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國立基隆高中95學年度第2次教師甄試初試數學科題目卷.pdf (156.37 KB)

2009-9-15 10:47, 下載次數: 2507

國立基隆高中95學年度第2次教師甄試初試數學科題目卷

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第 5  題,

設 \(u,v\) 均為實數,則 \( \left(\sqrt{5}\cos u+2v-5\right)^2+\left(\sqrt{11}\sin u -5v-2\right)^2 \) 之最小值為何?

解答:

令 \(P\left(\sqrt{5}\cos u, \sqrt{11}\sin u\right),\; Q\left( 5-2v,5v+2\right)\),則

\(P\) 在橢圓 \(\displaystyle \Gamma: \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{11}=0\) 上, \(Q\) 在直線 \(L: 5x+2y-29=0\) 上,

題目要求 \(\overline{PQ}^2\) 的最小值,

先求出平行 \(L\) 且與 \(\Gamma\) 相切的兩直線 \(\displaystyle y=-\frac{5}{2}x\pm\sqrt{5\times \left(-\frac{5}{2}\right)^2+11}\Rightarrow 5x+2y\pm 13=0\)

可得 \(\overline{PQ}\) 的最大值 \(\displaystyle \frac{\left|-29-13\right|}{\sqrt{5^2+2^2}}=\frac{42}{\sqrt{29}}\) 與最小值 \(\displaystyle \frac{\left|-29+13\right|}{\sqrt{5^2+2^2}}=\frac{16}{\sqrt{29}}\),

故,\(\overline{PQ}^2\) 的最大值為\(\displaystyle \frac{1764}{29}\) ,最小值為 \(\displaystyle \frac{256}{29}.\)

解完才發現,原來以前有解過了。 ==
請見: https://math.pro/db/thread-59-1-1.html









第 7 題,

設 \(x,y\) 為整數,\(x\geq y\) 且滿足方程式 \(\displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7}\),求數對 \(\left(x,y\right)\)。


解答:

\(\displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7}\Rightarrow 3x^2-3xy+3y^2-7x-7y=0\Rightarrow 3x^2-(3y+7)x+(3y^2-7y)=0\)

因為 \(x\) 的一元二次方程式有實數解,

所以判別式 \(\displaystyle \left(3y+7\right)^2-4\times 3\left(3y^2-7y\right)>0\Rightarrow \frac{21-14\sqrt{3}}{9}<y<\frac{21+14\sqrt{3}}{9}\)

\(-0.36...<y<5.02...\Rightarrow y=0,1,2,3,4,\mbox{ 或 } 5\),帶入題目所給之方程式,解 \(x\),若解出來的 \(x\) 為整數且滿足 \(x\geq y\) 的就是答案。











第 4 題,

設 \(a,b,c\) 為任意三正數,令 \(\displaystyle a_1=\frac{a+b+c}{3},\, b_1=\sqrt[3]{abc},\, c_1=\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\),

對所有自然數 \(i\) 滿足 \(\displaystyle a_{i+1}=\frac{a_i+b_i+c_i}{3},\, b_{i+1}=\sqrt[3]{a_i b_i c_i},\, c_{i+1}=\frac{3}{\frac{1}{a_i}+\frac{1}{b_i}+\frac{1}{c_i}}.\)

試証:

(1) \(a_n\geq b_n\geq c_n.\)

(2) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}c_n.\)


此題跟 https://math.pro/db/thread-420-1-1.html 這題還蠻像的。


證明:

(1) 因為 \(a,b,c\) 皆為正數,由定義可知對意自然數 \(n\),\(a_n, b_n, c_n\) 皆為正數。

  由算幾不等式,可得 \(\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n+c_n}{3}\geq\sqrt[3]{a_n b_n c_n}=b_{n+1}\),

  且 \(\displaystyle c_{n+1}=\frac{3}{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}+\frac{1}{c_n}}\leq\frac{3}{3\sqrt[3]{ \frac{1}{a_n}\frac{1}{b_n}\frac{1}{c_n} }}=\sqrt[3]{a_nb_nc_n}=b_{n+1}\),

  故,\(a_{n+1}\geq b_{n+1}\geq c_{n+1}.\)


(2) 由 (1),可得 \(\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n+c_n}{3}\leq\frac{a_n+a_n+a_n}{3}=a_n\)

  且 \(\displaystyle c_{n+1}=\frac{3}{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}+\frac{1}{c_n}}\geq\frac{3}{\frac{1}{c_n}+\frac{1}{c_n}+\frac{1}{c_n}}=c_n\),

  亦即 \(<a_n>\) 為遞減數列,\(<c_n>\) 為遞增數列。

  對任意自然數 \(n\),可得 \(a_1\geq a_n\geq c_n\geq c_1\),

  因此,\(<a_n>\) 為遞減數列且有下界,\(<c_n>\) 為遞增數列且有上界,

  故,\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n,\,\lim_{n\to\infty}c_n\) 皆存在。


  由  \(\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n+c_n}{3}\Rightarrow b_n=3a_{n+1}-a_n-c_n\),

  因為 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n,\,\lim_{n\to\infty}c_n\) 皆存在,所以 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n\) 亦存在.



  令 \(\displaystyle \alpha=\lim_{n\to\infty} a_n, \beta=\lim_{n\to\infty} b_n, \gamma=\lim_{n\to\infty} c_n\),則

  \(\displaystyle \alpha=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3},\, \beta=\sqrt[3]{\alpha\beta\gamma},\, \gamma=\frac{3}{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}}\)

  \(\displaystyle \Rightarrow 2\alpha=\beta+\gamma,\,\beta^2=\alpha\gamma,\,\frac{2}{\gamma}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\)

  由前兩式 \(\displaystyle 2\alpha=\beta+\gamma,\,\beta^2=\alpha\gamma\),消去 \(\gamma\),

  可得 \(2\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2=0 \Rightarrow \left(2\alpha+\beta\right)\left(\alpha-\beta\right)=0\)

  \(\displaystyle \alpha=-\frac{\beta}{2}\) (不合,因為 \(\alpha, \beta\) 皆非負) 或 \(\alpha=\beta\),

  \(\alpha=\beta\) 帶回 \(2\alpha=\beta+\gamma\),可得 \(\alpha=\beta=\gamma\),

  亦即,\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}c_n.\)

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試求方程式\( \displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7} \)的所有整數解\( (x,y) \)。
(94學年度高中數學能力競賽 決賽獨立研究(一)試題,2005TRML團體賽,95嘉義高工,建中通訊解題第64期)
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Indp_01.pdf

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-6-22 06:35 AM 編輯 ]

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