如附件請參考
(因為考代理的人少,學校也少,所以公佈題目的不多,文華肯公佈,雖然只有部份,但還是要肯定他們學校的作法)
(PS.若有考代理教師的,也請幫忙查詢該校是否有公佈題目(有筆試者),再把題目轉貼過來,共襄盛舉)

想請教第8題,謝謝

8.
以正12邊形的12個頂點中，任意三個頂點所形成的直角三角形共有a個，鈍角三角形有b個，等腰三角形有c個；則2a+b−c=　　　。
[解答]
直角三角形：先確定斜邊是哪一條，然後再確定直角的點～
a=C1610=60

鈍角三角形：先確定不是鈍角的其中一個點，在確定剩下的兩個點～
b=C112C25=120

等腰三角形：先確定頂角的頂點，在確定底角的兩個點～然後正三角形會重複計算到～要記得扣掉～
c=C112C15−(123)2=52

2a+b−c=188

若空間中有四點，A(010)，B(463)，C(121)，D(1−2−3)，若包含AB且平分四面體ABCD體積之平面方程式為2x+by+cz+d=0，則b+c+d=　　　。

填充第 5 題：

先求得 CD 的中點 E(10−1)

所求的平面即為『包含 AB 且通過 E 的平面』，

（因為 CD 到 ABE 所在平面的距離相等）

通過 ABE 三點的平面可以求得為 2x−7y+9z+7=0

b=−7c=9d=7b+c+d=9

再請教7,我是用餘弦去算,不知有無其他方法

空間中，設兩定點A(120)，B(1−13) ，動點P在x軸上，∠APB=，滿足0，試求的最大值　　　。

當某球通過 A,B 兩點且與 x 軸相切於 P 點，且球半徑為最小時，

∠APB 會有最大值。

（很抱歉，我實在是不太會畫立體圖～＝＝

　只好請您在腦海中想像一下～）


設此時 P(a,0,0)

因為球心必在 A,B 的垂直平分面 3y-\sqrt{3} z = 0 上，

設球心 Q(a, b, \sqrt{3} b)

由 \overline{QA}=\overline{QP}

\Rightarrow (a-1)^2 + (b-2)^2 +(\sqrt{3}b)^2 = b^2+(\sqrt{3}b)^2=\mbox{半徑的平方}

可得 4b=a^2-2a+5

當半徑有最小值時，b有最小值，所以，a=1, b=1

可得

P(1,0,0)

PA向量 =(0,2,0)

PB向量 =(0,-1,\sqrt{3})

\displaystyle \cos \theta = \frac{\mbox{PA向量} \cdot \mbox{PB向量}}{\left|\mbox{PA向量}\right| \cdot\left|\mbox{PB向量}\right|}= \frac{-1}{2}

\theta= 120^\circ.

請問「當某球通過 AB  兩點且與 x 軸相交於 P 點，且球半徑為最小時，

∠APB  會有最大值。」這是為什麼呢？若無法畫圖可用文字敘述一下嗎？
想像立體圖形了，但還是看不出來。

另外，還想請問Q坐標的x坐標為何假設為a呢？

「當某球通過 AB  兩點且與 x 軸相交於 P 點，且球半徑為最小時，

∠APB  會有最大值。」


哈，我原本是要寫

「當某球通過 AB  兩點且與 x 軸相切於 P 點，且球半徑為最小時，

∠APB  會有最大值。」



因為通過 A,B,P 三點的圓半徑越小時，∠APB 越大。

沒想到寫錯一個字。：Ｐ

再請問為什麼球心Q的x坐標假設為a呢？