一、填充題
1.
方程式\(|||||x^2-2x-3|-4|-5|-6|-7|=x^2+x-89\)的所有實根為
。
2.
多項式\(x^{1234}\)除以\(x^2-x+1\)的餘式為
。
求\(x^8+x+1\)除以\(x^2-x-1\)的餘式為
。
(100南科實中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1153&page=2#pid3727)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid1752
3.
設\(\theta\)為銳角，則\(\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\tan^3\theta+8\cot^2\theta\)的最小值為
。
4.
平行四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=\sqrt{23}\)，\(\overline{BC}=\sqrt{37}\)，若兩對角線的其中一個交角為\(60^\circ\)，則\(ABCD\)的面積為
。
5.
小明班上有\(n\)位同學，座號分別為\(1,2,3,\dots,n\)。講桌上的籤筒中原有全班同學的座號籤各一支，頑皮的
小明偷偷把自己的籤拿掉。已知剩下\(n-1\)支籤的編號平均數為\(\displaystyle\frac{91}{4}\)，若
小明的座號為\(x\)，則數對\((n,x)\)為
。
6.
將正整數\(n\)表示成一個以上的正整數之和，稱為「分拆」；接著計算分拆後各正整數的乘積，稱為「分拆乘積」。舉例來說，\((1+1+3)\)、\((1+4)\)、\((1+2+2)\)分別是\(n=5\)的其中三種分拆方式，它們的分拆乘積分別為3、4、4。求\(n=2026\)的所有分拆方式中，其分拆乘積的最大值為
。
將2008分解成一些正整數之和，使得這些正整數之乘積有最大值，求這最大值，並加以證明。
(97高中數學能力競賽台南區筆試一，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1945)
7.
設實數\(a,b,c,d\)滿足\(a^2+b^2=2\)，且\((c+2)^2+(d+1)^2=3\)，則\((ad-bc)^2\)的最大值為
。
8.
箱中有\(n\)顆球，編號1到\(n\)，每球被抽到的機率均等。假設從中同時抽出兩球，兩球編號差的期望值為\(E_1\)；而從中抽出一球後放回，再抽一球，兩次抽球編號差的期望值為\(E_2\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(E_1-E_2)\)之值為
。
9.
平行四邊形\(ABCD\)中，已知\(\overline{AB}=6\)，且\(\triangle ABC\)的外接圓半徑為4，則對角線\(\overline{BD}\)的長度之最大值為
。
10.
設拋物線\(y=x^2\)的焦點為\(F\)，在拋物線上取一點\(P_1\)，過\(P_1\)作鉛直線交\(x\)軸於點\(X_1\)，連\(\overline{FX_1}\)交拋物線於點\(P_2\)，過\(P_2\)作鉛直線交\(x\)軸於點\(X_2\)，連\(\overline{FX_2}\)交拋物線於點\(P_3\)，依此類推可得到一系列的點\(P_1,P_2,P_3,\dots,P_n\)與\(X_1,X_2,X_3,\dots,X_n\)。求\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\overline{X_nP_{n+1}}}{\overline{P_{n+1}X_{n+1}}}\)之值為
。
二、計算證明題
1.
考慮以下問題：「從5男4女之中任選5人，求至少含有2男1女的方法數。」某位學生的做法是「先任選2男，再任選1女，再從剩下6人中任選2人，因此所求為\(\displaystyle C^5_2\times C^4_1\times C^6_2\)。」但他發現答案是錯的，請指出錯誤之處，並示範兩種不同方法求出正確答案。
2.
正弦定理與餘弦定理具有等價關係，設\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=c\)、\(\overline{BC}=a\)、\(\overline{CA}=b\)，請從下列兩式中擇一證明：
(1)已知\(\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)，證明\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)。
(2)已知\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)，證明\(\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)。
3.
在1到2026的正整數中選出\(n\)個數，使得這\(n\)個數當中，任意兩數的積或和都無法被它們的差整除，求\(n\)的最大值。
4.
設\(a,b,c\)為實數，且函數\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)在\(-1\le x\le1\)的範圍內之最大值為\(M\)、最小值為\(m\)，求\(M-m\)的最小值。
5.
對所有正整數\(n\)，定義數列\(F_n\)為「將所有滿足\(0\le x\le1\)且分母不大於\(n\)的最簡分數\(x\)，由小到大依序排列」，並將其中的0記為\(\displaystyle\frac{0}{1}\)，將1記為\(\displaystyle\frac{1}{1}\)。舉例來說：\(\displaystyle F_1=\{\frac{0}{1},\frac{1}{1}\}\)，\(\displaystyle F_2=\{\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{1}\}\)，\(\displaystyle F_4=\{\frac{0}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{1}\}\)。此外規定\(|F_n|\)代表\(F_n\)的項數，因此\(|F_1|=2\)、\(|F_2|=3\)、\(|F_4|=7\)。請回答下列問題：
(1)求數列\(F_{100}\)之中，緊鄰在\(\displaystyle \frac{23}{80}\)後的下一項。
(2)證明或否證：對於所有正整數\(n\)，\(|F_n|\)恆為質數。
