兩根號的極值問題
110.2.20補充
若\(-3\le x\le 1\)，試求\(f(x)=\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}\)的值域。
(109嘉義高中代理，
https://math.pro/db/thread-3369-1-1.html)
設\(F_1(-4,0),F_2(4,0)\)為橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的兩焦點，且\(A(2,2)\)在橢圓的內部。若\(P\)為橢圓上任意一點，證明\(10-2\sqrt{2}\le \overline{PA}+\overline{PF_1}\le 10+2\sqrt{2}\)。
(95高中數學能力競賽 嘉義區複賽試題一)
113.7.19補充
已知\(A(4,0),B(2,2)\)是橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)內的點，若\(M\)為橢圓上動點，則\(\overline{MA}+\overline{MB}\)的最大值為
。
(113嘉科實中雙語部，
https://math.pro/db/thread-3895-1-1.html)
求函數\(f(x)=\sqrt{2x^2-6x+4}+\sqrt{x^2-3x}\)的最小值，及此時的\(x\)之值。
(建中通訊解題第132期)
已知\(-1\le x \le 1\)，\(\displaystyle y=\sqrt{4+\sqrt{3+\sqrt{1+x}}}+\sqrt{4+\sqrt{3+\sqrt{1-x}}}\)，求\(y\)的最大值在哪兩個連續整數之間？
(建中通訊解題第146期)
設\(x,y\)為兩實數且滿足\(\sqrt{x+3}+\sqrt{y-7}=6\)，若\(2x+y\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，求數對\(M,m\)。
(建中通訊解題第154期)
111.1.31
設\(x\in R\)，求\(f(x)=\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1}\)的最大值為
。
(104全國高中聯招，
https://math.pro/db/thread-2252-1-1.html)
113.5.9補充
已知函數\(f(x)=\sqrt{x^4-x^2-6x+10}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)，則\(f(x)\)的最大值為
。
(113景美女中，
https://math.pro/db/thread-3858-1-1.html)
111.12.17
若\(x>0\)，試求函數\(f(x)=\sqrt{x^2+(log_2x)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(log_2x-1)^2}\)的最小值？
(111高雄市高中聯招，
https://math.pro/db/thread-3646-1-1.html)
112.4.24
設\(f(x)=\sqrt{10x-x^2}-\sqrt{16x-x^2-60}\)，求\(f(x)\)的最大值。
(112台南女中，
https://math.pro/db/thread-3730-1-1.html)
112.4.25
已知\(\vec{a}=(6,8)\)，\(\vec{b}=(\sqrt{1-sin\theta},\sqrt{sin\theta})\)，其中\(0\le \theta \le \pi\)，則\(\vec{a}\cdot \vec{b}\)的最大值為
。
(112台北市高中聯招，
https://math.pro/db/thread-3729-1-1.html)
113.5.16
設\(t\)是任意實數，試求\(y=\sqrt{4+4sint}+\sqrt{2+2cost}\)的最大值為何？
(112竹東高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3758&page=1#pid25218)
112.6.6
空間中，\(A(-2,8,0)\)、\(B(3,1,4)\)，\(P\)為\(y\)軸上一點，則讓\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值的\(P\)坐標為
。
(112新竹女中代理，
https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html)
112.6.10
空間中兩點\(A(8,0,12),B(7,13,13)\)，若\(P\)點在直線\(\displaystyle x+1=\frac{y}{2}=\frac{3-z}{-2}\)上，則\(\overline{PA}+\overline{PB}\)最小值為何？此時的\(P\)點坐標為何？
(112竹東高中，
https://math.pro/db/thread-3758-1-1.html)
113.6.2
設\(A(7,6,3)\)、\(B(5,-1,2)\)與一直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{-2}\)，若在\(L\)上任取一點\(P\)，使得\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值，求\(P\)點坐標
。
(113嘉義高中，
https://math.pro/db/thread-3851-1-1.html)
113.7.6
已知空間中兩點\(A(1,2,3)\)，\(B(2,1,-1)\)，動點\(P(t,2t+1,2t),t\)為實數，若\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值時，此時\(t=\)
(113彰化女中代理，
https://math.pro/db/thread-3898-1-1.html)
112.6.12
\(\sqrt{2^x(2^x-8)+x(x-2)+17}+\sqrt{2^x(2^x-2)+x(x-10)+26}\)的最小值為何？
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
(112新北市國中聯招，
https://math.pro/db/thread-3760-1-1.html)
112.8.18
設\(x,y \in R\)，則\(\sqrt{(x-4)^2+(y-1)^2+(x+y-2)^2}+\sqrt{(x-4)^2+(y-2)^2+(x+y)^2}\)的最小值為
。
(112文華高中代理，
https://math.pro/db/thread-3764-1-1.html)
114.3.10
\(x\)、\(y\)為任意實數，定義：\(f(x,y)=\sqrt{(2x-2)^2+(2y-4)^2+(2x-y+9)^2}+\sqrt{(2x+2)^2+(2y+6)^2+(2x-y+11)^2}\)求\(f(x,y)\)的最小值
。
(114南一中，
https://math.pro/db/thread-3939-1-1.html)
114.5.12
\(x,y\)為實數，則\(\sqrt{(x-6)^2+(y-5)^2+(x+y-2)^2}+\sqrt{(x-8)^2+(y-2)^2+(x+y-1)^2}\)最小值為
。
(114沙崙高中，
https://math.pro/db/thread-3995-1-1.html)
113.3.17
已知二次函數\(y=x^2+2x-3\)的圖形與\(x\)軸交於點\(A(x_1,0)\)、\(B(x_2,0)\)，其中\(x_1>x_2\)。設\(Q(2,y_0)\)為\(y=x^2+2x-3\)上的一點，在此二次函數的對稱軸上找一點\(P\)，使得\(\overline{PA}+\overline{PQ}\)的值最小，則\(P\)點坐標為何？
(113嘉科實中國中部，
https://math.pro/db/thread-3820-1-1.html)
113.4.12
空間中，\(A\)點坐標為\((-2,8,0)\)，\(B\)點坐標為\((3,1,4)\)，\(P\)點為\(y\)軸上一點，當\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值時，\(P\)點坐標為何？
【以下為學生小沂的解法】
因為\(\overline{PA}\ge 0\)，\(\overline{PB}\ge 0\)，故由算幾不等式可得\(\displaystyle \frac{\overline{PA}+\overline{PB}}{2}\ge \sqrt{\overline{PA}\times \overline{PB}}\)
等式成立時，\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值且發生在\(\overline{PA}=\overline{PB}\)時。
因為\(P\)點為\(y\)軸上一點，假設\(P\)點坐標為\((0,y,0)\)，\(\overline{PA}+\overline{PB}\Rightarrow \sqrt{2^2+(y-8)^2}=\sqrt{3^2+(y-1)^2+4^2}\Rightarrow y=3\)
因此，\(P\)點坐標為\((0,3,0)\)。
1.請問：小沂的解法是對的嗎？若老師覺得此學生的解法錯誤，要如何協助學生釐清錯誤的迷思呢？
2.如果您正在教授「高一」的學生，想避免學生有類似上述的錯誤方式，您要如何設計一道數學題目並給出類似上面的錯誤解法，讓學生偵錯呢？透過此道數學題目，要如何協助學生釐清錯誤的迷思呢？
(113新竹女中，
https://math.pro/db/thread-3829-1-1.html)
113.4.21補充
函數\(f(x)=\sqrt{2x^2-6x+9}+\sqrt{2x^2-16x+(log_3x)^2-2x\cdot log_3x+4\cdot log_3x+40}\)的最小值為
。
(113文華高中，
https://math.pro/db/thread-3836-1-1.html)
113.5.14補充
若函數\(f(x)=\sqrt{24-4x}+\sqrt{5x+15}\)(其中\(-3\le x \le6\))的最大值為\(M\)，最小值\(m\)，則數對\((M,m)=\)
。
(113南湖高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3867&page=1#pid26156)
114.3.10補充
已知函數\(f(x)=x^2-x+\sqrt{2x^4-6x^2+8x+16}\)在\(x=a\)時有最小值\(m\)，則數對\((a,m)=\)
。
(114竹北高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3938&page=2#pid26751)
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橢圓準線相關問題
坐標平面上有兩定點\(A(-1,0)\)、\(B(1,1)\)，\(P\)為橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)上一點，則\(2\overline{PA}+\overline{PB}\)的最小值為
。
(113文華高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3836&page=3#pid25859)
在坐標平面上，若\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{144}=1\)、\(A(9,0)\)、\(B(7,7)\)，且動點\(P\)在\(\Gamma\)上，試求：\(5\overline{PA}+3\overline{PB}\)的最小值為。
(113嘉科實中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3842&page=1#pid26247)
在坐標平面上，\(A\)點坐標為\((8,0)\)，\(B\)點坐標為\((0,6)\)，\(P\)為圓：\(x^2+y^2=16\)上的動點，求\(3\overline{PA}+2\overline{PB}\)的最小值=
(113彰化女中代理，
https://math.pro/db/thread-3898-1-1.html)
