已公布試題，請各位老師參閱~

1.
若z為複數，且滿足z+z1=1，則z103+1z103=　　。
[公式]
若z+z1=2cos，則zn+1zn=2cosn


6.
設a,b,c三數滿足a+b+c=4a2+b2+c2=12a3+b3+c3=31且abc，令f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)=0，則序組(abc)=　　。
(我的教甄準備之路　利用根與係數的關係解聯立方程式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076)


10.
點光源O將AD投影到AD，且AB=BC=CD=1，若AB=3，BC=5，則CD=　　。

AB=BC=CD=1，EF=2，FG=3，則GH=　　。
連結有解答
(97師大附中二招，https://math.pro/db/thread-703-1-1.html)


11.
在ΔABC中，AC=5、AB=7、BC=8，P為任意一點，則PA2+PB2+PC的最小值為　　。
[公式]
當P為ΔABC的重心時有最小值，PA2+PB2+PC2=31(AB2+BC2+CA2)


12.
已知銳角三角形的三高交點為垂心，而此垂心是三個垂足點所成三角形的內心。在ΔABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，且AC=5、AB=7、BC=8，則ΔDEF之周長為　　。
[公式]
2abc(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)
公式的證明
http://www.nhjh.cy.edu.tw/group1 ... t/100/math10003.pdf


13.
在坐標平面上有五個點P1(11)、P2(221)、 \displaystyle P_3(3,\frac{1}{3}) 、 \displaystyle P_4(4,\frac{1}{4}) 、 \displaystyle P_5(5,\frac{1}{5}) 。
(1)請用拉格朗日(Lagrange)插值法找一個四次函數 y=f(x) 通過上述五個點來估計 f(6) 的值為　　。
[解答]
我用差分來做
\displaystyle \matrix{f(1) &　& f(2) &　& f(3) &　& f(4) &　& f(5) &　& f(6) \cr 1 &　& \frac{1}{2} &　& \frac{1}{3} &　& \frac{1}{4} &　& \frac{1}{5} &　& \frac{1}{3} \cr 　& -\frac{1}{2} &　& -\frac{1}{6} &　& -\frac{1}{12} &　& -\frac{1}{20} &　& \frac{2}{15} &　\cr 　&　& \frac{1}{3} &　& \frac{1}{12} &　& \frac{1}{30} &　& \frac{11}{60} &　&　\cr 　&　&　& -\frac{1}{4} &　& -\frac{1}{20} &　& \frac{3}{20} &　&　&　\cr 　&　&　&　& \frac{1}{5} &　& \frac{1}{5} &　&　&　&　}  


計算2(1)
給定正五邊形ABCDE， \overline{AB}=1 ，則由五對角線所圍成正五邊形PQRST的面積是正五邊形ABCDE的面積的幾倍？(化成最簡比)


連接正五邊形ABCDE的五條對角線，圍成一個較小的正五邊形FGHIJ，在繼續作五條對角線再圍成更小的正五邊形，如灰色區域。若灰色區域的邊長為1，則正五邊形ABCDE的面積為灰色面積的 \Phi^k 倍，則 k= 　　　。 \displaystyle \Phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
(100楊梅高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=2#pid4463)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-7 08:12 PM 編輯 ]

感謝版主辛苦的整理以及wen0623兄提供題目

第12題的公式也可有人這樣記：
4R\sin A\sin B\sin C=\frac{abc}{2{{R}^{2}}}=\frac{2\Delta }{R}
4R\sin A\sin B\sin C=2\sin A\left( 2R\sin B\sin C \right)=2\sin A\left( b\sin C \right)=2{{h}_{a}}\sin A

計算2(2)
\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}
\cos A=-\cos C\Rightarrow {{n}^{2}}=\frac{\left( ab+cd \right)\left( ac+bd \right)}{ad+bc}
兩式相除開根號即可

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-7 08:24 PM 編輯 ]

想請教填充9,14...謝謝....

引用:

原帖由 wen0623 於 2014-6-7 06:06 PM 發表
已公布試題，請各位老師參閱~

若它限定要透過托勒密(Ptolemy)定理去算呢??感恩@@

引用:

原帖由 bugmens 於 2014-6-7 06:11 PM 發表
1.
若z為複數，且滿足 \displaystyle z+\frac{1}{z}=1 ，則 \displaystyle z^{103}+\frac{1}{z^{103}}= 　　。
[公式]
若 \displaystyle z+\frac{1}{z}=2 cos \theta ，則\( \displaystyle z^n+\frac{1}{z^n}= ...

填充 9. 由算幾不等式有 \frac{x^{4}+x^{4}+x^{4}+1}{4}\geq|x^{3}|\Rightarrow|m|\geq1

當 x = 1 時， m = 1 ； x = -1 時， m = -1

m 的範圍為 m \geq 1 , 或 m \leq -1
(我只檢查了 \pm 1 ，範圍裡的其它數是否要檢查？要怎麼檢查？就留給你自己思考了)

考古題類題 99基隆女中、98嘉義高中、97台南二中，這一年好像其它學校也考過

設 m 為實數，若四次方程式 3x^{4}-4mx^{3}+1=0 無實數根，則 m 的範圍為 __________。

填充 14. 考古類題 100北市陽明高中

拋物線 y^{2}=8x ，一直線與此拋物線交於 A、B 兩點，且直線與拋物線所圍成的面積為定值 \frac{2}{3} ，則 A、B 中點所形成的軌跡方程式為 __________。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-7 09:45 PM 編輯 ]

第9題：
注意到函數m在0是不連續的，故考慮區間\left( -\infty ,0 \right)\cup \left( 0,\infty  \right)
直接微分，用一階導數測試法知m在\left( -\infty ,0 \right)有唯一極大值m(-1)=-1；在\left( 0,\infty  \right)有唯一極小值m(1)=1
因為\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,m\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,m\left( x \right)=-\infty , 知y軸為m之漸近線，
故圖形大致已經抵定，函數的值域為 \left\{ \left. m \right|m\ge 1\,\,\,\,or\,\,\,m\le -1 \right\}

填充14題我的作法有點暴力，直覺上應該有秒殺作法，等待橢圓兄、寸絲兄等高手出招XD小弟就先不獻醜了

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-7 09:55 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 natureling 於 2014-6-7 09:24 PM 發表
想請教填充9,14...謝謝....

填14:
A(a,a²) , B(b,b²)
AB直線: (y-a²)/(x-a)=(b²-a²)/(b-a)=b+a
y=(b+a)(x-a)+a²
∫ {a to b}  [ (b+a)(x-a)+a² -x² ] dx =4/3
可整理得(b-a)^3=8 , b-a=2----------(1)
假設AB的中點為(X,Y)=( (a+b) /2 , (a²+b²)/2 )
則a+b=2X -----------(2)
Y=2X²-ab------------(3)
又(a-b)²=(a+b)²-4ab=(2X)²-4ab=4 (by (1)&(2))
可得ab=X²-1代入(3)
Y=2X²-(X²-1)=X²+1 為所求軌跡

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-7 10:46 PM 編輯 ]

恩....那算一邊
\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}
在利用 mn=ac+bd

在相除這樣算嗎?會不會太無賴XD

hua0127老師謝謝您..另外我也想要問第2題的(1)怎麼使用定理^^"

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-6-7 09:52 PM 發表
恩....那算一邊
\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}
在利用 mn=ac+bd

在相除這樣算嗎?會不會太無賴XD