填充題
1.
\(n\)為自然數，若\( \displaystyle a_1=\frac{1}{2} \)，\( a_{n+1}=2(a_n+1) \)，求數列\( \)的第100項\(a_{100}=\)
。
(我的教甄準備之路 求數列一般項，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507)
9.
\(a_n\)為\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)這\(n\)個數的標準差，求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n\)之值
將\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)等\(n\)個數的算術平均數記為\(a_n\)，其標準差記為\(b_n\)，則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\)
，\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\)
。
(81大學聯考，
https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html)
計算題
1.
\(n\)為正整數，証明：\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \cdot k!=(n+1)!-1 \)
[提示]
\( k \cdot k!=(k+1)!-k! \)
2.
\(f(x) \)是二次多項式，若實數\(a,b,c\)使得\( f(15)=af(11)+bf(12)+cf(14) \)，求\(a+b+c\)。
[解答]
差分
\( \matrix{f(11)& &f(12)& &f(13)& &f(14)& &f(15) \cr
&f(12)-f(11)& &f(13)-f(12)& &f(14)-f(13)& &f(15)-f(14)& \cr
& &f(13)-2f(12)+f(11)& &f(14)-2f(13)+f(12)& &f(15)-2f(14)+f(13)& & }\)
得到
\( f(13)-2f(12)+f(11)=f(14)-2f(13)+f(12)=f(15)-2f(14)+f(13) \)
\( f(13)-2f(12)+f(11)=f(14)-2f(13)+f(12) \) ， \( 3f(13)=f(14)+3f(12)-f(11) \)
\( f(14)-2f(13)+f(12)=f(15)-2f(14)+f(13) \) ， \( f(15)+3f(13)=3f(14)+f(12) \)
兩式相減得
\( f(15)=2f(14)-2f(12)+f(11) \)
延伸閱讀
巴貝奇定理，
https://math.pro/db/thread-673-1-1.html
