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106全國高中聯招

106全國高中聯招

如題

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2017-5-13 23:58, 下載次數: 17381

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計算第1題
(1)若\((\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\),則正整數\(m\)之值為何?
(2)請證明存在某一正整數\(m\)滿足:\((\sqrt{2}-1)^{2017}=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)。
[提示]
利用
\(\begin{align}
  & {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a} \\
& {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}+\sqrt{a} \\
\end{align}\)

可得\(m=1681\)及證出下一小題

110.11.16補充
證明對於任意自然數\(n\),存在一個自然數\(k\)使得\((\sqrt{2}+1)^n=\sqrt{k}+\sqrt{k-1}\)。
(92高中數學能力競賽 中彰區)

111.2.5補充
給定正整數\(a>b\),對任意正整數\(n\)皆存在正整數\(m\),使得\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^n=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)
試問:
(1)找出並證明符合此條件的所有數對\((a,b)\)
(2)數對\((a,b)\)的方程式\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^3=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\),在\(m\)是哪些正整數時,沒有正整數對解?
(109大理高中代理,https://math.pro/db/thread-3360-1-1.html)

111.3.21補充
Prove that \((\sqrt{2}-1)^n \forall n\in Z^{+}\) can be represented as \(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\) for some \(m\in Z^{+}\).
(1994Canada National Olympiad,https://artofproblemsolving.com/ ... a_national_olympiad)

113.3.31補充
已知
\(\displaystyle{(\sqrt 2  - 1)^2} = \sqrt 9  - \sqrt 8 \)
\(\displaystyle{(\sqrt 2  - 1)^3} = \sqrt {50}  - \sqrt {49} \)
\(\displaystyle{(\sqrt 2  - 1)^4} = \sqrt {289}  - \sqrt {288} \)
試證明對於任意正整數\(n\),皆存在正整數\(m\)使得\(\displaystyle{(\sqrt 2  - 1)^n} = \sqrt {m + 1}  - \sqrt m \)
(103大直高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1872&page=1#pid10132)

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計算第3題
(1) \({{a}^{2}}\ge 3b\)
(2) \(-5<c<27\)

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填充6.

在空間中,設球體\(S_1\):\((x-1)^2+(y-2)^2+z^2\le 4\),球體\(S_2\):\((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\le 9\)。若\(S_1\)和\(S_2\)的交集區域為\(T\),則區域\(T\)的體積為   
[解答]
Pi*(9-t^2)dt|7/3..3+Pi*(4-t^2)dt|2/3..2
=Pi*(9t-t^3/3)|7/3..3+Pi*(4t-t^3/3)|2/3..2
=4Pi

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明天拼新北,大家一起加油囉^_^
複選9
填充4、8
計算2

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2017-5-13 17:34

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2017-5-13 18:30

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想問各位老師選擇第一題有沒有不硬幹的作法...

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回復 6# satsuki931000 的帖子

選擇第一題:
設\(\displaystyle a=\root 3\of {\frac{3-\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\),則\(a^6-6a^4+9a^2+27\)之值為
(A)34 (B)36 (C)38 (D)40
[解答]
利用 \(\left(x+y\right)^3 = x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\),可得

\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)^3 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\cdot \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)\)

\(\Rightarrow a^3 =3+3a\)

\(\Rightarrow a^3-3a=3\)

所以,\(\displaystyle a^6-6a^4+9a^2+27 = \left(a^3-3a\right)^2+27 = 36\)

多喝水。

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想請益單選 4 7
填充1 有比較快的方法嗎
我是用(1+2+...+2017)-2(2+4+6+....+2016)這樣三個都要算 好辛苦
填充7 怎麼轉換成圖形上的意義呢

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回復 8# exin0955 的帖子

填充第1題
設級數\(f(n)=1^n-2^n+3^n-4^n+\ldots+2015^n-2016^n+2017^n\),求\(\displaystyle \frac{f(1)f(2)}{f(3)}=\)   
[解答]
\(\begin{align}
  & f\left( 1 \right)=1+\left( -2+3 \right)+\left( -4+5 \right)+\cdots +\left( -2016+2017 \right)=1009 \\
&  \\
& f\left( 2 \right)={{1}^{2}}+\left( -{{2}^{2}}+{{3}^{2}} \right)+\left( -{{4}^{2}}+{{5}^{2}} \right)\cdots +\left( -{{2016}^{2}}+{{2017}^{2}} \right) \\
& =1+5+9+\cdots +4033 \\
& =\frac{1009\times \left( 1+4033 \right)}{2} \\
& =1009\times 2017 \\
\end{align}\)

而\(f\left( 3 \right)\)的做法與您相同


填充第7題
這題是老梗題了,一般都用代數做,應該無法轉成幾何來做

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回復 9# thepiano 的帖子

非常感謝鋼琴老師的解惑

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