發新話題
打印

96玉里高中的一題

96玉里高中的一題

若\( x,y,z \in R \),\( y+z=1 \)且\( x^2+y^2+z^2=1 \)則x的範圍為何?
正確的解法:
易知\( y^2+z^2+2yz=1 \)所以\( 2yz=x^2 \)
\( 2y(1-y)=x^2 \)再利用判別式,\( \displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \)
如果今天學生使用柯西不等式
\( (x^2+y^2+z^2)(1^2+1^2+1^2)\ge (x+y+z)^2=(x+1)^2 \)
找出來的範圍明顯與答案不同,該如何向學生解釋?


做到這題的時候,突然想利用柯西不等式做做看
可是答案明顯不符,如果今天學生問起相關問題
要如何解釋柯西不等式算出來不夠清確的情況?

謝謝各位老師!

TOP

請學生檢查"等號"會不會成立

TOP

回復 2# thepiano 的帖子

拍謝,自己代的時候眼殘,還想說哪邊出問題!
簡單的問題說 XD
謝謝!

TOP

引用:
原帖由 best2218 於 2013-5-8 11:18 PM 發表
拍謝,自己代的時候眼殘,還想說哪邊出問題!
簡單的問題說 XD
謝謝!
柯西應該是用
( y^2+z^2 ) ( 1 + 1 ) 大於等於 ( y + z )^2 作

TOP

回復 4# dav 的帖子

不過我想知道的是
為什麼這題在這樣的情況下 使用柯西不等式  會有漏洞(當然,可以從檢查等式是否成立來判斷)
那能不能在做這個題目之前,就對兩種方法做好取捨,而不是事後才發現會有瑕疵!
造成差異到底在哪邊?
就像dav老師,他換了這個角度使用柯西不等式就OK!  但是原始的卻不行,
想法的不足或者該注意的地方在哪?
謝謝各位老師!

TOP

回復 5# best2218 的帖子

找出來的「上界(or 下界)」不一定就會是「最大值(or 最小值)」,

還要檢查「等號是否有可能成立」才知道其值是否為最大(或最小)值。

尤其是連續串接好幾個不等式才找到上界(or 下界)時,更要檢查等號是否會同時成立。

ps. 這個觀念在平常教學生不等式的時候,也要常常叮嚀!

  例:已知 \(x\) 為 "正整數",易知 \(x\geq -100\)。

    提問那是否表示 \(x\) 的"最小值"為 \(-100\)?

TOP

發新話題