如附檔

一堆考古題...

想請問計算3

計算第 3 題

S_(n+1) = a_1 + a_2 + ... + a_(n+1) ≦ ra_n = r[S_n - S_(n-1)]

S_n ≧ S_(n-1) + [S_(n+1)/r] ≧ 2√[S_(n-1)S_(n+1)/r]

(S_n)^2 ≧ (4/r)S_(n-1)S_(n+1)

S_(n-1)S_(n+1) ≦ (r/4)(S_n)^2

S_(n+1)/S_n ≦ (r/4)[S_n/S_(n-1)] ≦ [(r/4)^2][S_(n-1)/S_(n-2)] ≦ ... ≦ [(r/4)^(n-1)](S_2/S_1)

若 0 ＜ r ＜ 4，當 n → ∞，[(r/4)^(n-1)](S_2/S_1) = 0，不合

故 r ≧ 4

1.
求limn1n2+3n+1n2+6n+1n2+9n++1n2+3n2= 　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

試求limn1n2+2n+1n2+4n++1n2+2n2= ？
(A)2−1 　(B)3−1 　(D)2(2−1) 　(D)2(3−1) 
(112新竹市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3763-1-1.html)

2.
若過原點有三條相異直線與y=x3+ax2+1相切，試求實數a之範圍為　　　。
相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1644&page=2#pid8567
連結有解答，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=1#pid4118

6.
設函數f滿足f(1)=2，且對每一個正整數x，f(x+3)f(x)+3，f(x+1)f(x)+1都成立，試求f(2024)=　　　。

設函數f滿足f(1)=2，且對每一個正整數x，f(x+3)f(x)+3f(x+1)f(x)+1 都成立，試求f(2011)=　　　。
(100麗山高中，https://math.pro/db/thread-1138-1-1.html)
連結有解答，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6212#p6212

7.
動物園用以下方式建立了一個大型鳥籠：在一個邊長為 10 公尺的正方形平台上，立起兩支以底面對角線為直徑的半圓形鋼架，落腳點就在平台上的四個頂點上，而交叉點在底面中心的正上方；然後在鋼架上張起鐵絲網，使得每個水平面上的鐵絲網都是頂點落在鋼架上的正方形，
試求 此鳥籠的容積為　　　。
113.4.20
看了ruee29的解答發現這不是牟合方蓋
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1294

8.
設a=1+12+13++199，求a的整數部分為　　　。
連結有解答，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048

9.
已知：x2a2+b2y2=1(a0b0)，過P(331) ，求
(1)a+b之最小值為　　　。
(2)承(1)，此時方程式為　　　。
(高中數學101 P242 ，95台中一中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1072&page=1#pid2814)
我的教甄準備之路　廣義的柯西不等式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075

10.
已知多項式函數f(x)=2x3−3x2+4x−2，則113i=1fi113= 　　　。

謝謝老師

想再請問12,13

[ 本帖最後由 Hawlee 於 2024-4-15 21:23 編輯 ]

第 12 題
原點 O，OP = 2√5，OM = ON = 6

作矩形 PMQN
易知 OP^2 + OQ^2 = OM^2 + ON^2
OQ = 2√13
Q 在以原點為圓心，半徑 2√13 的圓上

|向量 PM + 向量 PN| = |向量 PQ| 的最小值出現在 O、P、Q 共線時
此時 PQ = 2√13 - 2√5


第 13 題
定座標 A(0，2)、B(4，2)、C(x，y)、M(x - 2，0)、N(x + 2，0)

利用 CA^2 = CM^2
可得 C 之軌跡為拋物線 x^2 = 4y，焦點 F(0，1)，準線 y = -1

d + BC = CF - 1 + BC，最小值出現在 F、C、B 共線時
所求 = BF - 1 = √17 - 1

不好意思，請問 OP^2 + OQ^2 = OM^2 + ON^2這邊為甚麼成立?

過 O 分別作平行 PM 和 PN 的直線
再用畢氏定理湊一下就可以了