填充4
已知\(m\)、\(n\)為正整數且\(m^2<7n^2\)，求\(7n^2-m^2\)的最小值
。
[解答]
應該還有其它更適當的解釋方法！
\(
\begin{array}{l}
因為7n^2 - m^2 > 0 \\
取m=n-2，7n^2 - (n - 2)^2 = 6n^2 + 4n + 4 \ge 14 \\
取m=n-1，7n^2 - (n - 1)^2 = 6n^2 + 2n - 1 \ge 7 \\
取m=n ，7n^2 - n^2 = 6n^2 \ge 6 \\
取m=n+1 ，7n^2 - (n + 1)^2 = 6n^2 - 2n - 1 \ge 3 \\
取m=n+2，7n^2 - (n + 2)^2 = 6n^2 - 4n - 4 \ge 12 \\
....
\end{array}
\)
填充6
請問滿足\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6^6}\)的正整數解共有
組。
[解答]
\(
H_{12}^2 \times H_{12}^2 = 169
\)
填充10
今有16枝相同的筆要全部分給\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四人，每人至少分得一枝，若僅考慮四人所獲得筆的數量，則共有
種分筆的方式使得\(A\)獲得的數量大於\(B\)獲得的數量。
[解答]
\(
\displaystyle \frac{{H_{12}^4 - (H_0^2 + H_2^2 + ... + H_{12}^2 )}}{{\rm{2}}} = 203
\)
填充13
圓\(C\)的圓心為\((a,1)\)，且半徑為1，作圓\(C\)的兩條切線\(L_1\)、\(L_2\)，已知\(L_1⊥L_2\)，且\(L_1\)、\(L_2\)和\(x\)軸的交點分別為\((-2,0)\)、\((2,0)\)，求\(a\)的值為
。
[解答]
https://math.pro/db/thread-2632-1-1.html
填充14
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為正實數，且\(a+b+c=1\)，求\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)之最小值為
。
[解答]
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle \sqrt {a^2 + b^2 } + \sqrt {b^2 + c^2 } + \sqrt {c^2 + a^2 } \\
\displaystyle \ge 3 \times \sqrt[3]{{\sqrt {a^2 + b^2 } \times \sqrt {b^2 + c^2 } \times \sqrt {c^2 + a^2 } }} \\
\displaystyle \ge 3 \times \sqrt[3]{{\sqrt {2ab} \times \sqrt {2bc} \times \sqrt {2ca} }} = 3\sqrt 2 \times \sqrt[3]{{abc}} \\
又\displaystyle a + b + c \ge 3 \times \sqrt[3]{{abc}} \\
兩式相除即最小值為\sqrt 2，等號成立於a=b=c=1/3
\end{array}
\)
填充16
對於每一正整數\(n\)，\(f(n)+f(n+3)=n^2\)恆成立，若\(f(93)=93\)，求\(f(30)=\)
。
[解答]
\(
\begin{array}{l}
f(93) + f(30) = 90^2 - 87^2 + 84^2 - 81^2 + ... - 33^2 + 30^2 = 4590 \\
f(30) = 4497 \\
\end{array}
\)
填充18
已知\(2x+y+2=0\)，試求\(\displaystyle log_2 \frac{y}{x^2}\)的最大值為
。
[解答]
\(
\left\{ \begin{array}{l}
令 y = ax^2 \\
2x + y + 2 = 0 \\
\end{array} \right.
當相切時有最大值，此時a=1/2
\)
