試題及答案，於附件。

以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 78分

100,90,90,85,80,80,80,78,78(同分)

其他
70~75分 12人
60~69分 14人
50~59分 18人
40~49分 18人
30~39分 21人
20~29分 15人
10~19分 7人
0~ 9分  1人
缺考　　 8人

共計 123 人

6.試求無窮級數1−2!2+4!4−+(−1)n2n(2n)!+之和
[提示]
泰勒展開式
cos(x)=1−2!x2+4!x4−6!x6

7.一個正四面體盒子內部邊長為8，要在四面體內部放入35顆一樣大小的球，求放入球的最大半徑
[類似問題]
稜長6的正四面體，裡面要放20個大小一樣的球，求球之最大半徑
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12657

在一個邊長為1的正四面體中，放入大小相同的20顆球，試求球的最大半徑為？
(97中二中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807)

撞球檯上有15個大小全等的紅色球，平放在桌上，使得它們正好擠在一個等邊三角框內，該框的內周長是876公分，則每個紅球的半徑是多少公分？
(A)273　(B)1464+3　(C)1462+3　(D)1463+3
(94台南縣國中聯招)

11.設有一階梯共有100階，每次只能走2階或3階，若走到第n階的方法數為An，其中n為正整數，求A15
[解答]
An=An−2+An−3
A10A21A31A41A52A62A73A84A95A107A119A1212A1316A1421A1528

計算題
1.求xyz=360有幾組整數解？

類似題目
For how many three-element sets of positive integers {a,b,c} is it true that abc=2310?
(A)32　(B)36　(C)40　(D)43　(E)45
(1995AMC12)

假設a,b,c為相異正整數，則滿足abc=2310之集合S={a,b,c}有幾個？
(高中數學101 P4，95台中家商，97家齊女中)
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49736

101.4.29補充
正整數a,b,c滿足abc=420，考慮集合S=abc，問集合S的所有可能有幾種。
(101台中一中，https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

7.一個正四面體盒子內部邊長為8，要在四面體內部放入35顆一樣大小的球，求放入球的最大半徑

這些放入的球會堆成三角垛，假設最底層是個數n的三角形，正四面體邊長為d，則

r=d2(n−1)+26

105.12.24版主補充
一個稜長(邊長)為1的正四面體內，放入20個全等的球，試求球的最大半徑　　　。
(91北一女競試)

在一個邊長為1的正四面體中，放入大小相同的20顆球，試求球的最大半徑為　　　。
(97中二中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2414)


利用SketchUp動態物件做成可調整球個數的三角垛，在功能表"視窗/元件選項"填入每個邊有幾個球，輸入後就會調整對應的三角垛。

可以請教一下填充第15題如何下手?
另，有人知知道計算題題型嗎?

填充第 15 題： p 為不小於 3 的質數，則位於雙曲線 x2−y2=p2 上的格子點有多少個？

解答：

x+yx−y=p2 

若 xy 都為整數，則 x+y 與 x−y 亦都為整數。

x+y	1	p2	−1	−p2	p	−p
x−y	p2	1	−p2	−1	p	−p

因為上表中的數字都是奇數，所以


x=2x+y+x−yy=2x+y−x−y  皆為整數，


故，共有六組解。

請問文華高中第1,10,12,14 題如何做 ?   感恩 !

第 1 題：

ABC 中﹐已知 AB=4﹐BC=5﹐CA=6，ABC 內部一點 P 到 ABBCCA 的距離分別為 h1﹐h2﹐h3，則 h21+h22+h23 的最小值為___________。


解答：

三角形面積＝214h1+215h2+216h4=24+5+624+5+6−424+5+6−524+5+6−6 

4h1+5h2+6h3=2157 

由柯西不等式，

　　　　42+52+62h21+h22+h234h1+5h2+6h32 

可得 h_1^2+h_2^2+h_3^2 的最小值為 \displaystyle \frac{\left(\frac{15\sqrt{7}}{2}\right)^2}{4^2+5^2+6^2}=\frac{225}{44}.

112.6.8
若\Delta ABC中，\overline{AB}=5、\overline{AC}=6、\overline{BC}=7，且P為三邊上或其內部的任一點，則點P到三頂點距平方和\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2有最小值時，\overline{PA}^2=　　　。
(112新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html)



第 10 題：

已知 x+2y+3z=14,x^2+y^2+z^2=196，x,y,z\in \mathbb{R}，求 z 之最大值為？

解答：

利用科西不等式

　　　　\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+y^2\right)\geq\left(x+2y\right)^2

可得

　　　　5\left(196-z^2\right)\geq\left(14-3z\right)^2

　　　　\Rightarrow z^2-6z-56\leq0

　　　　\Rightarrow 3-\sqrt{65}\leq z\leq3+\sqrt{65}

故，z 的最大值為 3+\sqrt{65}.




第 14 題：

設 f(x)=x^2+ax+b，若f\left(f\left(x\right)\right)<f\left(x\right) 的解為 -2<x<-1 或 4<x<5，則序對\left(a, b\right)=？

解答：

　　f(f(x))-f(x)<0 \Leftrightarrow (x^2+a x+b)^2+a(x^2+a x+b)+b-(x^2+a x+b)<0

　　\Leftrightarrow x^4+2ax^3+\left(a^2+a-1+2b\right)x^2+\left(a^2-a+2ab\right)x+\left(ab+b^2\right)<0

同義於

　　\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)<0

　　\Leftrightarrow x^4-6x^3-5x^2+42x+40<0

兩者因為首項係數相同，所以比較係數可得

　　a=-3,\, b=-5.

12.
利用AAA不相鄰-AAA不相鄰BB相鄰-AAA不相鄰CC相鄰+AAA不相鄰BB相鄰CC相鄰

14. 把她展開比較係數就得到囉


我想要問計算第三題~~怎麼求平行六面體體積

謝謝

引用:

原帖由 dream10 於 2010-5-5 09:44 PM 發表

我想要問計算第三題~~怎麼求平行六面體體積

謝謝 ...

剛剛去美夢成真論壇看，似乎有計算題的題目（http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1427）

將之抄錄如下：



1.求 xyz=360 有幾組整數解？（5分）




2.橢圓 \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 內接梯形 ABCD，已知 A(5,0)、B(-5,0) 且 \overline{AB}//\overline{CD}，

求梯形 ABCD 之最大面積為何？（10分）





3.空間中 \left\{\begin{array}{ccc}  0&\le& x+2y &\le& 4\\  -1&\le& x-3y+z &\le& 3\\ 1&\le& x+3y-2z&\le& 7 \\ \end{array}\right.所圍成的平行六面體體積是多少？（5分）

解答：

令 \left\{\begin{array}{ccc}u&=&x+2y\\ v&=&x-3y+z\\ w&=&x+3y-2z\end{array}\right.


且設　\displaystyle A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & 2 & 0  \\    1 & { - 3} & 1  \\    1 & 3 & -2  \\ \end{array}} \right]，則 \left[\begin{array}{c}u\\v\\w\end{array}\right]=A \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]



則 u,v,w 所圍的平行六面體體積＝\left|det(A)\right|\times x,y,z 所圍的平行六面體體積

　\Leftrightarrow 4\times 4\times 6 = 9\times\mbox{所求體積}

　\displaystyle \Leftrightarrow \mbox{所求體積} = \frac{32}{3}.

註：感謝 dream10 於後方回覆幫我抓出眼花的數字錯誤！已修正！感謝！　^___^

112.6.8
設空間中 P(x,y,z) 滿足不等式 \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{0 \le x+y \le 2 \cr 0 \le y+z \le 2 \cr 0 \le x+z \le 2} ，此P點之點集合形成一平行六面體，求此平行六面體體積為？
(102新化高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1710&page=1#pid9038)

空間中6個平面E_1：2x+y+z=0、E_2：2x+y+z=4、E_3：x+2y+z=0、E_4：x+2y+z=4、E_5：x+y+2z=0、E_6：x+y+2z=4所圍成的平行六面體體積為　　　。
(112新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html)

哇~~太厲害囉~~
原來這麼簡單唷~~~
謝謝唷~~感恩您

PS:大大您寫錯一個數字w=>1 ,3 , -2