112台南女中

可以問填充4、9、13、18嗎？謝謝

第 9 題
設n為正整數，若n2+3n+43為完全平方數，則n2+3n+43=？
[解答]
(n + 1)^2 < n^2 + 3n + 43 < (n + 7)^2
一一檢驗 n^2 + 3n + 43 = (n + 2)^2，(n + 3)^2，(n + 4)^2，(n + 5)^2，(n + 6)^2
可得 n = 39

第 13 題
將寫有自然數126的6張紙條隨機排放成一列，先將第一張紙條拿在手中，然後從第二張紙條開始，依序看下去，直到第6張。依序看到第6張的過程中，如果看到紙條上的數目字比手中的大，就放下手中的紙條，把數目字大的那張換到手中，直到看到第6張。試求更換次數的期望值。
[解答]
第 2 張紙條比第 1 張紙條大的機率是 1/2，更換 1 次
第 3 張紙條比第 1 張和第 2 張紙條都大的機率是 1/3，更換 1 次
：
：
所求 = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6

第四題
設=2−1+3i ，試求296k=1(−1)k+1kk−1= ？
[解答]

引用:

原帖由 s7908155 於 2023-4-16 18:31 發表
可以問填充4、9、13、18嗎？謝謝

第18題，
平面上有一直線L，已知A(73)到L的距離為6，B(66)到L的距離為3，C(−20)到L的距離。
[解答]
令圓C1以A為圓心6為半徑，與圓C2以B為圓心3為半徑
所以L為圓C1與圓C2的公切線，求出L後，再求C與L的距離

Image.jpeg (921.87 KB)

2023-4-16 20:40

引用:

原帖由 Jimmy92888 於 2023-4-16 20:40 發表

第13題，
令圓C1以A為圓心7為半徑，與圓C2以B為圓心3為半徑
所以L為圓C1與圓C2的公切線，求出L後，再求C與L的距離

平面上有一直線L，已知A(73)到L的距離為6，B(66)到L的距離為3，C(−20)到L的距離。
[解答]
這題應該是#18
(更正)
抱歉~我誤以為您的兩切點為同一點
L的確是C1與C2的公切線

但斜的公切線應該比較不好求吧?

可以設L:x+by+c=0 (注意此假設無法表示水平線)
利用點到直線距離公式解出b= -4/3 ,c=7
則L:3x-4y+21=0
另一條L:y=9(水平線)
.....

連接 A、B、C 三點剛好是以角 A 為直角的直角三角形
除了 y = 9 很顯然之外
分別從 A、B、C 三點往 L 作垂線，利用直角三角形三邊長和子母相似，可很快求出另一個答案

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-4-16 21:11 發表
這題應該是#18
上述這樣的說法應該不對喔,
假設A到L的距離=AP (P為垂足)
假設B到L的距離=AQ (Q為垂足)
那麼P,Q 不會是同一點

可以設L:x+by+c=0 (注意此假設無法表示水平線)
利用點到直線距離公式解出b= -4/3 ,c=7 ...

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2023-4-16 23:13

13.
將寫有自然數126的6張紙條隨機排放成一列，先將第一張紙條拿在手中，然後從第二張紙條開始，依序看下去，直到第6張。依序看到第6張的過程中，如果看到紙條上的數目字比手中的大，就放下手中的紙條，把數目字大的那張換到手中，直到看到第6張。試求更換次數的期望值。
[解答]
第13題鋼琴老師的方法真的太漂亮了
每次期望值的題目，總是可以看到非常漂亮、抓住期望值核心的手法。

這裡我也分享我自己的作法，可能也是比較多人用的手法

設En為總共發1,2,3,...,n張牌時，換牌次數的期望值，

當n號牌(最大號)排在第k張位置時，不論前面的牌，看牌看到第k張，必定要換牌一次，而且之後就不會再換牌了。
　
所以當n號牌排在第k張位置時，換牌次數為前k-1張牌換牌次數再+1，

故n號牌排在第k張位置時的換牌次數期望值為Ek−1+1

n號牌排在第k張位置的機率為1n，

故Ek=n10+n1(E1+1)+n1(E2+1)+n1(E3+1)++n1(En−1+1)

E1=0、E2=21(E1+1)=21、E3=31(E1+1)+31(E2+1)=65

E4=1213、E5=6077、E6=360522=2029

懇請老師解惑
填充8,10,12
謝謝老師