感覺最低錄取分數會很高

填充題
6.
已知ab皆為正實數，且a+b=k，則a+a1b+b1 的最小值為　　　。(答案請以k表示)
(我的教甄準備之路　a+b=1求極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079)

設a與b皆為正實數，且a+b=s。
(1)試求出ab的最大值(以s表示)。
(2)若s=2，試求出a+a1b+b1 的最小值。
(3)若s=26 ，試求出a+a1b+b1 的最小值。
(110高中數學能力競賽第五區筆試一，https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)

5.
已知xyz滿足聯立方程式：log4x+log8(yz)=2log4y+log8(xz)=4log4z+log8(xy)=5，且xyz=2k，則k=　　　。

7.
x100除以x3+x2+x的餘式為　　　。

計算證明題
2.
坐標空間中有兩不相交直線L1：2x+1=−2y−3=z1，L2：1x−2=2y−4=−1z−2。另一直線L3與L1、L2皆相交且垂直。若P、Q兩點分別在L1、L2上且與L3之距離分別為43 及52 ，則PQ=　　　。

坐標空間中有兩不相交直線L1：2x+1=−2y−3=z1，L2：1x−2=2y−4=−1z−2。另一直線L3與L1、L2皆相交且垂直。若P、Q兩點分別在L1、L2上且與L3之距離分別為32 及2\sqrt{3}，則\overline{PQ}=　　　。
(112高雄中學，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3727&page=2#pid24686)

想問填充8、10，謝謝老師

第 8 題
已知P(8,0)是圓C：x^2+y^2=144內部一點，A、B分別為圓上的點，且滿足\angle APB=90^{\circ}，試求所有\overline{AB}中點M所形成的軌跡圖形所滿足的方程式為　　　。
[提示]
M(x，y)
利用 PM^2 = AM^2 = OA^2 - OM^2
(x - 8)^2 + y^2 = 144 - (x^2 + y^2)
......

第 10 題
已知方程式3|\;|\;x-\sqrt{3}y|\;-8|\;+|\;|\;\sqrt{3}x+y|\;-18|\;=72在平面上定義了一個由若干線段所構成的封閉曲線\Gamma，以原點為中心，將\Gamma逆時針旋轉60^{\circ}可得封閉曲線\Gamma'，則封閉曲線\Gamma'所包圍的面積為　　　。
[解答]
將坐標軸順時針旋轉 60^{\circ} ，令 x'=\frac{x-\sqrt{3}y}{2}, y'=\frac{\sqrt{3}x+y}{2} 。

則 3||2x'|-8|+2|2|y'|-18|=72\Leftrightarrow3||x'|-4|+2||y'|-9|=36 。

考慮其在第一象限之情形，即假設 x'\ge0, y'\ge0 ，化簡得

3|x'-4|+2|y'-9|=36 ，其在第一象限所圍圖形為一五邊形，頂點分別為 (0,0),(0,21),(4,27),(16,9),(10,0)

在第一象限所圍面積為 16\cdot27-\frac{1}{2}\cdot(4\cdot6+12\cdot18+6\cdot9)=285 。

由對稱性可得 \Gamma 為圍面積為 285\cdot4=1140 。

而旋轉面積不變，故 \Gamma' 所圍面積亦為 1140 。

請問填充第九題

計算
2.  3根號7 or 根號143
3.  3/4

填充 9.
空間中有一平面E及兩不在平面E上的固定點A、B，其中\overline{AB}長為10，\overline{AB}與平面E平行且距離為6。設平面E上有一單位圓，其上有兩動點P、Q，則四面體ABPQ的最大體積為　　　。
[解答]
令 L 為直線 AB 在平面 E 上的投影， C 為 L 和直線 PQ 的交點。

四面體體積 =\frac{1}{6}|\begin{vmatrix}\vec{PB}\\ \vec{PA}\\ \vec{PQ} \end{vmatrix}|=\frac{1}{6}|\begin{vmatrix}\vec{PB}-\vec{PC}\\ \vec{PA}-\vec{PC}\\ \vec{PQ} \end{vmatrix}|=\frac{1}{6}|\begin{vmatrix}\vec{CB}\\ \vec{CA}\\ \vec{PQ} \end{vmatrix}|\le\frac{1}{6}|\vec{CB}\times\vec{CA}|\cdot\overline{PQ}=\frac{1}{6}\cdot10\cdot6\cdot\overline{PQ}\le20 。

當 \vec{AB}\perp\vec{PQ} 且 \overline{PQ}=2 時，有最大值 20。

謝謝寸絲老師回覆

想請問一下填充第六題