我沒抄在準考證上
這是我回想的題目與PTTmath板好心人提供的題目
總共10題考90分鐘

感謝提供題目

1.\( x,y \ge 0 \)，\( x^2+y^2=25 \)，求\( 5x^2+4xy+y^2 \)之最小值？

設\( x^2+y^2=1 \)，試求\( x^2-2xy+3y^2 \)之最大值和最小值？
https://math.pro/db/thread-882-1-1.html


6.某一老鼠走迷宮的遊戲中，假設迷宮有A,B,C三個門，老鼠走進這三個門的機率都相等，且假設老鼠不去記憶走過。如果走進A門，則老鼠在3個小時後可以走出迷宮；如果走進B門，則老鼠經過2個小時後又走回原地；如果走進C門，則老鼠經過4個小時後又走回原地。那麼，這隻老鼠要走出迷宮所花時間的期望值為幾小時。
(97台灣師大推薦甄試，這裡還有類似的題目)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid1475


7.\( \displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}} \)
其他類似題目
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html


9.試證\( 2^n \ge 1+n \sqrt{2^{n-1}} \)

證明：\( \forall n \in N \)，\( 3^n \ge 1+2n \sqrt{3^{n-1}} \)
(98慈大附中,臺南慈中，https://math.pro/db/thread-725-1-5.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-12 08:46 PM 編輯 ]

可以請教各位大大第8題嗎?
c(n,o)*c(n,1)*c(n,2)*...c(n,n) < 2^(n-1)*n / n!
感謝先

先說明一下
第8.題題目有瑕疵(n=1,2不成立)
應限制n >= 3
                                                                                
先證lemma：n>=4時,(n-1)^(n-1)>n!
(歸納法易證)
n=4時,3^3>4!成立
設n=k(k>=4)成立, 即k!<(k-1)^(k-1)
=> (k+1)!=(k+1)*k!<(k+1)(k-1)^(k-1)
         =(k^2-1)(k-1)^(k-2)
         <k^2*k^(k-2)=k^k
得n=k+1時成立
                                                                                
(1)n=3時, 1*3*3*1<2^6/6成立
(2)n>=4時
左=C(n,1)C(n,2)...C(n,n-1)
  <{[C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n-1)]/(n-1)}^(n-1)
  =[(2^n-2)/(n-1)]^(n-1)
  <2^[n(n-1)]/(n-1)^(n-1)
  <2^[n(n-1)]/n! (by lemma)

[ 本帖最後由 Fermat 於 2010-7-24 09:08 PM 編輯 ]

第八題，可以用跟第九題一樣的技巧
\( \displaystyle C_1^n+2\times C_2^n+3\times C_3^n+\cdots+n\times C_n^n=n\times 2^{n-1} \)

接著使用算幾不等式即可
而且可以知道，當\( n=1 \) 時，僅有一項；當\( n=2 \)時，雖有兩項，但是相等；所以這兩個情況都是相等。
於是在\( n\ge 3 \) 時才會成立。

這個解法實在是太漂亮了，推一個

想請問一下第3題怎麼証明
\((3+\sqrt{7})^n\)的整數部分恆為奇數

或許看完這篇 https://math.pro/db/thread-222-1-1.html 你應該就會有證明的想法了，

如果看完之後真的還是沒有想法的話，傳個短訊息給我，我再來寫個詳細證明。 ^__^

謝謝瑋岳老師，我懂了

第一題詳解

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-5 03:14 PM 編輯 ]