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102玉里高中

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102玉里高中

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[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-8-20 09:34 PM 編輯 ]

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2013-8-20 21:34, 下載次數: 1980

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4.
  組實數數對\( (a,b) \),使得\( (a+bi)^{2002}=a-bi \)
(A)1001 (B)1002 (C)2001 (D)2002 (E)2004
(2002AMC12,http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=899529)


5.
將一矩形(邊長均為整數)的角減去一個三角形後形成一個新的五邊形,今知此五邊形之邊長為13,19,20,25,31(不一定照順序成五邊形),則此五邊形之面積為多少?
(A)600 (B)625 (C)680 (D)720 (E)745
(1995AHSME,http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=373524)


6.
一數列依照下列的順序,1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,…以1分隔成多個區塊,而第n個區塊中有n個2,則試問到第1234項之總和為多少?
(A)1997 (B)2419 (C)2431 (D)2447 (E)2511
(1996AHSME,http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=418639)


8.
由(0,0)、(2,0)、(2,1)、(0,1)四點所圍成的四邊形中任選一點P,則P到原點的距離小於P到(3,1)的距離之機率為何?
(A)\( \displaystyle \frac{1}{2} \) (B)\( \displaystyle \frac{2}{3} \) (C)\( \displaystyle \frac{3}{4} \) (D)\( \displaystyle \frac{4}{5} \) (E)1
(2002AMC12,http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1363532)


11.
等腰梯形ABCD,\( \overline{AB}=\overline{CD}=\overline{AD}=6 \),\( \overline{AD} \)平行\( \overline{BC} \),則梯形ABCD的最大面積為多少?
(A)\( 27 \sqrt{2} \) (B)\( 27 \sqrt{3} \) (C)\( 27 \sqrt{6} \) (D)\( 21 \sqrt{3} \) (E)\( 21 \sqrt{6} \)
(我的教甄準備之路-用算幾不等式解三角函數的極值,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1077)


12.
設直線\( x=k \)與\( y=log_5x \)、\( y=log_5(x+4) \)分別相交,且已知兩交點的距離為0.5,若\( k=a+\sqrt{b} \),其中a、b均為正整數,則\( a+b= \)?
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 (E)10
(1997AHSME,http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1379867)


13.
將5個A、5個B以及5個C等15個字母排成一列,使得前5個字母沒有A,中間5個字母沒有B,且最後5個字母沒有C,試問共有多少可能的排列?
(A)\( \displaystyle \sum^{5}_{k=0}[C^5_k]^3 \) (B)\( 3^5 \cdot 2^5 \) (C)\( 2^{15} \) (D)\( \displaystyle \frac{15!}{(5!)^3} \) (E)\( 3^{15} \)
(2003AMC12,https://math.pro/db/thread-454-1-1.html)

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回復 1# 八神庵 的帖子

選擇題第九題
試問滿足\( m^3+n^3+99mn=33^2 \)且\( m \cdot n \ge 0 \)之序對\( (m,n) \)有幾組整數解?(A)2 (B)3 (C)33 (D)35 (E)99
[解答]

\( (m+n)^3=m^3+n^3+3mn(m+n) \)

⇒\( m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n) \)

\( (m+n)^3-3mn(m+n)-33^3-3(-33)mn=0 \)

⇒\( (m+n-33)((m+n)^2+(m+n)(33)+33^2)-3mn(m+n-33)=0 \)

⇒\( (m+n-33)\{\; m^2+2mn+n^2+33m+33n+33^2-3mn \}\;=0 \)

⇒\( \displaystyle \frac{1}{2}(m+n-33) \{\; 2m^2-2mn+2n^2+66m+66n+2(33)^2 \}\;=0 \)

⇒\( \displaystyle \frac{1}{2}(m+n-33)\{\; (m-n)^2+(m+33)^2+(n+33)^2 \}\;=0 \)

⇒\( m+n=33 \)有34組 或 \( m=n \)且\( m=-33 \)且\( n=-33 \)有1組

共35組


[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-1 09:26 AM 編輯 ]

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引用:
原帖由 shingjay176 於 2014-4-11 07:48 AM 發表
選擇題第九題
a^3+b^3+c^3-3abc=(1/2)*(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]-------------(*)
又m^3+n^3+99mn=33^3
改成m^3+n^3+(-33)^3-3mn(-33)
令a=m,b=n,c=-33代入(*)

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選擇題第四題

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2014-4-11 20:01

選擇題第四題

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回復 5# shingjay176 的帖子

\(K=0\) 跟 \(K=2003\) 帶入是一樣的(同界角),

若 \(Z\neq0\),會有 \(2003\) 組。

另外,還有一組則是 \((a,b)=(0,0)\)



一樣做法,但換個寫法再寫一次~

選擇題第 4 題:

令 \(Z=a+bi\),依題意 \(Z^{2002}=\overline{Z}\)

  \(\Rightarrow\left|Z^{2002}\right|=\left|\overline{Z}\right|\,\Rightarrow \left|Z\right|^{2002}=\left|Z\right|\,\Rightarrow \left|Z\right|=0\) 或 \(\left|Z\right|=1\)

case i: 若 \(\left|Z\right|=0\),則 \((a,b)=(0,0)\)

case ii: 若 \(\left|Z\right|=1\),則 \(\displaystyle \displaystyle Z^{2002}=\frac{1}{Z}\Rightarrow Z^{2003}=1\)

    \(\displaystyle Z=\cos\frac{2k\pi}{2003}+i\sin\frac{2k\pi}{2003}\) ,其中 \(k=0,1,2,3,\cdots,2002\)

    \(\displaystyle \Rightarrow (a,b)=(\cos\frac{2k\pi}{2003}, \sin\frac{2k\pi}{2003})\),其中 \(k=0,1,2,3,\cdots,2002\)

故,所求共有 \(1+2003=2004\) 組。

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請問複數觀念的問題

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(1) \( z^{101} = \bar{z} \) 非多項式方程式。代數基本定理不適用

(2) 是,根據代數基本定理 \( z^{102} = 1 \) 有 102 個根。但代數基本定理不保證這些根滿足 \( |z|=1 \)

(3) \( z^{102} = z \bar{z} \)  單看此方程式,\( z=0 \) 的確是一個解,但原本的方程式 \( z^{101} = \bar{z} \) 就有此解,故無增減根問題(非多項式方程式,無重根問題)。

但在 (3) 中 \( z^{102} =1 \) 實際上是 \( z^{102} = z \bar{z} \) 、 \( |z| =1 \) 聯立的結果

也就是利用 \( |z| =1 \) 進行化簡,在此前提下,\( z \neq 0 \) ,因此此例中並沒有增根。反而是因多一個限制條件 \( |z| =1 \)

使得 \( z^{102} =1 \) 的解的個數比 \( z^{101} = \bar{z} \) 還少一個

(4) 同(3)
文不成,武不就

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