Q.22 設f為從實數集合映到正實數集合的函數, 滿足:對於每一個實數x,y 都有
f(x+y)=f(x)f(y),
下列敘述何者正確?
                                                                                
  (甲)f為一對一函數
  (乙)f為映成函數
  (丙)對每一個實數x,都有f(-x)=1/f(x)
  (丁)對每一個整數n,都有f(n)=(f(1))^n
答:僅丙,丁正確
                                                                                
  甲乙是錯在哪呢?
  有沒有例子可以說明呢?
   謝謝!

給甲、乙的反例：

對任意實數 x，定義 f(x)=1，

則對任意實數 ab，皆滿足 f(a+b)=f(a)f(b)

但此函數既非 injection，也非 surjection.

bonnieicy你好,我是math pro版主bugmens
能否將同一份題目的問題在同一篇發問,除了方便以後網友搜尋之外,這樣知識也才能傳承下去
以這題來講,PTT的實習老師版網友ByronC,math pro站長weiye,選聘網神人thepiano都是給相同的反例
連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=27042
你也可以到thepiano所主持的美夢成真教甄討論區發問
http://www.shiner.idv.tw/teachers/index.php
我將於10/1刪除這篇討論
https://math.pro/db/thread-871-1-1.html

補充thepiano提到的高中數學競賽教程P544證明
第37講　函數方程
設f是定義在有理數集Q上的函數，解下列函數方程
(2)　f(x)f(y)=f(x+y)(f不恆為零)。

用數學歸納法，易證：
f(x1)f(x2)…f(xn)=f(x1+x1+…+xn)
令x1=x2==xn=x，得[f(x)]n=f(nx)。
再令x=1m，又得
f(nm)=[f(1m)]n=[f(1m)m]nm=[f(1)]nm。
記f(1)=c(c為正常數)，得f(nm)=cnm。
在原方程中令y=0，由f(x)不恆為0，得f(0)=1=c0。
在原方程中令y=−x=−1m，可推得f(−nm)=c−nm。
所以，對一切xQ，有f(x)=cx。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-9-28 09:02 PM 編輯 ]

對不起~有些觀念不太懂
令f=2^x (指數函數)
而指數函數是個一對一函數沒錯吧?

而反例舉f(x)=1
則x=0
=>f(x+y)=f(x)f(y)
=>f(y)=f(y)

這樣為何不是一對一也不是映成呢?
可以幫我解答一下嗎>< 感激!

而反例舉f(x)=1則x=0  <-  還有很多的x可以讓f(x)=1,無法推論出x=0
=>f(x+y)=f(x)f(y)
=>f(y)=f(y)  <-  不是對這個式子來討論是否1對1或映成

是對f(x)=1來討論是否1對1或映成,當然f(x)=1都不符合這兩者的定義