如題

計算第1題
(1)若(2−1)5=m+1−m ，則正整數m之值為何？
(2)請證明存在某一正整數m滿足：(2−1)2017=m+1−m 。
[提示]
利用
  2−1n=a+1−a2+1n=a+1+a 

可得m=1681及證出下一小題

110.11.16補充
證明對於任意自然數n，存在一個自然數k使得(2+1)n=k+k−1 。
(92高中數學能力競賽　中彰區)

111.2.5補充
給定正整數ab，對任意正整數n皆存在正整數m，使得(a−b)n=m+1−m 
試問：
(1)找出並證明符合此條件的所有數對(ab)
(2)數對(ab)的方程式(a−b)3=m+1−m ，在m是哪些正整數時，沒有正整數對解？
(109大理高中代理，https://math.pro/db/thread-3360-1-1.html)

111.3.21補充
Prove that (2−1)nnZ+  can be represented as m−m−1  for some mZ+.
(1994Canada National Olympiad，https://artofproblemsolving.com/ ... a_national_olympiad)

113.3.31補充
已知
(2  −1)2=9  −8 
(2  −1)3=50  −49 
(2  −1)4=289  −288 
試證明對於任意正整數n，皆存在正整數m使得(2  −1)n=m+1  −m 
(103大直高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1872&page=1#pid10132)

計算第3題
(1) a23b
(2) −5c27

在空間中，設球體S1：(x−1)2+(y−2)2+z24，球體S2：(x−1)2+(y−2)2+(z−3)29。若S1和S2的交集區域為T，則區域T的體積為　　　。
[解答]
Pi*(9-t^2)dt|7/3..3+Pi*(4-t^2)dt|2/3..2
=Pi*(9t-t^3/3)|7/3..3+Pi*(4t-t^3/3)|2/3..2
=4Pi

明天拼新北，大家一起加油囉^_^
複選9
填充4、8
計算2

想問各位老師選擇第一題有沒有不硬幹的作法...

選擇第一題：
設\displaystyle a=\root 3\of {\frac{3-\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}，則a^6-6a^4+9a^2+27之值為
(A)34　(B)36　(C)38　(D)40
[解答]
利用 \left(x+y\right)^3 = x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)，可得

\displaystyle \left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)^3 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\cdot \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)

\Rightarrow a^3 =3+3a

\Rightarrow a^3-3a=3

所以，\displaystyle a^6-6a^4+9a^2+27 = \left(a^3-3a\right)^2+27 = 36

想請益單選 4 7
填充1 有比較快的方法嗎
我是用(1+2+...+2017)-2(2+4+6+....+2016)這樣三個都要算 好辛苦
填充7 怎麼轉換成圖形上的意義呢

填充第1題
設級數f(n)=1^n-2^n+3^n-4^n+\ldots+2015^n-2016^n+2017^n，求\displaystyle \frac{f(1)f(2)}{f(3)}=　　　。
[解答]
\begin{align}   & f\left( 1 \right)=1+\left( -2+3 \right)+\left( -4+5 \right)+\cdots +\left( -2016+2017 \right)=1009 \\ &  \\ & f\left( 2 \right)={{1}^{2}}+\left( -{{2}^{2}}+{{3}^{2}} \right)+\left( -{{4}^{2}}+{{5}^{2}} \right)\cdots +\left( -{{2016}^{2}}+{{2017}^{2}} \right) \\ & =1+5+9+\cdots +4033 \\ & =\frac{1009\times \left( 1+4033 \right)}{2} \\ & =1009\times 2017 \\ \end{align}

而f\left( 3 \right)的做法與您相同


填充第7題
這題是老梗題了，一般都用代數做，應該無法轉成幾何來做

非常感謝鋼琴老師的解惑