第4題和第16題目前無人解答
第10題H(1，-1/4)
第12題3/2

補充答案：

第4題1+sqrt(2)【1+根號(2)】
第16題1/2

以下是我拙劣的解法，歡迎大家提出自己的看法。

其他題目的答案我都是看別的老師解答，所以就由他們本人發表答案會比較好。

我不想當抄人

1.
設\(A(5,-1,2),B(-5,-1,-6)\)，點\(P\)在平面\(E\)：\(x+2y+3z-6=0\)上使\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\)有最小值，則點\(P\)的坐標為何？

5.
設\(a\)為實數，且以下三數：\(-a+\sqrt{2}+log_2 2023\)、\(2a-2\sqrt{2}+log_4 2023\)、\(-4a+4\sqrt{2}+log_8 2023\)成等比數列，求此數列的公比。

設\(a\in R\)，若\(a+log_2 3\)，\(a+log_4 3\)，\(a+log_8 3\)是等比數列，求此等比數列的公比為　　　。
(104全國高中職聯招，https://math.pro/db/thread-2252-1-1.html)

6.
試求\(sin^2 37^{\circ}+cos^2 7^{\circ}-sin37^{\circ}\times cos7^{\circ}=\)

7.
設\(f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\)，其中\(a,b,c,d\)為常數，如果\(f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3\)，試求\(\displaystyle \frac{1}{4}[f(0)+f(4)]=\)

8.
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{4n^2}(\sqrt{4n^2-1}+\sqrt{4n^2-4}+\sqrt{4n^2-9}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2})=\)
(104高雄市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2290&page=1#pid13706)

14.
試證明：\(2023\)可以整除\(1^{527}+2^{527}+3^{527}\ldots+2022^{527}\)。

\(n,k\in N\)，\(k\)是奇數，證明\(1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k\)能被\(1+2+3+\ldots+n\)整除。
https://www.youtube.com/watch?v=efC4LuB66YM

#4
求\(\displaystyle \frac{(\sqrt{10+\sqrt{1}})+(\sqrt{10+\sqrt{2}})+\ldots+(\sqrt{10+\sqrt{99}})}{(\sqrt{10-\sqrt{1}})+(\sqrt{10-\sqrt{2}})+\ldots+(\sqrt{10-\sqrt{99}})}\)之值。
[解答]

#16
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{4^n+3^n}{8^n+3^n}\right)^{\frac{1}{n}}=\)
[解答]
夾一下
\(\displaystyle \frac{4^{n}}{2\cdot8^{n}}\leq\frac{4^{n}+3^{n}}{8^{n}+3^{n}}\leq\frac{2\cdot4^{n}}{8^{n}} \)

開 n 次根號，兩端求極限，再使用夾擠定理可得，所求 \( = \frac12 \)

第12題
給定平面上一個\(\Delta ABC\)，\(P\)為平面上的動點，令集合\(S=\{\; P|\; x\vec{PA}+y\vec{PB}+z\vec{PC}=\vec{0},x\ge 0,y\ge 0,x+y=1,0\le z\le 3\}\;\)，則集合\(S\)的區域面積為\(\Delta ABC\)的　　　倍。
[解答]

#6
試求\(sin^2 37^{\circ}+cos^2 7^{\circ}-sin37^{\circ}\times cos7^{\circ}=\)
[解答]

第六題
試求\(sin^2 37^{\circ}+cos^2 7^{\circ}-sin37^{\circ}\times cos7^{\circ}=\)
[解答]

填充 9
設\(O\)為複數平面上的原點，並令點\(A\)、\(B\)分別代表複數\(z_1\)、\(z_2\)，已知\(|\;z_1|\;=2\)，\(|\;z_2|\;=3\)，\(|\;z_2-z_1|\;=\sqrt{5}\)，試求\(|\;z_1^2+z_2^2|\;\)。
[解答]

填充6
試求\(sin^2 37^{\circ}+cos^2 7^{\circ}-sin37^{\circ}\times cos7^{\circ}=\)
[解答]
上面幾招都好漂亮，我還傻傻的和差化積硬幹