屏北高中也公佈題目了，

不過似乎是用直接掃描的，原始檔案有點大，

所以小弟又把它重新打過，

如有打錯字或數據打錯的話，希望網友能不吝告知，感謝。

另外，想看該校提供的原始題目的話，

可見 《點我》

3.假設直角三角形的三個頂點分別為A=(00)，B=(10)和C=(04)，令Q=(xy)為此三角形內部的一個點，試求點Q和點Q到三個頂點距離之和的最小值(即 Q−A + Q−B + Q−C 的最小值)
[提示]
費馬點，以AC為邊長作正三角形ACP，其中P點坐標為(−232) ，求PB就是最小值



關於費馬點的題目我比較喜歡這題
xyz為正實數， 9=x2+y2+xy16=y2+z2+yz25=z2+x2+zx ，求x+y+z=？




3.如下圖，△ABC，∠C=90o，AD=DE=EB，∠ACD=α，∠DCE=β，∠ECD=γ，求sinβsinαsinγ=？
(徐氏數學2A　P2.5-8)
(我的教甄準備之路　面積法，有相同圖形的類似題目)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1112



8.△ABC中，∠ABC=90o，AB=1，若延長AC到D，並使得AB=CD=1，若∠CBD=30o，求AC長。
(我的教甄準備之路　面積法，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1112)

請教你提到費馬點的問題該怎麼解呢?謝謝。

引用:

原帖由 may 於 2010-5-12 09:36 PM 發表
請教你提到費馬點的問題該怎麼解呢?謝謝。

設 xyz為正實數， 9=x2+y2+xy16=y2+z2+yz25=z2+x2+zx，求x+y+z=？

解答：

 32=x2+y2−2xycos12042=y2+z2−2yzcos12052=z2+x2−2zxcos120

令 ABC 滿足 AB=4AC=3BC=5，

且 P 為 ABC 內部一點，滿足 PC=xPA=yPB=z∠APB=∠BPC=∠CPA=120，

題目要求 x+y+z=PC+PA+PB

將 CAP 以 A 點為中心，往外旋轉 60 得 DAQ，

則 CP=DQ∠DQA=120。

在 APQ 中，因為 AP=AQ 且 ∠PAQ=60，

得 PAQ 為正三角形，且 PQ=PA=y 且 ∠PQA=∠QPA=60

故，DQPB 四點共線，且 DB=DQ+QP+PB=PC+PA+PB=x+y+z

利用畢氏定理，可得

DB=232+233+42=25+123 

請問第七題要如何解題呢？
還有第九題除了帶n=1,n=2的機率解聯立求a,b之外，不知是否還有其他辦法可解題？
(我是找出n=1和n=2時數字1出現偶數點的機率去解聯立求a,b)
謝謝老師們的幫忙!

第 7 題

若 mN，求 limnn2nm−1n+1−1n+2−  −1n+m=? 


解答：

limnn2nm−1n+1−1n+2−  −1n+m 

=limnnm−nn+1−nn+2−  −nn+m 

=limnn1−nn+1+1−nn+2++1−nn+m 

\displaystyle =\lim_{n\to\infty} n\left( \frac{1}{n+1} +\frac{2}{n+2}+\cdots +\frac{m}{n+m}\right)

\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \left( \frac{n}{n+1} +\frac{2n}{n+2}+\cdots +\frac{mn}{n+m}\right)

\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{1+\frac{1}{n}} +\frac{2}{1+\frac{2}{n}}+\cdots +\frac{m}{1+\frac{m}{n}}\right)

\displaystyle =\frac{1}{1+0} +\frac{2}{1+0}+\cdots +\frac{m}{1+0}

\displaystyle =1+2+\cdots+m=\frac{m\left(m+1\right)}{2}.






第 9 題：

若投擲 n 顆公正的骰子，有偶數顆為 1 點的機率是 \displaystyle \frac{1}{2}\left(a+b^n\right)，求 \left(a,b\right)=?

解答：

設擲 n 顆公正的骰子，有偶數顆為 1 點的機率是 P(n)，則有奇數顆是 1 的機率為 1-P(n).

先找出遞迴關係，

\displaystyle P(1)=\frac{5}{6} ，且當 \displaystyle n\geq2 時，\displaystyle P(n)=\frac{1}{6}\left(1-P(n-1)\right)+\frac{5}{6}P(n-1)

　　　　　　　　　　　　　　　　\displaystyle \Rightarrow P(n)=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}P(n-1)

先調整成形如 \displaystyle \left(P(n)+k\right)=\lambda\left(P(n-1)+k\right) 的形式，

\displaystyle P(n)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(n-1)-\frac{1}{2}\right)

所以，

　　　\displaystyle P(n)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(n-1)-\frac{1}{2}\right)

　　　\displaystyle P(n-1)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(n-2)-\frac{1}{2}\right)

　　　　　　\displaystyle \vdots

　　　\displaystyle P(2)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(1)-\frac{1}{2}\right)

將上式乘起來，可得

\displaystyle P(n)-\frac{1}{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(P(1)-\frac{1}{2}\right)

\displaystyle \Rightarrow P(n)=\frac{1}{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{2}\right)

　　　　\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}

　　　　\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}

　　　　\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right).

類似題目：

1. https://math.pro/db/thread-408-1-1.html

2. https://math.pro/db/thread-626-1-1.html

謝謝weiye老師
也很感謝您提供相關題目，獲益良多。
謝謝您

請問填充第2 : .............有多少組可能的根使得g(x)可表成x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+6=0 , 如何求?

99 國立屏北高中教師甄試試題

第 2 題：

假設一個 5 次整係數多項式 g(x) 的根全為整數，試問共有多少組可能的根使得 g(x) 可以表成 g\left(x\right)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+6，其中 a,b,c,d 為整數.


解答：

由牛頓有理根定理（多項式的整係數一次因式檢驗法），

可知 g(x)=0 的整數根只有可能為 \pm1, \pm2, \pm3,\pm6

且因為五根之積為 -6，

所以，

case i: 有兩根為 〝2,3〞 或 〝-2,-3〞時，

　　　 只能搭配另外三根為 〝1,1,-1〞 或  〝-1,-1,-1〞 ，

　　　有 2\times2=4 組.


case ii: 有兩根為 〝-2,3〞 或 〝2,-3〞時，

　　　 只能搭配另外三根為 〝1,1,1〞 或 〝1,-1,-1〞 ，

　　　有 2\times2=4 組.

case iii: 有一根為 -6 時，

　　　 只能搭配另外四根為 〝1,1,1,1〞 或  〝-1,-1,1,1〞 或  〝-1,-1,-1,-1〞，

　　　有 1\times3=3 組.


case iv: 有一根為 6 時，

　　　 只能搭配另外四根為 〝-1,1,1,1〞 或  〝-1,-1,-1,1〞，

　　　有 1\times2=2 組.

所以，共有 4+4+3+2=13 組.

請問為什麼第9題的P(1)=5/6 ?  ..........一顆骰子有偶數顆為1點的機率不是0嗎?