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110全國高中聯招

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110全國高中聯招

如附件
單選2:
a_10=(2/3)*(-1)^10+(1/3)*2^10=1026/3=342
請參考:108清水高中教甄題

填充9:
大陸數學坊間教材題
x=4*5!+4*4!+1*3!+1*2!+0=584

證明1:
b² =a² +c² -2ac*cos60度=a² +c²-ac ,a² +c²=b²+ac----------(1)
(a+b+c)[1/(a+b)+ 1/(b+c)]= 2+ c/(a+b) +a/(b+c)
=2+ (bc+c² +a²+ab)/[(a+b)(b+c)]  (將(1)代入)
=2+ (bc+b²+ac+ab)/[(a+b)(b+c)] =2+(a+b)(b+c)/[(a+b)(b+c)]
=2+1=3

證明2:
zw-2iz-iw-5=0, z(w-2i)= iw+5
|z|*|w-2i| =|i |*|w-5i|   ,2|w-2i| =|w-5i| ---------(*)
在平面座標上,令w=(x,y) , 2i=(0,2) ,5i=(0,5)
(*)符合 2[x² +(y-2)² ]^0.5= [x² +(y-5)² ]^0.5
兩端平方,整理出x²+(y-1)²=4
故得證在複數平面上滿足|w-i| =2

證明3:
(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)*x²+C(n,3)*x^3+C(n,4)*x^4+..........................------------(*)
令x=i代入(*),  得(1+i)^n=C(n,0)+C(n,1)*i - C(n,2) -C(n,3)*i+C(n,4)+....................------------(1)
令x= -i代入(*),得(1-i)^n=C(n,0)-C(n,1)*i - C(n,2) +C(n,3)*i+C(n,4)+....................------------(2)
[(1)+(2)]/ 2 得 C(n,0)-C(n,2)+C(n,4)-...........................=[(1+i)^n+(1-i)^n]/2-------------------(3)
[(1)-(2)]/ 2 得 C(n,1)-C(n,3)+C(n,5)-...........................=[(1+i)^n-(1-i)^n]/(2i)-------------------(4)
將(3)&(4)代入欲證明左式={ [ (1+i)^n+(1-i)^n ]/2 }²+{ [(1+i)^n-(1-i) ^n ]/(2i) }²
=(1+i)^n*(1-i)^n=[ 1-i² ] ^n= [1-(-1)]^n=2^n ,故得證

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-7-24 14:12 編輯 ]

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03-5003數學科(公告用) (2).pdf (1.01 MB)

2021-7-24 12:30, 下載次數: 1334

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證明3我是這樣作

[ 本帖最後由 andy2361336 於 2021-7-24 18:12 編輯 ]

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20210724_181056.jpg (1.93 MB)

2021-7-24 18:12

20210724_181056.jpg

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2.
甲乙丙三人練習傳球,一共傳球10次。球首先從甲手中傳出,若第10次仍傳給甲,共有__種不同的傳球方法?
(A)156 (B)258 (C)342 (D)514
(103桃園高中二招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1949&page=1#pid11276)

4.
設矩陣\(A=\left[\matrix{-5&-4\cr 9&7}\right]\),則\(A^{51}-A^{50}+A^3-3A^2-2A+4I_2\)為下列何者?(\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr0&1} \right]\))
(A)\(\left[\matrix{24&16\cr-36&-24} \right]\) (B)\(\left[\matrix{-24&-16\cr36&24} \right]\) (C)\(O_2\) (D)\(4I_2\)
[提示]
\(A^n=\left[\matrix{1-6n&-4n\cr 9n&1+6n}\right]\)

特徵值重根時該怎麼辦?
\(A=\left[\matrix{-1&-9\cr 1&-7}\right]\),\(A=PDP^{-1}\),且\(P=\left[\matrix{3&1\cr 1&0}\right]\),求\(A^n=\)   (答案以\(n\)表示,\(n\in N\))?
(101松山工農,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid8184)

5.
已知點\(P\)為邊長為\(\sqrt{2}\)的正四面體\(ABCD\)內的任意一點,\(P\)到四個面的距離分別為\(d_1\)、\(d_2\)、\(d_3\)、\(d_4\),則\(d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2\)的最小值為何?(A)\(\displaystyle \frac{1}{12}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{16}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (D)\(\displaystyle \frac{4}{3}\)
(103華僑高中,thepiano解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1886&page=2#pid10436)

12.
設\((\sqrt{2},2,0),(-\sqrt{2},2,0),(-\sqrt{2},-2,0),(\sqrt{2},-2,0)\)為一正立方體的四個頂點,則下列的哪些點也為此正立方體的頂點?
(A)\((\sqrt{2},0,2)\) (B)\((0,2,\sqrt{2})\) (C)\((\sqrt{2},2,4)\) (D)\(-\sqrt{2},0,-2\)
(87年大學聯考自然組,http://www.sec.ntnu.edu.tw/Month ... 8-215-07(30-41).pdf)

填充題
5.
如下圖四個相同正方形連接而成,則\(tan(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)\)之值為   

Find the value of \(10cot(cot^{-1}3+cot^{-1}7+cot^{-1}13+cot^{-1}21)\)
(1984AIME,https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_13)

證明題
3.
證明:\((C_0^n-C_2^n+C_4^n-\ldots)^2+(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots)^2=2^n\)。

試問\(\displaystyle \sum_{k=0}^{49}(-1)^kC_{2k}^{99}\)為   ,其中\(\displaystyle C_j^n=\frac{n!}{j!(n-j)!}\)。
(A)\(-2^{50}\) (B)\(-2^{49}\) (C)0 (D)\(2^{49}\) (E)\(2^{50}\)
(1989ASHME,https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_29)

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填1.m<-1無法滿足3^x>0
填2.考慮底數為0或1
填6.考慮z=r(cos(a)+isin(a)),則rsin(a)=1,rcos(a)+r=1.5
填7.做切線無法滿足另一條線交兩點,轉求AB兩者于C有共交點
填8.總數9!,n所產生的和為 n*(9!/n!)*(n-1)!=9! 故期望值為9*9!/9!=9

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11. (D)全班最高分的同學,第一次調分所得的分數與第二次調分所得的
分數是相同的。
這選項敘述有問題?第二次調分應改成兩次調分?(呼應前面提到的經兩次調整後)

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想請教單選第8題,謝謝。

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8

可以土法煉鋼排上去
一般算路徑數的時候只用加法這邊多乘一個機率
前三行可列出
1/8  5/16 1/2
1/4  3/8   3/8
1/2  1/2   3/8
1     1/2   1/4

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回復 6# koeagle 的帖子

單選第 8 題
先求過 P 的機率
經過 P 的捷徑有 10 條,分成以下三類
(1) A → Q → P,有 6 條,每條機率都是 1 / 2^5
(2) A → R → P (但不過 D),有 3 條,每條機率都是 1 / 2^4
(3) A → D → R → P,有 1 條,機率是 1 / 2^3
所求 = 1 - (1 / 2^5 * 6 + 1 / 2^4 * 3 + 1 / 2^3) = 1/2

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20210724.jpg (19.05 KB)

2021-7-24 21:33

20210724.jpg

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回復 7# cut6997 的帖子

謝謝 cut6997 老師。
謝謝 thepiano 老師。

[ 本帖最後由 koeagle 於 2021-7-24 21:45 編輯 ]

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回復 4# cut6997 的帖子

可以請您稍微再說明一下填充8的解題方法嗎?
我想了很久還是不太了解,謝謝。

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