2.
有100扇門，分別編號1~100號，一開始全部都是關閉，被按第一次為開，第二次為關，第三次為開…依此類推(也就是按奇數次為開、偶數次為關)，編號1~100號同學(只有6號沒來)，每人將自己編號的倍數按一次，例如:1號同學將全部的門都按1次，2號同學會將2、4、6、8、…、100的門都按1次。請問這100扇門最後有
扇門是打開的。
(類似問題，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=804&page=1#pid1531)
3.
已知三角形\(A_1B_1C_1\)是面積為1的任意三角形，如圖所示，對每個自然數\(n\)，連接三角形\(A_nB_nC_n\)各邊對應三等分點與頂點之連線，可圍成一個新三角形\(A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}\)。令\(a_n\)表示三角形\(A_nB_nC_n\)的面積，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\)
。
(類似問題，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948&page=1#pid2128)
[提示]
\(\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{1}{7}\)
5.
試求\(x^{114}+2025\)除以\((x-1)^2\)之餘式為
。
設\(x^5\)除以\((x-1)^3\)得餘式為\(g(x)\)，求\(g(2)\)之值=？
(98全國高中聯招，thepiano解題
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... b7f97e593aa7b#p3198)
6.
在空間坐標中，\(A(1,-1,2)\)、\(B(1,1,0)\)、\(C(1,0,4)\)，\(P\)為平面\(E\)：\(x+y+z=0\)上的動點，則\(\overline{AP}^2+\overline{BP}^2+\overline{CP}^2\)之最小值為
。
空間中三點\(A(1,1,1),B(2,4,0),C(3,2,1)\)，在平面\(E\)：\(x+y+z=6\)上找一點\(P\)使得\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)有最小值，求\(P\)點坐標。
(114蘭陽女中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3976&page=2#pid27445)
8.
將4個\(A\)、4個\(B\)、4個\(C\)，12個字母排成一列，條件是前4個字母沒有\(A\)，中間4個字母沒有\(B\)，最後4個字母沒有\(C\)，則滿足條件的排法有
種。
類似問題，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=454&page=1#pid1779
9.
已知\(a=1!\times2!\times3!\times4!\times5!\times6!\times7!\times8!\times9!\times10!\)，則有
個完全平方數是\(a\)的因數。
試問\(1!\times 2!\times \ldots \times 10!\)的正因數中是完全平方數的共有
個。
(2016TRML團體賽，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2591&page=1#pid17807)
11.
設\(x,y\)為實數，則\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{4^2+(x-6)^2}+\sqrt{5^2+(y-8)^2}\)的最小值為
。
(我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)
\(x,y\)為實數，求\( \sqrt{(x-4)^2+9}+\sqrt{(y-7)^2+1}+\sqrt{x^2+y^2} \)之最小値
(101新化高中代理，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1428&page=1#pid6545)
12.
設\(a_n\)為\(10^n\)的所有正因數總和，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{10^{n+1}}=\)
。
13.
已知\(a\)、\(b\)、\(c\)為正實數，且\(a+b+c=2\)，則\(\displaystyle \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{2}\right)\)的最小值為
。
已知\(a,b,c\)為正數且\(a+b+c=1\)，則\(\displaystyle \left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)\)的最小值為
。
(100成淵高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1128&page=1#pid3466)
(我的教甄準備之路 \(a+b=1\)求極值，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079)
二、計算與說明題
3.
在座標平面上由\(A(1,0)\)作二次函數\(y=x^2+3\)的切線，
(1)求出這兩條切線方程式。
(2)求出這兩條切線與拋物線\(y=x^2+3\)所圍成區域的面積。
