例題：把 Σ 轉換成積分求近似值考題

試證明：對於一切自然數n，2(n+1−n)1n2(n−n−1)恆成立。再計算10000n=11n ，此處高斯符號[x]表示正實數x的"整數部分"。
(71大學聯考試題，https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html)

[x]表不大於x的最大整數，則100k=11k 
(93國立大里高中，https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

求1+12+13++110000的整數部分。
(94全國高中數學競賽　台南區筆試一試題)

估計1+12+13++110000的值，下列何者正確？
(A) S100　(B) 100S200　(C) 200s300　(D) 300s400
(94台中縣高中聯招)

若x=1+12+13+14++110000，若[x]表不大於x的最大整數，則[x]=？
(96高雄中學)

若x=9999k=11k ，則x的整數部分為？
(97師大附中第一次教師甄試)

設[x]表不大於x的最大整數( xR )，a=2008k=51k ，試求[x]之值。
(97淡水商工)

求limn1n+1nk=11k= ？(必須寫出過程，不可僅寫簡答)
(97台南女中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47757)

求1+12+13++1900 的整數部分？
(99中一中，https://math.pro/db/thread-929-1-1.html)

an=1+12+13++1n，求limnann
(99左營高中，https://math.pro/db/thread-1016-1-1.html)

若1+12+13+14++1120，求[k]？
(100文華高中，https://math.pro/db/thread-1095-3-1.html)


S=11+12+13++110000，則[S]=？
(100北一女，https://math.pro/db/thread-1123-1-1.html)

令s=1+12+13+14++110000，若ns10n+1，其中n為自然數，則n=？
(100台北市中正高中二招，https://math.pro/db/thread-1169-1-1.html)

若k=1+12+13+14+15++180，求[k]=？
(100香山高中，https://math.pro/db/thread-1186-1-1.html)

令S=1+12+13++1729，若[x]表不大於x的最大整數，求[S]=？
(101中正高中二招，https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html)

估計S=1+12+13++110000的值，則(1)S100　(2)100S200　(3)200S300　(4)300S400
(101中區國中聯招)

[x]表示不大於x的最大整數，則100k=11k 
(101文華高中代理，https://math.pro/db/thread-1462-1-1.html)

若x=2499k=11k ，求x的整數部分。
(103高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html)

證明：8711+12+13+14++1201989
(108彰化女中，https://math.pro/db/thread-3123-1-1.html)

設數列an=1+12+13++1n，求limnann=　　　。
(109中科實中國中部，https://math.pro/db/thread-3347-1-1.html)

已知一數列an，a1=4，a2=5，若an=an−2a2n−1−1，n3，nN，
(1)求此數列的一般項an
(2)2021n=11an 的整數部分為何？
(110台中女中，https://math.pro/db/thread-3515-1-1.html)

附上正統的解法
奧數教程高一　第9講數列求和
奧數教程高二　第3講證明不等式的常用方法和技巧(Ⅰ)
奧數教程高二　第24講高斯函數[x]