamma \)為三根的三次方程式為
。
(88高中數學能力競賽 第一區(花蓮高中)筆試二試題)
若\( \displaystyle \frac{n}{100}<2 cos \frac{2 \pi}{7}<\frac{n+1}{100} \),\( n \in N \),則\(n=\)。
(99建國中學,
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=968&page=1#pid2218)
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105.4.30補充
例用三根10公尺的竹竿,沿著河岸圍出一個等腰梯形。試問此等腰梯形的最大面積為
平方公尺
(88高中數學能力競賽 第一區(花蓮高中)筆試二試題)
用3枝10公尺長的竹竿,沿著河岸圍出一個等腰梯形。試求此等腰梯形的最大面積。
(103鳳新高中,
https://math.pro/db/thread-1928-1-1.html)
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106.7.22補充
設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數,且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\),則\(\displaystyle f(\frac{1}{3})=\)
。
(102高中數學能力競賽 北三區(新竹高中)筆試二試題
設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數,且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\),求\( \displaystyle f(\frac{2}{3})\)。
106羅東高中,
https://math.pro/db/thread-2801-1-1.html)
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106.7.24補充
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內,放置一顆半徑為1單位的黃球,然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求:小紅球的最大半徑為
單位。
(102高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題)
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內,放置一顆半徑為1單位的大球,然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小球。問:小球的最大半徑為
單位。
(100華江高中二招,
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1177&page=1#pid3990)
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108.5.8補充
(1)描繪出函數\(y=-2+\sqrt{-x^2+6x+7}\)的圖形。
(2)求定積分\(\displaystyle \int_{-1}^7 -2+\sqrt{-x^2+6x+7}dx\)。(請試以高中理科數學所教定積分與面積關係解之)
(89高中數學能力競賽 高屏區)
求\(\displaystyle \int_{-1}^7 -2+\sqrt{-x^2+6x+7}dx\)。
(108麗山高中,
https://math.pro/db/thread-3113-1-1.html)
設\(P\)為正方體\(ABCD-EFGH\)內部一點,今已知\(\overline{PA}=\sqrt{2},\overline{PB}=\overline{PD}=\sqrt{3},\overline{PE}=\sqrt{2}\),試問此正立方體的稜長為?
(89高中數學能力競賽 宜花東區)
(108麗山高中,
https://math.pro/db/thread-3113-1-1.html)
設\(P\)為正立方體\(ABCDEFGH\)內部一點,且滿足\(\displaystyle \overline{PA}=\overline{PB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\),\(\displaystyle \overline{PF}=\overline{PC}=\frac{\sqrt{107}}{2}\),求此正立方體的邊長。
(100高中數學能力競賽 台中區複賽筆試二試題,
https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)
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108.5.18補充
設\(\displaystyle a=7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)(有2013個7),試求\(a\)的末兩位數為
。
(102高中數學能力競賽 北二區(新竹高中)筆試二試題,
https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)
設\(\displaystyle 7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)總共2019個7,請問此數除以100的餘數為
。
(108新北市高中聯招,
https://math.pro/db/thread-3133-1-1.html)
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108.5.18補充
已知拋物線\(y=x^2+3x-1\)上有兩相異點對直線\(x+y=0\)成對稱,則此兩相異點的坐標為
。
(92高中數學能力競賽,
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)
已知拋物線\(y=x^2+7x+11\)上有兩相異點對直線\(x+y=0\)成對稱,則此兩相異點的坐標為
。
(103高中數學能力競賽 ,
https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html)
若拋物線\(y=mx^2-1\)上必存在著相異兩點會對稱於直線\(x+y=0\),試求\(m\)的範圍。
(108板橋高中,
https://math.pro/db/thread-3125-1-1.html)
----------------------------------------
108.5.18補充
試求49除\(6^{98}+8^{98}\)的餘數。
(94高中數學能力競賽 高雄屏東區,
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)
設\(a_n=8^n+9^n+10^n\),\(n=1,2,\ldots\),試求\(a_{99}\)除以729的餘數。
(98高中數學能力競賽 台北市筆試一試題,
https://math.pro/db/thread-911-1-1.html)
\(6^{108}+8^{108}\)除以343的餘數為
。
(108板橋高中,
https://math.pro/db/thread-3125-1-1.html)
----------------------------------------
109.5.3補充
實數\(x,y,z\)滿足\(\cases{\displaystyle x+y+z=-3 \cr \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{3} \cr x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=-24}\),求\(x^2+y^2+z^2=\)
。
(94高中數學能力競賽 南區(高屏區)筆試二試題)
(109興大附中,
https://math.pro/db/thread-3318-1-1.html)
在一個缺角棋盤的各水平線和鉛垂線的交會點上,分別標示數字,其中的\(x_1,x_2,\ldots,x_9\)等為未知數字。今假設每一個\(x_i\)恰為其相鄰的四個數字的平均數,例如\(\displaystyle x_1=\frac{1}{4}(4+2+x_2+x_4)\),\(\displaystyle x_5=\frac{1}{4}(x_2+x_4+x_6+x_8)\),試求\(x_5\)之值為
。
(97高中數學能力競賽 嘉義區複賽試題一,
https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)
(109興大附中,
https://math.pro/db/thread-3318-1-1.html)
----------------------------------------
109.6.2補充
設\(x,y\)為任意實數,則\((x-2cosy)^2+(3x^2+9-2siny)^2\)的最小值為
。
(94全國高中數學能力競賽 新竹區)
設\(x,y\)為任意實數,則\((x-2cosy)^2+(3x^2+8-2siny)^2\)的最小值為
。
(109中壢高中代理,
https://math.pro/db/thread-3339-1-1.html)
----------------------------------------
109.6.25補充
某一燈塔裝置了紅、黃、藍、綠、紫五種不同顏色的燈,每晚會點亮其中一種燈,且每一晚都是從前一晚未點過的四種燈中隨機點亮一種。設第1晚點亮紅色燈,則第6晚也點亮紅色燈的機率為
(以最簡分數表示)。
(102高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題,
https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)
(109新北市高中聯招,
https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)
設集合\(A=\{\;1,2,3,\ldots,102 \}\;\)共102個數,\(B\)、\(C\)為另2個集合,滿足\(B∪C=A\),則這樣的\((B,C)\)共有
。
(102高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題,
https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)
(109新北市高中聯招,
https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內,放置一顆半徑為1單位的黃球,然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求:小紅球的最大半徑為
單位。
(102高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題,
https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)
(109新北市高中聯招,
https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)
設\(a\)、\(b\)為正整數,若\(a^{20}\)為31位數,\(\displaystyle \left(\frac{1}{b}\right)^{20}\)自小數點以下25位才不為0,則\((ab)^5\)是
位數。
(104高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招,
https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)
將10個相同的小球裝入3個編號為1、2、3的盒子(每次要把10個球裝完),要求每個盒子裡球的個數不少於盒子的編號數,這樣的裝法種數共有
種。
(104高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招,
https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)
設\(Q_1\)、\(Q_2\)為以原點\(O(0,0)\)為圓心的單位圓和\(x\)軸的兩交點。若上半圓上兩點\(P_1\)和\(P_2\)滿足\(∠P_1OP_2=45^{\circ}\),則\(\Delta P_1OQ_1\)和\(\Delta P_2OQ_2\)面積和的最大值為
。
(105高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招,
https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)
將長\(\overline{AB}=240\),寬\(\overline{BC}=288\)的長方形紙張對摺,讓頂點\(C\)剛好落在線段\(\overline{AB}\)的中點\(M\)上,若\(\overline{EF}\)是摺線,則摺線\(\overline{EF}\)的長度為多少?
(101高中數學能力競賽 花蓮區筆試一試題,
http://pisa.math.ntnu.edu.tw/fil ... s_writtenexam_1.pdf)
(109新北市高中聯招,
https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)