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111臺中女中

111臺中女中

學校公告的試題與解答

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111台中女中.pdf (253.42 KB)

2022-6-18 17:23, 下載次數: 878

111台中女中答案.pdf (93.02 KB)

2022-6-18 17:23, 下載次數: 634

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2.
\(\Delta ABC\)中,令\(\overline{BC}=a\),\(\overline{AC}=b\),\(\overline{AB}=c\)。若\(a,b,c\)成等差,試求\(\displaystyle tan\frac{A}{2}\cdot tan\frac{C}{2}\)之值。

\(\Delta ABC\)中,\(\overline{BC}=a,\overline{AC}=b,\overline{AB}=c\),若\(a\)、\(b\)、\(c\)成等差數列,則\(\displaystyle tan\frac{A}{2}tna\frac{C}{2}=\)   
(105鳳山高中,https://math.pro/db/thread-2511-1-1.html)

16.
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^6}\sum_{k=1}^n [(n^2+nk+k^2)(n+k)^3]=\)   
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

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計算3
\(x^k-x^{k-1}-......-x-1=x^k-(x^{k-1}+......+x+1)=x^k-\frac{x^k-1}{x-1}=\frac{x^{k+1}-2x^k+1}{x-1}\)
所以\(\alpha_k\)為\(x^{k+1}-2x^k+1=0\)的一個正根。


\(f_k(x)=x^{k+1}-2x^k+1\)
\(f_k^\prime(x)=(k+1)x^{k}-2kx^{k-1}=(k+1)x^{k-1}(x-(2-\frac{2}{k+1}))\)
則\(f_k(x)\)在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)遞減,在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)遞增
且\(f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,\;f_k(2)=1\)

注意到當k>1時,
\(1<2-\frac{2}{k+1}<2\)

因為\(f_k(x)\)在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)遞減且\(f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,\)
所以在\((0,2-\frac{2}{k+1})\),\(f_k(x)=0\)恰有一根,即為1。

同時,因為\(f_k(x)\)在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)遞增且\(f_k(1)=0,\;f_k(2)=1,\)
所以在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\),\(f_k(x)=0\)恰有一根,此根必為\(\alpha_k\),且
\(2-\frac{2}{k+1}<\alpha_k<2\)
同取極限,即可得極限值為2。

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2022-6-18 22:40 編輯 ]

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計算一

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2022-6-19 10:33

20220619_103047.jpg

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填充第 6 題
可以將 AC 分別與 AB, AD 內積以後,得到聯立方程式去解 x, y。
但是這樣有點暴力,想請問有沒有漂亮一點的方法?

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回覆 5# Superconan 的帖子

令\(E\)為線段\(BD\)和\(AC\)的交點
由 線段\(AE\):線段\(CE\)\(=2\times 4:3\times 4=2:3\)
線段\(BE\):線段\(DE\)\(=2\times 3:4\times 4=3:8\)
推得向量\(AE=\frac{3}{11}\)向量\(AE+\frac{8}{11}\)向量\(AB\)和向量\(AE=\frac{2}{5}\)向量\(AC\)
向量\(AC=\frac{5}{2}(\frac{3}{11}AD+\frac{8}{11}AB)\)
最後整理一下即可算出

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-6-19 17:37 編輯 ]

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填充第 11 題
請問這樣算,錯在哪?

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回覆 7# Superconan 的帖子

您第一圈有包含踩到A點就結束了。
要考慮先採到F點,跨過A點踩到B點回到A點,
所以方法數為\((C_{2}^{3}(\frac{1}{2})^3+C_{1}^{4}(\frac{1}{2})^4+(\frac{1}{2})^5)^2\times\frac{1}{2}\)

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-6-19 22:44 編輯 ]

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填充第 15 題
請問這樣算,有辦法求 p, q, r 嗎?

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回覆 9# Superconan 的帖子

您不是求出來了嗎?
當有最大值時,\(x+y+2z=3,y+2z=-3,x+2y+5z=-4\)解出來就可以了!

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