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112台南女中

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112台南女中_教師甄選數學科試題及參考答案.pdf (323.49 KB)

2023-4-16 14:13, 下載次數: 3659

多喝水。

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可以問填充4、9、13、18嗎?謝謝

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回覆 2# s7908155 的帖子

第 9 題
設\(n\)為正整數,若\(n^2+3n+43\)為完全平方數,則\(n^2+3n+43=\)?
[解答]
(n + 1)^2 < n^2 + 3n + 43 < (n + 7)^2
一一檢驗 n^2 + 3n + 43 = (n + 2)^2,(n + 3)^2,(n + 4)^2,(n + 5)^2,(n + 6)^2
可得 n = 39

第 13 題
將寫有自然數\(1,2,\ldots,6\)的6張紙條隨機排放成一列,先將第一張紙條拿在手中,然後從第二張紙條開始,依序看下去,直到第6張。依序看到第6張的過程中,如果看到紙條上的數目字比手中的大,就放下手中的紙條,把數目字大的那張換到手中,直到看到第6張。試求更換次數的期望值。
[解答]
第 2 張紙條比第 1 張紙條大的機率是 1/2,更換 1 次
第 3 張紙條比第 1 張和第 2 張紙條都大的機率是 1/3,更換 1 次


所求 = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6

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第四題
設\(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\),試求\(\displaystyle \omega^2\sum_{k=1}^{96}(-1)^{k+1}k\omega^{k-1}=\)?
[解答]

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4.png (42.16 KB)

2023-4-16 20:21

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引用:
原帖由 s7908155 於 2023-4-16 18:31 發表
可以問填充4、9、13、18嗎?謝謝
第18題,
平面上有一直線\(L\),已知\(A(7,3)\)到\(L\)的距離為6,\(B(6,6)\)到\(L\)的距離為3,\(C(−2,0)\)到\(L\)的距離。
[解答]
令圓C1以A為圓心6為半徑,與圓C2以B為圓心3為半徑
所以L為圓C1與圓C2的公切線,求出L後,再求C與L的距離

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引用:
原帖由 Jimmy92888 於 2023-4-16 20:40 發表

第13題,
令圓C1以A為圓心7為半徑,與圓C2以B為圓心3為半徑
所以L為圓C1與圓C2的公切線,求出L後,再求C與L的距離
平面上有一直線\(L\),已知\(A(7,3)\)到\(L\)的距離為6,\(B(6,6)\)到\(L\)的距離為3,\(C(−2,0)\)到\(L\)的距離。
[解答]
這題應該是#18
(更正)
抱歉~我誤以為您的兩切點為同一點
L的確是C1與C2的公切線

但斜的公切線應該比較不好求吧?

可以設L:x+by+c=0 (注意此假設無法表示水平線)
利用點到直線距離公式解出b= -4/3 ,c=7
則L:3x-4y+21=0
另一條L:y=9(水平線)
.....

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1681653708708.jpg (136.41 KB)

2023-4-16 22:03

1681653708708.jpg

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回覆 6# Ellipse 的帖子

連接 A、B、C 三點剛好是以角 A 為直角的直角三角形
除了 y = 9 很顯然之外
分別從 A、B、C 三點往 L 作垂線,利用直角三角形三邊長和子母相似,可很快求出另一個答案

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2023-4-16 21:11 發表
這題應該是#18
上述這樣的說法應該不對喔,
假設A到L的距離=AP (P為垂足)
假設B到L的距離=AQ (Q為垂足)
那麼P,Q 不會是同一點

可以設L:x+by+c=0 (注意此假設無法表示水平線)
利用點到直線距離公式解出b= -4/3 ,c=7 ...

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13.
將寫有自然數\(1,2,\ldots,6\)的6張紙條隨機排放成一列,先將第一張紙條拿在手中,然後從第二張紙條開始,依序看下去,直到第6張。依序看到第6張的過程中,如果看到紙條上的數目字比手中的大,就放下手中的紙條,把數目字大的那張換到手中,直到看到第6張。試求更換次數的期望值。
[解答]
第13題鋼琴老師的方法真的太漂亮了
每次期望值的題目,總是可以看到非常漂亮、抓住期望值核心的手法。

這裡我也分享我自己的作法,可能也是比較多人用的手法

設\(E_n\)為總共發1,2,3,...,n張牌時,換牌次數的期望值,

當n號牌(最大號)排在第k張位置時,不論前面的牌,看牌看到第k張,必定要換牌一次,而且之後就不會再換牌了。
 
所以當n號牌排在第k張位置時,換牌次數為前k-1張牌換牌次數再+1,

故n號牌排在第k張位置時的換牌次數期望值為\(E_{k-1}+1\)

n號牌排在第k張位置的機率為\(\frac{1}{n}\),

故\(\displaystyle E_k=\frac{1}{n}\cdot 0+\frac{1}{n}(E_1+1)+\frac{1}{n}(E_2+1)+\frac{1}{n}(E_3+1)+\cdots+\frac{1}{n}(E_{n-1}+1)\)

\(\displaystyle E_1=0、E_2=\frac{1}{2}(E_1+1)=\frac{1}{2}、E_3=\frac{1}{3}(E_1+1)+\frac{1}{3}(E_2+1)=\frac{5}{6}\)

\(E_4=\frac{13}{12}、E_5=\frac{77}{60}、E_6=\frac{522}{360}=\frac{29}{20}\)

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提問

懇請老師解惑
填充8,10,12
謝謝老師

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