求數列一般項
之前在
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434推薦大家去看數學傳播關於遞迴數列的文章，相信大家對於分式遞迴數列應該都沒問題了。
但關於數列一般項的解法其實還有很多解法，只要題目條件調整一下說不定又可以用不同的解法。
我按照我的解題策略將這些題目做個整理，我也比較了各方法之間的異同。
當然還有很多題型我並沒有收錄，考量是教甄既然沒考到這麼難的題目，準備太多難免會顧此失彼。
superlori所整理的遞迴數列筆記
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid7465
寸絲所整理的遞迴數列筆記(第一個檔案)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid7653
分式遞迴數列討論
https://math.pro/db/thread-1668-1-1.html
103.1.4補充
給定數列\( {x_n} \)如下：\( \displaystyle x_1=\frac{1}{2} \)，\( x_n=3x_{n-1}-2(-1)^{n-1} \)，\( n=2,3,... \)。試問\( x_{101} \)是幾位數？
(95高中數學能力競賽，
https://math.pro/db/thread-1770-1-1.html)
已知\( a_1=1 \)，\( \displaystyle a_{n+1}=3 a_n+\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \)，( \( n \in N \) )；則\( a_n= \)？
(100麗山高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=7#pid9513)
從這兩題或許可以看出weiye的解題策略是遇到有指數的項就先同除。
而100麗山高中的\( a_n \)係數剛好也是3，除完之後\( \displaystyle \frac{a_{n+1}}{3^n} \)和\( \displaystyle \frac{a_n}{3^{n-1}} \)係數相同，就可以用累加的方式求得\( a_n \)。
出個問題讓妳回答，題目改成\( a_{n+1}=3a_{n}+n2^n \)
(1)若按照weiye的解題策略一開始就同除\( 2^n \)，那有什麼地方應該要注意的？
(2)那可不可以同除n來計算？
103.4.26補充
設兩數列\( a_1,a_2, \ldots ,a_{100} \)及\( b_1,b_2, \ldots ,b_{100} \)滿足\( \displaystyle \cases{a_{n+1}=3a_n-2b_{n+1} \cr b_{n+1}=a_{n+1}-3b_n} \)，\( n=1,2, \ldots ,99 \)。已知\( a_{99}=3^{50} \)，\( b_{100}=4 \dots 3^{49} \)。試求\( \Bigg[\; \matrix{a_1 \cr b_1} \Bigg]\;= \)
(103中央大學附屬中壢高中，
https://math.pro/db/thread-1868-1-1.html)
103.5.6補充
給定數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)，已知\( a_1=104 \)，\( \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=(n+3)^2a_n \)，試求\( a_{100}= \)？
(103和平高中，
https://math.pro/db/thread-1877-1-1.html)
104.4.25補充
已知遞迴式\( a_1=1 \)，\( a_{n+1}=2a_n+n^2 \)，試求出\( a_n \)的一般項。
(104台南二中，
https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html)
105.4.23補充
若數列\( \{\;a_n \}\; \)滿足\( a_1=1 \)，\( \sqrt{a_n}=2 \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n a_{n+1}} \)，\( n \in N \)，求數列\( \{\;a_n \}\; \)的一般項\(a_n=\)
。
(105中壢高中，
https://math.pro/db/thread-2486-1-1.html)
105.4.24補充
\(n\)為自然數，若\( \displaystyle a_1=\frac{1}{2} \)，\( a_{n+1}=2(a_n+1) \)，求數列\( \)的第100項\(a_{100}=\)
。
(105台南女中，
https://math.pro/db/thread-2488-1-1.html)
105.4.26補充
數列\(\langle\; a_n \rangle\;\)滿足\( a_1=0 \)，\( a_2=1 \)，\( a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1 \)，則\( a_{106}= \)
(105桃園高中，
https://math.pro/db/thread-2489-1-1.html)
105.6.5補充
數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)中，若\(a_1=1\)，且\(a_{n+1}=3a_n-1\)，則\(a_n=\)
。
(105高雄餐旅大學附屬高中，
https://math.pro/db/thread-2527-1-1.html)
105.6.16補充
設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足遞迴式\( \Bigg\{\; \matrix{\displaystyle a_1=\frac{1}{3} \cr a_n=a_{n-1}+\frac{2}{n^2+3n+2},n \ge 2} \)，試求\(a_n\)。
(105復興高中二招，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2533&page=1#pid15698)
106.9.17補充
設數列\( \{\; a_n \}\; \)的前\(n\)項和為\(S_n\)，已知\(a_1=1\)且\((5n-8)S_{n+1}-(5n+2)S_n=-20n-8\)，試求\( \displaystyle \sum_{k=101}^{150}\frac{1}{a_ka_{k+1}} \)之值。
(104高中數學能力競賽，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2466&page=2#pid15693)
109.6.15補充
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1\)、\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})\)，求此數列的一般項\(a_n\)。
(109中科實中國中部，
https://math.pro/db/thread-3347-1-1.html)
(111高雄女中，
https://math.pro/db/thread-3624-1-1.html)
109.6.25補充
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1,a_{n+1}=1+a_n+\sqrt{1+4a_n}(n\ge 1)\)，
而數列\(\langle\;b_n\rangle\;\)定義為\(b_n=\sqrt{1+4a_n}\)。
(1)問：數列\(\langle\;b_n\rangle\;\)為何種數列？
(2)求數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的一般項公式。
(105高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試一試題，
https://math.pro/db/thread-2608-1-1.html)
111.3.22補充
已知數列\(a_1=1\)且\(3a_{n+1}=5a_n+\sqrt{9+16a_n^2}\)
(a)求\(a_n\)的一般式。
(b)試證對於所有的正整數\(n\)，滿足\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}<\frac{3}{2}\)。
(110高中數學能力競賽新北市筆試一，
https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)
109.8.10補充
數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)滿足\(a_1=0\)且\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2+a_{n-1}}\)(\(n\ge 2\))。已知將\(a_n\)寫成最簡分數\(\displaystyle a_n=\frac{r_n}{s_n}\)後，數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)會滿足一個遞迴關係式\(r_n=ar_{n-1}+br_{n-2}\)(\(n\ge 2\))。試求數對\((a,b)=\)
。
(105台灣師大申請入學，
http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14)
110.8.2補充
在數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，當\(1\le n\le 5\)時，\(a_n=n^2\)，且對所有正整數\(n\)，\(a_{n+5}+a_{n+1}=a_{n+4}+a_n\)均成立，則\(a_{110}=\)？
(110竹東高中，
https://math.pro/db/thread-3533-1-1.html)
111.4.19補充
已知數列\(\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，首項\(\displaystyle a_1=\frac{1}{4}\)，且滿足\(a_n+3S_nS_{n-1}=0(n\ge 2,n\in N)\)，則\(\displaystyle \frac{1}{S_{2022}}=\)
。
(111台中一中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3621&page=2#pid23766)
設一數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}>a_n(n\in N)\)且\((a_{n+1})^2+(a_n)^2+1=2(a_{n+1}\cdot a_n+a_{n+1}+a_n)\)。令\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{na_n}=\)
。
(111台中一中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3621&page=1#pid23757)
112.4.29
已知兩數列\(\langle\;a_n\rangle\;,\langle\;b_n\rangle\;\)，當\(n\in N\)時恆存在下列關係：\(\cases{a_n=3a_{n-1}+5b_{n-1}\cr b_n=a_{n-1}+7b_{n-1}}\)，且\(a_0=2,b_0=1\)，求一般項\(a_n\)。
(112六家高中，
https://math.pro/db/thread-3737-1-1.html)
已知數列中\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，\(a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n(n\in N)\)，則\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2023}(a_{k+1}^2-a_k\cdot a_{k+2})=\)？
(112六家高中，
https://math.pro/db/thread-3737-1-1.html)
