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整數的題目,二元一次不定方程式求解

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整數的題目,二元一次不定方程式求解

引用:
1.求直線7x+9y=1上的格子點(x,y)=?[(x,y)為格子點←→x,y均為整數
2.承第1題求與原點(0,0)的距離<50之格子點的個數?
3.設a,b,c均為正數且(a+1)(b+1)(c+1)=8,試證:abc≦1
解答:
引用:
1.求直線7x+9y=1上的格子點(x,y)=?[(x,y)為格子點←→x,y均為整數
先找特殊解(可以用輾轉相除法,尤拉法,秦九韶大衍求一術,或是乾脆用亂試的都可以)

求得一組特殊解為 (x, y) = (4, -3)

所以通解就是 (x, y) = (4+9t, -3-7t) ,其中 t 為任意整數。
引用:
2.承第1題求與原點(0,0)的距離<50之格子點的個數?
利用上小題的結果,帶入 x^2+y^2 < 50^2

解 t 的一元二次不等式,找出 t 的範圍,並且從而看出 t 的整數解,

就知道 (x, y) 解的組數了.
引用:
3.設a,b,c均為正數且(a+1)(b+1)(c+1)=8,試證:abc≦1
利用算幾不等式,

    (a+1)/2 ≧ √a
    (b+1)/2 ≧ √b
    (c+1)/2 ≧ √c

三者相乘,可得

    (a+1)(b+1)(c+1)/8 ≧ √(abc)

把已知條件 (a+1)(b+1)(c+1)=8 帶入上式,可得

    1 ≧ √(abc)

兩邊平方可得,

    1 ≧ abc



原討論串:http://www.student.tw/db/showthread.php?t=157586

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