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101師大附中(含計算題)

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101師大附中(含計算題)

熱騰騰的考題剛出爐,先 po 一下計算證明的部分,其它晚點應該會公佈
101 師大附中計算證明題,除第三題,兩小題各 5 分外,其餘每題 9 分

1. \( a>0 \), \( b>0 \), \( \theta\) 銳角,求 \( \frac{a}{\cos\theta}+\frac{b}{\sin\theta} \) 的最小值。

2. \( \triangle ABC \) 中, \(G\) 為重心。直線 \(L\) 過 \(G\) 與 \(\overline{AB}\) 和 \(\overline{BC}\) 分別交於 \(M\) 和 \(N\)。

\( \overline{BM}=p\overline{BA} \), \( \overline{BN}=q\overline{BC}\),求 \(pq\) 最小值。

3. \( a_{1}=2\), \(a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})\), for \(n\geq1\)。

(1) 證明 \( \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}\) 存在。

(2) 證明 \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1)\) 收斂。

4. \( A_{n\times n}=[a_{ij}]\), \(B_{n\times n}=[b_{ij}]\),其中 \(b_{ij}=\sum\limits _{k=1}^{n}a_{ik}-a_{ij}\)。\(\det A=a\), 求 \(\det B\) (以 \(a\) 表示)。

5. 求 \( \sum\limits_{n=1}^{10}\left[\frac{x}{n!}\right]=2012\) 的所有正整數解。

6. 求兩小於 1 的正數,其和小於 1,其積小於 \(\frac{2}{9}\) 的機率。

7. \(P(a,b)\) 在 \(x^{2}+y^{2}=5\) 上,求滿足 \(\log_{2}(b-a)-\log_{8}(3b-5a)=0\) 的所有點 \(P\)。

以上,題號序應該沒錯,而敘述也大概接近原本的文字,如有錯誤,還請指正

PS:感謝一起幫忙回憶的夥伴們^^

【註:weiye 於 2012/05/12, 17:10 加上師大附中公佈的參考答案檔案。】

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-15 02:07 PM 編輯 ]

附件

101師大附中,答案.doc (49.5 KB)

2012-5-12 17:07, 下載次數: 4739

101師大附中.zip (26.07 KB)

2012-5-13 17:27, 下載次數: 4050

學校公布的題目(只有填充題)

101師大附中.pdf (362.88 KB)

2012-5-15 14:07, 下載次數: 4809

101.5.15 更新(修正填充1)

文不成,武不就

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回復 1# tsusy 的帖子

計算題第一題用廣義的柯西不等式。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-28 02:43 PM 編輯 ]

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IMAG0050.jpg (46.49 KB)

2012-5-12 13:52

IMAG0050.jpg

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想請教是填充 2 ,上面的計算題,只是趁現在還記得,先寫下來而已。

填充 2:\( \triangle ABC \) 中 \(\overline{AB}=12\), \( \overline{AC}=8 \), \( D \) 在 \( \triangle ABC \) 內部,且 \( \angle ABD =\angle ACD \), \( \angle ADB \) 是直角。 \( M \) 為 \( \overline{BC} \) 中點,求 \( \overline{DM} \)

感覺應該是用外接圓,對同弧,在沒做出來,那時候找了一個特例,不過敲鐘後,發現找的特到 \( D \) 在三角形外面...
文不成,武不就

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回復 3# tsusy 的帖子

這題也是想超久,第二題就卡住了,繼續努力想看看了。

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6. 求兩小於 1 的正數,其和小於 1,其積小於 2/9的機率。
相當於求紅色部分的面積

最新一期的數學傳播「美國高中數學測驗AMC 12之機率問題(下)」
有探討機率問題,像這種就是以a,b所在的區域面積R為分母
分子為事件發生區域的面積

這一題分母的區域面積為1,故所求機率就是事件發生的區域面積

曲線部分為雙曲線xy=2/9在第一象限的部分
直線x+y=1與xy=2/9交會的面積為(1/6)-(2/9)ln2
所求面積=三角形-交會面積=(1/2)-
[(1/6)-(2/9)ln2]=(1/3)+(2/9)ln2



[ 本帖最後由 shiauy 於 2012-5-12 05:56 PM 編輯 ]

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MWSnap024 2012-05-12, 17_45_13.jpg (27.58 KB)

2012-5-12 17:51

MWSnap024 2012-05-12, 17_45_13.jpg

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回復 4# shingjay176 的帖子

自問自答一下,填充 2

做 \( \triangle ABD \) 的外接圓,其圓心為 \(E\),將此圓對 \(\overline{AD}\) 作對稱。




以\( '\)表示之,則 \(D\) 為 \(\overline{BB'}\) 中點,又 M 為 \(\overline{BC}\) 中點,


而由 \( \angle ABD = \angle ACD \),得 \(C\) 兩圓上,且不在 \(AD\) 劣弧上。再由 \(D\) 是內部點的條件,可知是右邊下方的 \( BD \)弧上
所以 \( \overline{DM}=\frac{1}{2}\overline{B'C}=\frac{1}{2}\sqrt{12^{2}-8^{2}}=2\sqrt{5} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-13 03:40 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-12 06:25 PM 發表
自問自答一下
第二題這樣做還真殺~真是漂亮

另外,自己整理了部分的計算題,也請大家指教一下
考了幾間,一直感覺還沒有抓到應有的節奏......

附件

101 師大附中 計算題2,4,7.pdf (122.93 KB)

2012-5-12 18:41, 下載次數: 4007

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我比較想要問填充三題目是不是給錯了啊?
已知∫f(x)  dx = k
       0→1

  ∫  dx ∫  f(x)f(y)dy
0→1         x→1
他的dx是不是應該要放到最後面去才是呢?

[ 本帖最後由 Yichen 於 2012-5-12 07:39 PM 編輯 ]
衛生組長@師大附中

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回復 8# Yichen 的帖子

只是記號不同而已

那種寫法也是有人用
文不成,武不就

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引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-12 06:25 PM 發表
自問自答一下,填充 2  
精彩! 加一個讚!

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-12 10:16 PM 編輯 ]

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