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113武陵高中

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113武陵高中正式教甄數學科題目.pdf (216.52 KB)

2024-4-14 20:55, 下載次數: 1894

113武陵高中正式教甄數學科填充題參考答案.pdf (81.59 KB)

2024-4-14 20:55, 下載次數: 1450

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一堆考古題...

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想請問計算3

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回覆 3# Hawlee 的帖子

計算第 3 題

S_(n+1) = a_1 + a_2 + ... + a_(n+1) ≦ ra_n = r[S_n - S_(n-1)]

S_n ≧ S_(n-1) + [S_(n+1)/r] ≧ 2√[S_(n-1)S_(n+1)/r]

(S_n)^2 ≧ (4/r)S_(n-1)S_(n+1)

S_(n-1)S_(n+1) ≦ (r/4)(S_n)^2

S_(n+1)/S_n ≦ (r/4)[S_n/S_(n-1)] ≦ [(r/4)^2][S_(n-1)/S_(n-2)] ≦ ... ≦ [(r/4)^(n-1)](S_2/S_1)

若 0 < r < 4,當 n → ∞,[(r/4)^(n-1)](S_2/S_1) = 0,不合

故 r ≧ 4

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1.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+3n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+6n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+9n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+3n^2}}\right)=\)   
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n^2}}\right]=\)?
(A)\(\sqrt{2}-1\) (B)\(\sqrt{3}-1\) (D)\(2(\sqrt{2}-1)\) (D)\(2(\sqrt{3}-1)\)
(112新竹市國中聯招,https://math.pro/db/thread-3763-1-1.html)

2.
若過原點有三條相異直線與\(y=x^3+ax^2+1\)相切,試求實數\(a\)之範圍為   
相關問題,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1644&page=2#pid8567
連結有解答,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=1#pid4118

6.
設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\),且對每一個正整數\(x\),\(f(x+3)\ge f(x)+3\),\(f(x+1)\le f(x)+1\)都成立,試求\(f(2024)=\)   

設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\),且對每一個正整數\(x\),\(\cases{f(x+3)\ge f(x)+3\cr f(x+1)\le f(x)+1}\)都成立,試求\(f(2011)=\)   
(100麗山高中,https://math.pro/db/thread-1138-1-1.html)
連結有解答,http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6212#p6212

7.
動物園用以下方式建立了一個大型鳥籠:在一個邊長為 10 公尺的正方形平台上,立起兩支以底面對角線為直徑的半圓形鋼架,落腳點就在平台上的四個頂點上,而交叉點在底面中心的正上方;然後在鋼架上張起鐵絲網,使得每個水平面上的鐵絲網都是頂點落在鋼架上的正方形,
試求 此鳥籠的容積為   
113.4.20
看了ruee29的解答發現這不是牟合方蓋
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1294

8.
設\(\displaystyle a=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{99}}\),求\(a\)的整數部分為   
連結有解答,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048

9.
已知\(\Gamma\):\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\),過\(P(3\sqrt{3},1)\),求
(1)\(a+b\)之最小值為   
(2)承(1),此時\(\Gamma\)方程式為   
(高中數學101 P242 ,95台中一中,連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1072&page=1#pid2814)
我的教甄準備之路 廣義的柯西不等式,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075

10.
已知多項式函數\(f(x)=2x^3-3x^2+4x-2\),則\(\displaystyle \sum_{i=1}^{113}f\left(\frac{i}{113}\right)=\)   

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回覆 4# thepiano 的帖子

謝謝老師

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想再請問12,13

[ 本帖最後由 Hawlee 於 2024-4-15 21:23 編輯 ]

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回覆 7# Hawlee 的帖子

第 12 題
原點 O,OP = 2√5,OM = ON = 6

作矩形 PMQN
易知 OP^2 + OQ^2 = OM^2 + ON^2
OQ = 2√13
Q 在以原點為圓心,半徑 2√13 的圓上

|向量 PM + 向量 PN| = |向量 PQ| 的最小值出現在 O、P、Q 共線時
此時 PQ = 2√13 - 2√5


第 13 題
定座標 A(0,2)、B(4,2)、C(x,y)、M(x - 2,0)、N(x + 2,0)

利用 CA^2 = CM^2
可得 C 之軌跡為拋物線 x^2 = 4y,焦點 F(0,1),準線 y = -1

d + BC = CF - 1 + BC,最小值出現在 F、C、B 共線時
所求 = BF - 1 = √17 - 1

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回覆 8# thepiano 的帖子

不好意思,請問 OP^2 + OQ^2 = OM^2 + ON^2這邊為甚麼成立?

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回覆 9# Hawlee 的帖子

過 O 分別作平行 PM 和 PN 的直線
再用畢氏定理湊一下就可以了

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