我是第一次在這發文,若有不禮貌的發文,還請告知,我想請問以下題目,
(1)若a,b,c為相異正實數,則(a)^(logb/c)*(b)^(logc/a)*(c)^(loga/b)=?
(2)|向量a|=|向量b|不等於0,若|向量a+向量b|-|向量a-向量b|=根號|向量a|,則向量a和向量b的夾角為何?
(3)設x,y,z為自然數,x<y<z,且其中任二數之和均為另一數的倍數,求 x:y:z=?
謝謝
(因為我不會用數學符號,請問該如何用數學符號)
(請問版主可否用word 打好,再用附上呢?)

附上題目，以後寫題號就可以了

第 4 題

題目：若 abc 為相異正實數，則 alogcbblogcaclogba=______________。

解答：

logalogcbblogcaclogba 

=logcbloga+logcalogb+logbalogc

=logb−logcloga+logc−logalogb+loga−logblogc 

=0

故，alogcbblogcaclogba=1




第 6 題

題目： a=b=0，若 a+b−a−b=2a ，則 a 與 b 的夾角為____________。

解答：

令 a 與 b 的夾角為 ，a=k0，

則

a+b=a+ba+b=k21+cos 

\displaystyle \left|\vec{a}-\vec{b}\right|=\sqrt{\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{a}-\vec{b}\right)}=k\sqrt{2\left(1-\cos\theta\right)}

因此，可得 \displaystyle \sqrt{2\left(1+\cos\theta\right)} - \sqrt{2\left(1-\cos\theta\right)} = \sqrt{2}

\displaystyle \Rightarrow \sqrt{1+\cos\theta} - \sqrt{1-\cos\theta} = 1

\displaystyle \Rightarrow \sqrt{1+\left(2\cos^2\frac{\theta}{2}-1\right)} - \sqrt{1-\left(1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\right)} = 1

\displaystyle \Rightarrow \left|\cos\frac{\theta}{2}\right|-\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}

因為 0^\circ\leq\theta\leq180^\circ，所以 \displaystyle \cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2}\cos\left(\frac{\theta}{2}+45^\circ\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle \Rightarrow \cos\left(\frac{\theta}{2}+45^\circ\right)=\frac{1}{2}

\displaystyle \Rightarrow \frac{\theta}{2}+45^\circ=\pm 60^\circ + 360^\circ\cdot k,\,k\in\mathbb{Z}

因為 0^\circ\leq\theta\leq180^\circ，所以 \theta=30^\circ.

第 8 題

題目：設 \displaystyle x,y,z 為自然數，\displaystyle x<y<z，且其中任二數之和均為另一數的倍數，求 \displaystyle x:y:z=_______。


解答：

因為 \displaystyle 0<\frac{x+y}{z}<\frac{z+z}{z}=2，所以 \displaystyle \frac{x+y}{z}=1\Rightarrow x+y=z


因為 \displaystyle \frac{x+z}{y}=\frac{x+\left(x+y\right)}{y}=\frac{2x+y}{y}，且 \displaystyle 1=\frac{y}{y}<\frac{2x+y}{y}<\frac{3y}{y}=3，


所以 \displaystyle \frac{x+z}{y}=2\Rightarrow x+z=2y




由 \displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}x+y&=z\\x+z&=2y\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{ccc}x+y-z&=0\\x-2y+z&=0\end{array}\right.

\Rightarrow x:y:z=1:2:3.

謝謝

想請問一下第7題,和第12題(最後一項分母突然出現2n,就不知道該怎麼算了)
謝謝

第 7 題：

由柯西不等式，

可得 \displaystyle\left(x^2+\left(2y\right)^2+z^2\right)\left(2^2+\left(\frac{-1}{2}\right)^2+1^2\right)\geq\left(2x-y+z\right)^2

\displaystyle\Rightarrow \frac{21}{4}\geq\frac{\left(2x-y+z\right)^2}{x^2+4y^2+z^2}

\displaystyle\Rightarrow \frac{-\sqrt{21}}{2}\leq\frac{2x-y+z}{\sqrt{x^2+4y^2+z^2}}\leq\frac{\sqrt{21}}{2}.


第 12 題：

因為 \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3n^2+2n}}\cdot 2n\leq a_n\leq\frac{1}{\sqrt{3n^2+1}}\cdot 2n

且 \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{\sqrt{3n^2+2n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{3+\frac{2}{n}}}  =\frac{2}{\sqrt{3}}
且 \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{\sqrt{3n^2+1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{3+\frac{1}{n^2}}} =\frac{2}{\sqrt{3}}

所以 \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2}{\sqrt{3}}.

請教 填充11題，該如何做~ = =+

x,y \in R ， x^2+y^2=1 ，若 x^2+4xy+5y^2 的最大值 =M ，最小值 =m ，則 M+m= 　　　。

第 11 題
常見的考古題，請參考
https://math.pro/db/thread-882-1-1.html

算出來了~ 謝謝 ^^