4.
已知函數\(f(x)=\sqrt{x^4-x^2-6x+10}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)，則\(f(x)\)的最大值為　　　。
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

1.(2^(1/2)+3^(1/2))^6 求小數點後第一二三位數字

3.(3,0,0)與(0,5,12)連線繞z軸旋轉的圖形跟面積

計算2. 已知三角形ABC滿足sinA+sinB-cosC=3/2，求角C

計算題的疑問與答案參考

1. 所求約為969.998 小數點後末三位998

3. 不知道是不是我理解錯誤，旋轉出來應該是立體圖形求體積
但不知為何是求面積

圖形可以由一堆圓盤疊起來 從（3，0，0）開始半徑為3
到最接近z軸的點距離半徑為 \(\displaystyle \frac{15}{\sqrt{34}}\)
最後終點（0，5，12）結束半徑為12之後算體積（？）

2. C=120度

我也跟老師您的看法一樣，其圖形應為雙曲面(不過也有可能是要求表面積，就看有沒有考生知道題目了)；

令 \(\overline{AB}\)參數方程：\(\begin{cases} x=3-3t \\ y=5t \\ z=12t \end{cases} (0 \leq t \leq 1)\)

\( \displaystyle V=\int_{0}^{1}{\pi \cdot (x^2+y^2)}\text{d}z(t)=136\pi\)

想請教一下填充3、6

填充3.
空間中有兩個半平面\(E\)與\(F\)，且\(E\)與\(F\)之交線為\(l\)，假設\(E\)與\(F\)的二面角為\(60^{\circ}\)，\(A\)、\(B\)兩動點分別落在\(E\)、\(F\)兩個平面上且\(A\)、\(B\)皆不在\(l\)上，又空間中一點\(P\)到\(E\)和\(F\)的距離依序為3和4，則\(\Delta PAB\)周長的最小值為　　　。
[解答]
取 \( P_1, P_2 \) 分別為 \( P \) 相對於平面 \( E \)、\( F \) 的對稱點

則有 \( \overline{AP} = \overline{AP_1} \) 和 \( \overline{BP} = \overline{BP_2} \)

\( \Delta PAB \) 的周長 \( = \overline{AP} +\overline{AB} +\overline{BP}\)
\( = \overline{P_1A} + \overline{AB} + \overline{BP_2} \)
\( \le \overline{P_1B} + \overline{BP_2} \) (三角不等式)
\( \le \overline{P_1P_2} \) (三角不等式)

當 \( A, B \) 分別為 \( \overline{P_1P_2} \) 和平面 \( E, F \) 的交點時，\( \Delta PAB \) 的周長達最大值。

半平面 \( E, F \) 的二面角為 \( 60^\circ \)，故 \( \angle P_1PP_2 = 120^\circ \)

由餘弦定理有
\( \overline{P_1P_2} = \sqrt{6^2+8^2 -2\cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ} = 2\sqrt{37} \)
故所求最大值為 \( 2\sqrt{37} \)

填充 6.
已知實數\(x,y\)滿足\(\cases{xy^2\ge 81 \cr x^2y\ge 243 \cr x\ge 1,y\ge 1}\)，當\((x,y)=(p,q)\)時，\(x^3y^4\)有最小值\(m\)，則\(\displaystyle \frac{m}{pq}\)的值為　　　。
[解答]
\( (xy^{2})^{5}\cdot(x^{2}y)^{2}=x^{9}y^{12}=(x^{3}y^{4})^{3} \)

故 \( (x^{3}y^{4})^{3}\ge81^{5}\cdot243^{2}=3^{30} \)

又 \( x,y \) 均為正數，故 \( x^{3}y^{4}\ge3^{10} \)

等式成立之條件為 \( \left\{ \begin{array}{c}
xy^{2}=81\\
x^{2}y=243
\end{array}\right.\Leftrightarrow x=9 \) 且 \( y=3 \)

故所求 \(\displaystyle \frac{m}{pq}=\frac{3^{10}}{9\cdot3}=3^{7}=2187 \)

我理解了，謝謝tsusy老師