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103嘉義高中

103嘉義高中

已公布試題,請各位老師參閱~

附件

國立嘉義高中103學年度第1次教師甄選-數學科-試題.pdf (130.47 KB)

2014-6-7 18:06, 下載次數: 14953

國立嘉義高中103學年度第1次教師甄選-數學科-參考答案.pdf (125.97 KB)

2014-6-7 18:06, 下載次數: 18871

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1.
若z為複數,且滿足z+z1=1,則z103+1z103=  
[公式]
z+z1=2cos,則zn+1zn=2cosn


6.
設a,b,c三數滿足a+b+c=4a2+b2+c2=12a3+b3+c3=31abc,令f(x)=(xa)(xb)(xc)=0,則序組(abc)=  
(我的教甄準備之路 利用根與係數的關係解聯立方程式,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076)


10.
點光源O將AD投影到AD,且AB=BC=CD=1,若AB=3BC=5,則CD=  

AB=BC=CD=1EF=2FG=3,則GH=  
連結有解答
(97師大附中二招,https://math.pro/db/thread-703-1-1.html)


11.
在ΔABC中,AC=5AB=7BC=8,P為任意一點,則PA2+PB2+PC的最小值為  
[公式]
當P為ΔABC的重心時有最小值,PA2+PB2+PC2=31(AB2+BC2+CA2)


12.
已知銳角三角形的三高交點為垂心,而此垂心是三個垂足點所成三角形的內心。在ΔABC中,ADBCBEACCFAB,且AC=5AB=7BC=8,則ΔDEF之周長為  
[公式]
2abc(a+b+c)(b+ca)(a+cb)(a+bc)
公式的證明
http://www.nhjh.cy.edu.tw/group1 ... t/100/math10003.pdf


13.
在坐標平面上有五個點P1(11)P2(221) \displaystyle P_3(3,\frac{1}{3}) \displaystyle P_4(4,\frac{1}{4}) \displaystyle P_5(5,\frac{1}{5})
(1)請用拉格朗日(Lagrange)插值法找一個四次函數 y=f(x) 通過上述五個點來估計 f(6) 的值為  
[解答]
我用差分來做
\displaystyle \matrix{f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr 1 & & \frac{1}{2} & & \frac{1}{3} & & \frac{1}{4} & & \frac{1}{5} & & \frac{1}{3} \cr  & -\frac{1}{2} & & -\frac{1}{6} & & -\frac{1}{12} & & -\frac{1}{20} & & \frac{2}{15} & \cr  & & \frac{1}{3} & & \frac{1}{12} & & \frac{1}{30} & & \frac{11}{60} & & \cr  & & & -\frac{1}{4} & & -\frac{1}{20} & & \frac{3}{20} & & & \cr  & & & & \frac{1}{5} & & \frac{1}{5} & & & & }  


計算2(1)
給定正五邊形ABCDE, \overline{AB}=1 ,則由五對角線所圍成正五邊形PQRST的面積是正五邊形ABCDE的面積的幾倍?(化成最簡比)


連接正五邊形ABCDE的五條對角線,圍成一個較小的正五邊形FGHIJ,在繼續作五條對角線再圍成更小的正五邊形,如灰色區域。若灰色區域的邊長為1,則正五邊形ABCDE的面積為灰色面積的 \Phi^k 倍,則 k=     \displaystyle \Phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
(100楊梅高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=2#pid4463)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-7 08:12 PM 編輯 ]

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回復 2# bugmens 的帖子

感謝版主辛苦的整理以及wen0623兄提供題目

第12題的公式也可有人這樣記:
4R\sin A\sin B\sin C=\frac{abc}{2{{R}^{2}}}=\frac{2\Delta }{R}
4R\sin A\sin B\sin C=2\sin A\left( 2R\sin B\sin C \right)=2\sin A\left( b\sin C \right)=2{{h}_{a}}\sin A

計算2(2)
\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}
\cos A=-\cos C\Rightarrow {{n}^{2}}=\frac{\left( ab+cd \right)\left( ac+bd \right)}{ad+bc}
兩式相除開根號即可

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-7 08:24 PM 編輯 ]

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想請教填充9,14...謝謝....
引用:
原帖由 wen0623 於 2014-6-7 06:06 PM 發表
已公布試題,請各位老師參閱~

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若它限定要透過托勒密(Ptolemy)定理去算呢??感恩@@
引用:
原帖由 bugmens 於 2014-6-7 06:11 PM 發表
1.
若z為複數,且滿足 \displaystyle z+\frac{1}{z}=1 ,則 \displaystyle z^{103}+\frac{1}{z^{103}}=   。
[公式]
\displaystyle z+\frac{1}{z}=2 cos \theta ,則\( \displaystyle z^n+\frac{1}{z^n}= ...

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回復 4# natureling 的帖子

填充 9. 由算幾不等式有 \frac{x^{4}+x^{4}+x^{4}+1}{4}\geq|x^{3}|\Rightarrow|m|\geq1

x = 1 時, m = 1 x = -1 時, m = -1

m 的範圍為 m \geq 1 , 或 m \leq -1
(我只檢查了 \pm 1 ,範圍裡的其它數是否要檢查?要怎麼檢查?就留給你自己思考了)

考古題類題 99基隆女中、98嘉義高中、97台南二中,這一年好像其它學校也考過

m 為實數,若四次方程式 3x^{4}-4mx^{3}+1=0 無實數根,則 m 的範圍為 __________。

填充 14. 考古類題 100北市陽明高中

拋物線 y^{2}=8x ,一直線與此拋物線交於 A、B 兩點,且直線與拋物線所圍成的面積為定值 \frac{2}{3} ,則 A、B 中點所形成的軌跡方程式為 __________。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-7 09:45 PM 編輯 ]
網頁方程式編輯 imatheq

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回復 4# natureling 的帖子

第9題:
注意到函數m在0是不連續的,故考慮區間\left( -\infty ,0 \right)\cup \left( 0,\infty  \right)
直接微分,用一階導數測試法知m在\left( -\infty ,0 \right)有唯一極大值m(-1)=-1;在\left( 0,\infty  \right)有唯一極小值m(1)=1
因為\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,m\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,m\left( x \right)=-\infty , 知y軸為m之漸近線,
故圖形大致已經抵定,函數的值域為 \left\{ \left. m \right|m\ge 1\,\,\,\,or\,\,\,m\le -1 \right\}

填充14題我的作法有點暴力,直覺上應該有秒殺作法,等待橢圓兄、寸絲兄等高手出招XD小弟就先不獻醜了

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-7 09:55 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 natureling 於 2014-6-7 09:24 PM 發表
想請教填充9,14...謝謝....
填14:
A(a,a²) , B(b,b²)
AB直線: (y-a²)/(x-a)=(b²-a²)/(b-a)=b+a
y=(b+a)(x-a)+a²
∫ {a to b}  [ (b+a)(x-a)+a² -x² ] dx =4/3
可整理得(b-a)^3=8 , b-a=2----------(1)
假設AB的中點為(X,Y)=( (a+b) /2 , (a²+b²)/2 )
則a+b=2X -----------(2)
Y=2X²-ab------------(3)
又(a-b)²=(a+b)²-4ab=(2X)²-4ab=4 (by (1)&(2))
可得ab=X²-1代入(3)
Y=2X²-(X²-1)=X²+1 為所求軌跡

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-7 10:46 PM 編輯 ]

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回復 5# natureling 的帖子

恩....那算一邊
\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}
在利用 mn=ac+bd

在相除這樣算嗎?會不會太無賴XD

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hua0127老師謝謝您..另外我也想要問第2題的(1)怎麼使用定理^^"
引用:
原帖由 hua0127 於 2014-6-7 09:52 PM 發表
恩....那算一邊
\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}
在利用 mn=ac+bd

在相除這樣算嗎?會不會太無賴XD

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