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98花蓮高工

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98花蓮高工

聽說很多都是考古題,po上一些我記得的

  • 已知 $$x+y+z=2, x^2+y^2+z^2=3, x^3+y^3+z^3=4$$ 試求 \(x^4+y^4+z^4\).
  • 已知 \(a+b=8\), \(ax+by=9\), \(ax^2+by^2=57\), \(ax^3+by^3=111\), 試求 \(ax^4+by^4\)
  • 假設 \(y=\log_a x\), 其中 \(0<a<\frac{1}{2}\), 已知 \(A, B, C\) 三點的 \(x\) 坐標分別為 \(m, m+2, m+4\), 試求 \(\triangle ABC\) 的最小值.
  • 四邊形 \(ABCD\), 已知\(\overline{AB}=16\), \(\overline{BC}=25\), \(\overline{CD}=15\), \(\sin\angle B=\frac{16}{25}\), \(\sin \angle C=\frac{4}{5}\), 試求 \(\overline{AD}\).
  • 已知 \(0 \leq x_1, x_2, x_3 \leq \pi\),  試證 $$\sin x_1 + \sin x_2 +\sin x_3 \leq 3 \sin \frac{x_1 + x_2 +x_3}{3}.$$


[ 本帖最後由 pheonix 於 2009-6-24 09:40 PM 編輯 ]

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已知\( x+y+z=2 \),\( x^2+y^2+z^2=3 \),\( x^3+x^3+z^3=4 \),試求\( x^4+x^4+z^4 \)。

(我的教甄準備之路 利用根與係數的關係解聯立方程式)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076


已知\( \cases{a+b=8 \cr ax+by=9 \cr ax^2+by^2=57 \cr ax^3+by^3=111} \),求\( ax^4+by^4 \)
補充一題
設c,d,x,y為實數,滿足\( \cases{ax+by=3 \cr ax^2+by^2=7 \cr ax^3+by^3=16 \cr ax^4+by^4=42} \),求\( cx^5+dy^5 \)之值
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47266
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=26666

Find \( ax^5+by^5 \) if the real numbers \( a,b,x \)and \(y\) satisfy the equations \( \cases{ax+by=3 \cr ax^2+by^2=7 \cr ax^3+by^3=16 \cr ax^4+by^4=42} \)
(1990AIME,http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=45&year=1990
99鳳新高中,https://math.pro/db/thread-974-1-1.html)


這裡補充用遞迴的方法
令\( A_n=ax^n+by^n \)
\( ax^{n+1}+by^{n+1}=(x+y)(ax^n+by^n)-xy(ax^{n-1}+by^{n-1}) \)
\( \matrix{111=(x+y)(57)-xy(9) \cr 57=(x+y)(9)-xy(8)} \)
得\( x+y=1 \),\( xy=-6 \),\( A_{n+1}=A_n+6A_{n-1} \)
\( ax^4+by^4=(ax^3+by^3)+6(ax^2+by^2)=453 \)

2009.9.27補充
http://www.yll.url.tw/viewtopic.php?t=23885

2010.3.27補充
98學年度第二學期中山大學雙週一題
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2010s/2Q.pdf

2010.3.29補充
第3,4題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3014

設實數c,d,x,y滿足\( cx+dy=3 \),\( cx^3+dy^3=16 \)且\( cx^2+dy^2=3 \),\( cx^4+dy^4=16 \)試求:\( cx^5+dy^5 \)之值。
(94高中數學能力競賽 高屏區筆試一)

2010.6.27補充
The sum of three numbers is 6, the sum of their squares is 8, and the sum of their cubes is 5. What is the sum of their fourth powers?
http://www.artofproblemsolving.c ... .php?f=150&t=354265

101.6.28補充
若\( a,b,x,y \in R \),\( \displaystyle \cases{a+b=4 \cr ax+by=13 \cr ax^2+by^2=41 \cr ax^3+by^3=127} \),求\( ax^4+by^4 \)
(101中正高中二招,https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html)

103.5.15補充
若\( \displaystyle \cases{a+b=1 \cr ax+by=-1 \cr ax^2+by^2=-5 \cr ax^3+by^3=-13} \),求\( ax^5+by^5 \)之值為   
(103彰化高中,https://math.pro/db/thread-1890-1-1.html)

104.5.2補充
已知實數\( x,y,a,b \)滿足\( \cases{ax+by=1 \cr ax^2+by^2=2 \cr ax^3+by^3=8 \cr ax^5+by^5=100} \),則\( ax^4+by^4= \)   
(104鳳山高中,https://math.pro/db/thread-2244-1-1.html)

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請問

請問如何解第一題 ? 在所附的網址裡面只有答案,我找不到過程?

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引用:
原帖由 mandy 於 2010-5-27 12:18 AM 發表
請問如何解第一題 ? 在所附的網址裡面只有答案,我找不到過程?
先由已知條件與乘法公式求出 \(xy+yz+zx\) 與 \(xyz\) 的值,

然後利用

\(x^4+y^4+z^4=\left(x+y+z\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)-\left(xy+yz+zx\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(xyz\right)\left(x+y+z\right)\)

即可得 \(x^4+y^4+z^4\) 的值.

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請問

請問第3,4題怎麼做 ?

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第 4 題

四邊形 \(ABCD\), 已知\(\overline{AB}=16\), \(\overline{BC}=25\), \(\overline{CD}=15\), \(\sin\angle B=\frac{16}{25}\), \(\sin \angle C=\frac{4}{5}\), 試求 \(\overline{AD}\).

解答:

\(\displaystyle \cos B=\pm\sqrt{1-\sin^2B}=\pm\frac{3\sqrt{41}}{25}\)

\(\displaystyle \cos C=\pm\sqrt{1-\sin^2 C}=\pm\frac{3}{5}\)

令 \(B(0,0), C(-25,0)\),則

\(A(16\cos B, 16\sin B), D=(-25+15\cos C, 15\sin C)\)



可得 \(\overline{AD}\) 之值.

答案應該有四個.






至於第 3 題,題目的敘述是不是有缺漏呀?題意不太清楚。==

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