熱騰騰的考題剛出爐，先 po 一下計算證明的部分，其它晚點應該會公佈
101 師大附中計算證明題，除第三題，兩小題各 5 分外，其餘每題 9 分

1. a0, b0, 銳角，求 acos+bsin 的最小值。

2. ABC 中， G 為重心。直線 L 過 G 與 AB 和 BC 分別交於 M 和 N。

BM=pBA, BN=qBC，求 pq 最小值。

3. a1=2, an+1=21(an+1an), for n1。

(1) 證明 limnan 存在。

(2) 證明 n=1(anan+1−1) 收斂。

4. Ann=[aij], Bnn=[bij]，其中 bij=nk=1aik−aij。detA=a, 求 detB (以 a 表示)。

5. 求 10n=1xn!=2012  的所有正整數解。

6. 求兩小於 1 的正數，其和小於 1，其積小於 92 的機率。

7. P(ab) 在 x2+y2=5 上，求滿足 log2(b−a)−log8(3b−5a)=0 的所有點 P。

以上，題號序應該沒錯，而敘述也大概接近原本的文字，如有錯誤，還請指正

PS:感謝一起幫忙回憶的夥伴們^^

【註：weiye 於 2012/05/12, 17:10 加上師大附中公佈的參考答案檔案。】

計算題第一題
a0b0，為銳角，求acos+bsin的最小值。
[解答]
用廣義的柯西不等式。
sin2+cos2=1
3acos3+3bsin33acos3+3bsin3(3sin2)3+(3cos2)33a2+3b23 
acos+bsin213a2+3b23 
acos+bsin3a2+3b223 

想請教是填充 2 ，上面的計算題，只是趁現在還記得，先寫下來而已。

填充 2：ABC 中 AB=12, AC=8, D 在 ABC 內部，且 ABD=ACD , ADB  是直角。 M 為 BC 中點，求 \overline{DM}

感覺應該是用外接圓，對同弧，在沒做出來，那時候找了一個特例，不過敲鐘後，發現找的特到 D 在三角形外面...

這題也是想超久，第二題就卡住了，繼續努力想看看了。

6.
求兩小於 1 的正數，其和小於 1，其積小於\displaystyle \frac{2}{9}的機率。
[解答]
相當於求紅色部分的面積

最新一期的數學傳播「美國高中數學測驗AMC 12之機率問題(下)」
有探討機率問題，像這種就是以a,b所在的區域面積R為分母
分子為事件發生區域的面積

這一題分母的區域面積為1，故所求機率就是事件發生的區域面積

曲線部分為雙曲線xy=2/9在第一象限的部分
直線x+y=1與xy=2/9交會的面積為(1/6)-(2/9)ln2
所求面積=三角形-交會面積=(1/2)-[(1/6)-(2/9)ln2]=(1/3)+(2/9)ln2

填充 2
設D為\Delta ABC內一點使得\angle ACD=\angle ABD，且\angle ADB=90^{\circ}，M為\overline{BC}的中點。已知\overline{AB}=12，\overline{AC}=8，則\overline{DM}=　　　。
[解答]
自問自答一下
做 \triangle ABD 的外接圓，其圓心為 E，將此圓對 \overline{AD} 作對稱。

pic1.png (41.46 KB)

2012-5-12 18:26

以 '表示之，則 D 為 \overline{BB'} 中點，又 M 為 \overline{BC} 中點，


而由 \angle ABD = \angle ACD ，得 C 兩圓上，且不在 AD 劣弧上。再由 D 是內部點的條件，可知是右邊下方的 BD 弧上
所以 \overline{DM}=\frac{1}{2}\overline{B'C}=\frac{1}{2}\sqrt{12^{2}-8^{2}}=2\sqrt{5}

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-12 06:25 PM 發表
自問自答一下

第二題這樣做還真殺~真是漂亮

另外，自己整理了部分的計算題，也請大家指教一下
考了幾間，一直感覺還沒有抓到應有的節奏......

我比較想要問填充三題目是不是給錯了啊？
已知∫f(x)  dx = k
       0→1
求
  ∫  dx ∫  f(x)f(y)dy
0→1         x→1
他的dx是不是應該要放到最後面去才是呢？

只是記號不同而已

那種寫法也是有人用

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-12 06:25 PM 發表
自問自答一下，填充 2  

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