as title
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4.
有　　組實數數對\( (a,b) \)，使得\( (a+bi)^{2002}=a-bi \)
(A)1001　(B)1002　(C)2001　(D)2002　(E)2004
(2002AMC12，http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=899529)


5.
將一矩形(邊長均為整數)的角減去一個三角形後形成一個新的五邊形，今知此五邊形之邊長為13,19,20,25,31(不一定照順序成五邊形)，則此五邊形之面積為多少？
(A)600　(B)625　(C)680　(D)720　(E)745
(1995AHSME，http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=373524)


6.
一數列依照下列的順序，1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,…以1分隔成多個區塊，而第n個區塊中有n個2，則試問到第1234項之總和為多少？
(A)1997　(B)2419　(C)2431　(D)2447　(E)2511
(1996AHSME，http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=418639)


8.
由(0,0)、(2,0)、(2,1)、(0,1)四點所圍成的四邊形中任選一點P，則P到原點的距離小於P到(3,1)的距離之機率為何？
(A)\( \displaystyle \frac{1}{2} \)　(B)\( \displaystyle \frac{2}{3} \)　(C)\( \displaystyle \frac{3}{4} \)　(D)\( \displaystyle \frac{4}{5} \)　(E)1
(2002AMC12，http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1363532)


11.
等腰梯形ABCD，\( \overline{AB}=\overline{CD}=\overline{AD}=6 \)，\( \overline{AD} \)平行\( \overline{BC} \)，則梯形ABCD的最大面積為多少？
(A)\( 27 \sqrt{2} \)　(B)\( 27 \sqrt{3} \)　(C)\( 27 \sqrt{6} \)　(D)\( 21 \sqrt{3} \)　(E)\( 21 \sqrt{6} \)
(我的教甄準備之路－用算幾不等式解三角函數的極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1077)


12.
設直線\( x=k \)與\( y=log_5x \)、\( y=log_5(x+4) \)分別相交，且已知兩交點的距離為0.5，若\( k=a+\sqrt{b} \)，其中a、b均為正整數，則\( a+b= \)？
(A)6　(B)7　(C)8　(D)9　(E)10
(1997AHSME，http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1379867)


13.
將5個A、5個B以及5個C等15個字母排成一列，使得前5個字母沒有A，中間5個字母沒有B，且最後5個字母沒有C，試問共有多少可能的排列？
(A)\( \displaystyle \sum^{5}_{k=0}[C^5_k]^3 \)　(B)\( 3^5 \cdot 2^5 \)　(C)\( 2^{15} \)　(D)\( \displaystyle \frac{15!}{(5!)^3} \)　(E)\( 3^{15} \)
(2003AMC12，https://math.pro/db/thread-454-1-1.html)

選擇題第九題
試問滿足\( m^3+n^3+99mn=33^3 \)且\( m \cdot n \ge 0 \)之序對\( (m,n) \)有幾組整數解？(A)2　(B)3　(C)33　(D)35　(E)99
[解答]
①
\( (m+n)^3=m^3+n^3+3mn(m+n) \)

⇒\( m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n) \)
②
\( (m+n)^3-3mn(m+n)-33^3-3(-33)mn=0 \)

⇒\( (m+n-33)((m+n)^2+(m+n)(33)+33^2)-3mn(m+n-33)=0 \)

⇒\( (m+n-33)\{\; m^2+2mn+n^2+33m+33n+33^2-3mn \}\;=0 \)

⇒\( \displaystyle \frac{1}{2}(m+n-33) \{\; 2m^2-2mn+2n^2+66m+66n+2(33)^2 \}\;=0 \)

⇒\( \displaystyle \frac{1}{2}(m+n-33)\{\; (m-n)^2+(m+33)^2+(n+33)^2 \}\;=0 \)

⇒\( m+n=33 \)有34組　或　\( m=n \)且\( m=-33 \)且\( n=-33 \)有1組

共35組

試問滿足\(m^3+n^3+99mn=33^3\)且\(m \cdot n\ge 0\)的序對\((m,n)\)有　　　組整數解。
(110臺南女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3503&page=1#pid22511)

若\(m,n\)為整數且\(mn\ge 0\)，則滿足\(m^3+n^3+93mn=31^3\)的整數數對\((m,n)\)有　　　組。
(110高中數學能力競賽北一區筆試二，https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)

113.6.17補充
設\(m\)、\(n\)為整數，且\(m\times n\ge 0\)，則滿足\(m^3+n^3+93mn=31^3\)的序對\((m,n)\)有多少組？
(113花蓮女中，https://math.pro/db/thread-3889-1-1.html)

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-4-11 07:48 AM 發表
選擇題第九題

a^3+b^3+c^3-3abc=(1/2)*(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]-------------(*)
又m^3+n^3+99mn=33^3
改成m^3+n^3+(-33)^3-3mn(-33)
令a=m,b=n,c=-33代入(*)

選擇題第四題

\(K=0\) 跟 \(K=2003\) 帶入是一樣的（同界角），

若 \(Z\neq0\)，會有 \(2003\) 組。

另外，還有一組則是 \((a,b)=(0,0)\)



一樣做法，但換個寫法再寫一次～

選擇題第 4 題：

令 \(Z=a+bi\)，依題意 \(Z^{2002}=\overline{Z}\)

　　\(\Rightarrow\left|Z^{2002}\right|=\left|\overline{Z}\right|\,\Rightarrow \left|Z\right|^{2002}=\left|Z\right|\,\Rightarrow \left|Z\right|=0\) 或 \(\left|Z\right|=1\)

case i: 若 \(\left|Z\right|=0\)，則 \((a,b)=(0,0)\)

case ii: 若 \(\left|Z\right|=1\)，則 \(\displaystyle \displaystyle Z^{2002}=\frac{1}{Z}\Rightarrow Z^{2003}=1\)

　　　　\(\displaystyle Z=\cos\frac{2k\pi}{2003}+i\sin\frac{2k\pi}{2003}\) ，其中 \(k=0,1,2,3,\cdots,2002\)

　　　　\(\displaystyle \Rightarrow (a,b)=(\cos\frac{2k\pi}{2003}, \sin\frac{2k\pi}{2003})\)，其中 \(k=0,1,2,3,\cdots,2002\)

故，所求共有 \(1+2003=2004\) 組。

QQ.GIF (25.23 KB)

2014-4-15 10:59

(1) \( z^{101} = \bar{z} \) 非多項式方程式。代數基本定理不適用

(2) 是，根據代數基本定理 \( z^{102} = 1 \) 有 102 個根。但代數基本定理不保證這些根滿足 \( |z|=1 \)

(3) \( z^{102} = z \bar{z} \)  單看此方程式，\( z=0 \) 的確是一個解，但原本的方程式 \( z^{101} = \bar{z} \) 就有此解，故無增減根問題(非多項式方程式，無重根問題)。

但在 (3) 中 \( z^{102} =1 \) 實際上是 \( z^{102} = z \bar{z} \) 、 \( |z| =1 \) 聯立的結果

也就是利用 \( |z| =1 \) 進行化簡，在此前提下，\( z \neq 0 \) ，因此此例中並沒有增根。反而是因多一個限制條件 \( |z| =1 \)

使得 \( z^{102} =1 \) 的解的個數比 \( z^{101} = \bar{z} \) 還少一個

(4) 同(3)