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95和美實驗學校

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請問下列三題如何解,謝謝
1.解方程式4x^3-3x+1/2=0


2.設某袋中放有黑、白兩種顏色的彈珠。已知這兩種顏色的彈珠之總數介於950到1000之間。設在袋中任意兩顆被取出的機率都相同。若自袋中拿出兩顆彈珠,拿到兩顆黑彈珠的機率比拿到兩顆白彈珠的機率大17/43。試求袋中黑彈珠的個數為?

3.設<a_n>為一數列,滿足:a_n=200-n(n-1)
,若要使 | a_1+a_2+...+a_n | / n有最小值,則n應為何?

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第 1 題:解方程式 \(\displaystyle 4x^3-3x+\frac{1}{2}=0.\)

  提示:令 \(x=\cos\theta\),再利用三倍角公式,可以解出 \(\theta\),進而得 \(x\)。

  更多此題的類題可以參見:https://math.pro/db/thread-21-1-1.html



第 2 題:設某袋中放有黑、白兩種顏色的彈珠。已知這兩種顏色的彈珠之總數介於 \(950\) 到 \(1000\) 之間。設在袋中任意兩顆被取出的機率都相同。若自袋中拿出兩顆彈珠,拿到兩顆黑彈珠的機率比拿到兩顆白彈珠的機率大 \(\displaystyle\frac{17}{43}\)。試求袋中黑彈珠的個數為?

解答:

  設黑、白彈珠個數分別為 \(m,n\),其中 \(m,n\) 皆為正整數,

  依題意列式可得 \(\displaystyle \frac{C^m_2 - C^n_2}{C^{m+n}_2}=\frac{17}{43}\)

  \(\displaystyle\Rightarrow 43\left(\frac{m(m-1)}{2}-\frac{n(n-1)}{2}\right)=17\left(\frac{(m+n)(m+n-1)}{2}\right)\)

  \(\displaystyle\Rightarrow13m^2-17mn+30n^2-13m+30n=0.\)

  用雙十字交乘法拆開,可得如下

    \(\displaystyle\left(13m-30n\right)\left(m+n-1\right)=0.\)

  因為 \(m,n\) 皆為正整數且 \(m+n>950\),所以 \(m+n-1\neq0\),

  因此,\(13m-30n=0\Rightarrow m:n=30:13\),

  令 \(m=30t,n=13t\),其中 \(t\) 為正整數,

  由 \(950<30t+13t<1000\Rightarrow 22.ooo...<t<23.ooo...\),

  故, \(t=23\Rightarrow m=30\times23=690, n=13\times23=299.\)



第 3 題:設 \(<a_n>\)為一數列,滿足:\(a_n=200-n(n-1)\),

若要使 \(\displaystyle\frac{\displaystyle\left| a_1+a_2+\cdots+a_n \right|}{n}\) 有最小值,則 \(n\) 應為何?

解答:

\(\displaystyle \frac{\left|a_1+a_2+\cdots+a_n\right|}{n}=\frac{\displaystyle\left|\sum_{k=1}^{n}\left(200-k\left(k-1\right)\right)\right|}{n}\)

          \(\displaystyle =\frac{\displaystyle \left|\frac{601n-n^3}{3}\right|}{n}\)

            (因為 \(n\) 是項數,所以 \(n\) 為正整數。)

          \(\displaystyle=\frac{1}{3}\left|n^2-601\right|.\)

而 \(\sqrt{601}=24.ooo...\),且 \(\left|24^2-601\right|=25, \left|25^2-601\right|=24\),

故,當 \(n=25\) 時,\(\displaystyle \frac{\left|a_1+a_2+\cdots+a_n\right|}{n}\) 有最小值

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