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103嘉義高中

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已公布試題,請各位老師參閱~

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國立嘉義高中103學年度第1次教師甄選-數學科-試題.pdf (130.47 KB)

2014-6-7 18:06, 下載次數: 3553

國立嘉義高中103學年度第1次教師甄選-數學科-參考答案.pdf (125.97 KB)

2014-6-7 18:06, 下載次數: 7394

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1.
若z為複數,且滿足\( \displaystyle z+\frac{1}{z}=1 \),則\( \displaystyle z^{103}+\frac{1}{z^{103}}= \)  
[公式]
若\( \displaystyle z+\frac{1}{z}=2 cos \theta \),則\( \displaystyle z^n+\frac{1}{z^n}=2cos n \theta \)


6.
設a,b,c三數滿足\( \cases{a+b+c=4 \cr a^2+b^2+c^2=12 \cr a^3+b^3+c^3=31} \)且\( a>b>c \),令\( f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=0 \),則序組\( (a,b,c)= \)  
(我的教甄準備之路 利用根與係數的關係解聯立方程式,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076)


10.
點光源O將\( \overline{AD} \)投影到\( \overline{A'D'} \),且\( \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=1 \),若\( \overline{A'B'}=3 \),\( \overline{B'C'}=5 \),則\( \overline{C'D'}= \)  

\( \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=1 \),\( \overline{EF}=2 \),\( \overline{FG}=3 \),則\( \overline{GH}= \)  
連結有解答
(97師大附中二招,https://math.pro/db/thread-703-1-1.html)


11.
在ΔABC中,\( \overline{AC}=5 \)、\( \overline{AB}=7 \)、\( \overline{BC}=8 \),P為任意一點,則\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC} \)的最小值為  
[公式]
當P為ΔABC的重心時有最小值,\( \displaystyle \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2=\frac{1}{3}(\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CA}^2) \)


12.
已知銳角三角形的三高交點為垂心,而此垂心是三個垂足點所成三角形的內心。在ΔABC中,\( \overline{AD}⊥\overline{BC} \),\( \overline{BE}⊥\overline{AC} \),\( \overline{CF}⊥\overline{AB} \),且\( \overline{AC}=5 \)、\( \overline{AB}=7 \)、\( \overline{BC}=8 \),則ΔDEF之周長為  
[公式]
\( \displaystyle \frac{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{2abc} \)
公式的證明
http://www.nhjh.cy.edu.tw/group1 ... t/100/math10003.pdf


13.
在坐標平面上有五個點\( P_1(1,1) \)、\( \displaystyle P_2(2,\frac{1}{2}) \)、\( \displaystyle P_3(3,\frac{1}{3}) \)、\( \displaystyle P_4(4,\frac{1}{4}) \)、\( \displaystyle P_5(5,\frac{1}{5}) \)。
(1)請用拉格朗日(Lagrange)插值法找一個四次函數\( y=f(x) \)通過上述五個點來估計\( f(6) \)的值為  
[解答]
我用差分來做
\( \displaystyle \matrix{f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
1 & & \frac{1}{2} & & \frac{1}{3} & & \frac{1}{4} & & \frac{1}{5} & & \frac{1}{3} \cr
 & -\frac{1}{2} & & -\frac{1}{6} & & -\frac{1}{12} & & -\frac{1}{20} & & \frac{2}{15} & \cr
 & & \frac{1}{3} & & \frac{1}{12} & & \frac{1}{30} & & \frac{11}{60} & & \cr
 & & & -\frac{1}{4} & & -\frac{1}{20} & & \frac{3}{20} & & & \cr
 & & & & \frac{1}{5} & & \frac{1}{5} & & & & }  \)


計算2(1)
給定正五邊形ABCDE,\( \overline{AB}=1 \),則由五對角線所圍成正五邊形PQRST的面積是正五邊形ABCDE的面積的幾倍?(化成最簡比)


連接正五邊形ABCDE的五條對角線,圍成一個較小的正五邊形FGHIJ,在繼續作五條對角線再圍成更小的正五邊形,如灰色區域。若灰色區域的邊長為1,則正五邊形ABCDE的面積為灰色面積的\( \Phi^k \)倍,則\( k= \)   。\( \displaystyle \Phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)
(100楊梅高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=2#pid4463)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-7 08:12 PM 編輯 ]

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回復 2# bugmens 的帖子

感謝版主辛苦的整理以及wen0623兄提供題目

第12題的公式也可有人這樣記:
\(4R\sin A\sin B\sin C=\frac{abc}{2{{R}^{2}}}=\frac{2\Delta }{R}\)
\(4R\sin A\sin B\sin C=2\sin A\left( 2R\sin B\sin C \right)=2\sin A\left( b\sin C \right)=2{{h}_{a}}\sin A\)

計算2(2)
\(\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}\)
\(\cos A=-\cos C\Rightarrow {{n}^{2}}=\frac{\left( ab+cd \right)\left( ac+bd \right)}{ad+bc}\)
兩式相除開根號即可

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-7 08:24 PM 編輯 ]

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想請教填充9,14...謝謝....
引用:
原帖由 wen0623 於 2014-6-7 06:06 PM 發表
已公布試題,請各位老師參閱~

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若它限定要透過托勒密(Ptolemy)定理去算呢??感恩@@
引用:
原帖由 bugmens 於 2014-6-7 06:11 PM 發表
1.
若z為複數,且滿足\( \displaystyle z+\frac{1}{z}=1 \),則\( \displaystyle z^{103}+\frac{1}{z^{103}}= \)  。
[公式]
若\( \displaystyle z+\frac{1}{z}=2 cos \theta \),則\( \displaystyle z^n+\frac{1}{z^n}= ...

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回復 4# natureling 的帖子

填充 9. 由算幾不等式有 \( \frac{x^{4}+x^{4}+x^{4}+1}{4}\geq|x^{3}|\Rightarrow|m|\geq1 \)

當 \( x = 1 \) 時,\( m = 1 \);\( x = -1 \) 時,\( m = -1 \)

\( m \) 的範圍為 \( m \geq 1 \), 或 \( m \leq -1 \)
(我只檢查了 \( \pm 1 \),範圍裡的其它數是否要檢查?要怎麼檢查?就留給你自己思考了)

考古題類題 99基隆女中、98嘉義高中、97台南二中,這一年好像其它學校也考過

設 \( m \) 為實數,若四次方程式 \( 3x^{4}-4mx^{3}+1=0 \) 無實數根,則 \( m \) 的範圍為 __________。

填充 14. 考古類題 100北市陽明高中

拋物線 \( y^{2}=8x \),一直線與此拋物線交於 A、B 兩點,且直線與拋物線所圍成的面積為定值 \( \frac{2}{3} \),則 A、B 中點所形成的軌跡方程式為 __________。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-7 09:45 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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回復 4# natureling 的帖子

第9題:
注意到函數m在0是不連續的,故考慮區間\(\left( -\infty ,0 \right)\cup \left( 0,\infty  \right)\)
直接微分,用一階導數測試法知m在\(\left( -\infty ,0 \right)\)有唯一極大值m(-1)=-1;在\(\left( 0,\infty  \right)\)有唯一極小值m(1)=1
因為\(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,m\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,m\left( x \right)=-\infty \), 知y軸為m之漸近線,
故圖形大致已經抵定,函數的值域為 \(\left\{ \left. m \right|m\ge 1\,\,\,\,or\,\,\,m\le -1 \right\}\)

填充14題我的作法有點暴力,直覺上應該有秒殺作法,等待橢圓兄、寸絲兄等高手出招XD小弟就先不獻醜了

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-7 09:55 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 natureling 於 2014-6-7 09:24 PM 發表
想請教填充9,14...謝謝....
填14:
A(a,a²) , B(b,b²)
AB直線: (y-a²)/(x-a)=(b²-a²)/(b-a)=b+a
y=(b+a)(x-a)+a²
∫ {a to b}  [ (b+a)(x-a)+a² -x² ] dx =4/3
可整理得(b-a)^3=8 , b-a=2----------(1)
假設AB的中點為(X,Y)=( (a+b) /2 , (a²+b²)/2 )
則a+b=2X -----------(2)
Y=2X²-ab------------(3)
又(a-b)²=(a+b)²-4ab=(2X)²-4ab=4 (by (1)&(2))
可得ab=X²-1代入(3)
Y=2X²-(X²-1)=X²+1 為所求軌跡

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-7 10:46 PM 編輯 ]

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回復 5# natureling 的帖子

恩....那算一邊
\(\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}\)
在利用 mn=ac+bd

在相除這樣算嗎?會不會太無賴XD

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hua0127老師謝謝您..另外我也想要問第2題的(1)怎麼使用定理^^"
引用:
原帖由 hua0127 於 2014-6-7 09:52 PM 發表
恩....那算一邊
\(\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}\)
在利用 mn=ac+bd

在相除這樣算嗎?會不會太無賴XD

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