煩請眾前輩高手欣賞

我再貢獻幾題我有記下的題目，

並且把之前有人問的題目都放在一起，方便以後查詢：

※※　題號接續上面的pdf 檔，非原始題號　※※



第 4 題：（數據有改，方法相同）

若已知四面體四個面皆由全等的三角形構成 , 若此三角形三邊長為 \(17,16,10\)，求四面體體積 = ?

https://math.pro/db/thread-927-1-1.html


第 6 題：（數據有改，方法相同）

\(\displaystyle \int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin x\right)dx=\)？

https://math.pro/db/thread-926-1-1.html




第 8 題：

給定雙曲線 \(\displaystyle \Gamma:\, \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{20}=1\) 與直線 \(L:\, 3x+4y=k\)，

若在 \(L\) 上存在唯一點 \(P\)，使得過 \(P\) 點對雙曲線恰可做兩條互相垂直的切線，求 \(P\) 點坐標。





第 9 題：

\(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB}=1, \overline{BC}=\sqrt{3}, \overline{AC}=1\)，設 \(P\) 為 \(\triangle ABC\) 內部的一點，

且 \(P\) 到三邊 \(\overline{BC}, \overline{AC}, \overline{AB}\) 之距離 \(\overline{PD}, \overline{PE}, \overline{PF}\) 的比為 \(1:2:3\)，

若 \(\overline{AP}^2 : \overline{BP}^2 : \overline{CP}^2 = 1:a:b\)，求數對 \((a,b)=\)？




第 10 題：已知 \(\overline{PA}, \overline{PB}, \overline{PC}\) 是圓 \(O\) 的三弦，\(∠ APB=\alpha, ∠ BPC=\beta\)，

試證： \(\overline{PB}\sin\left(\alpha+\beta\right)=\overline{PC}\sin\alpha+\overline{PA}\sin\beta.\)

第 11 題：

若 \(2^n=a!+b!+c!\)，其中 \(n,a,b,c\) 為正整數 , 且 \(a\geq b\) ，\(b\geq c\) 則 \((a,b,c,n)\) 有幾組解 ?

https://math.pro/db/thread-928-1-1.html



第 12 題：

在 \(2700\) 的正因數中 , 任取 \(3\) 個因數 \(a,b,c\)，則 \(a\) 是 \(b\) 的因數，\(b\) 是 \(c\) 的因數之機率 = ?

https://math.pro/db/thread-925-1-1.html

請問第5 ,6,7,8,9 題怎麼做 ?   感恩 !

第 6 題：

延續 https://math.pro/db/thread-926-1-1.html 的結果，

可得

\(\displaystyle\int^{\pi}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)

\(\displaystyle=\int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx+\int^{\pi}_{\pi/2}\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)

\(\displaystyle=2 \int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)

\(\displaystyle=-\pi\ln2.\)

第 7 題：
如右圖之\(\Delta ABC\)中，點\(G\)在\(\overline{AB}\)上，\(\overline{AG}:\overline{GB}=2:1\)，點\(F\)在\(\overline{AC}\)上，\(\overline{AF}:\overline{FC}=1:2\)，點\(D\)、點\(E\)在\(\overline{BC}\)上，\(\overline{BD}:\overline{DE}:\overline{EC}=1:1:1\)，又\(\overline{GE}\)與\(\overline{DF}\)交於\(H\)點，求\(\overline{DH}:\overline{HF}=\)　　　。
[解答]
先觀察得 \(\overline{DF}//\overline{AB}\)，

然後由　\(\displaystyle \overline{DF} = \frac{2}{3}\overline{AB}\)

以及　\(\displaystyle \overline{DH}=\frac{1}{2}\overline{BG} = \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\overline{AB}\)

可得，\(\displaystyle \overline{DH}:\overline{DF} = \frac{\overline{AB}}{6}:\frac{2}{3}\overline{AB}=1:4\)

113.5.12補充
在\(\Delta ABC\)中，已知點\(D\)在\(\overline{BC}\)上且\(\overline{BD}:\overline{DC}=1:3\)，點\(F\)與點\(G\)都在\(\overline{CA}\)上且\(\overline{CF}:\overline{FG}:\overline{GA}=1:1:2\)，點\(H\)在\(\overline{AB}\)上且\(\overline{AH}:\overline{HB}=1:2\)。若\(\overline{DG}\)與\(\overline{FH}\)交於\(P\)點，則\(\overline{FP}:\overline{PH}=\)　　　。
(113北一女中，https://math.pro/db/thread-3828-1-1.html)

2.\( x,y,z \in R \)，若\( \Bigg\{\ \matrix{x+y+z=-3 \cr \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{3} \cr x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=-24} \)求\( x^2+y^2+z^2= \)？
(94高中數學能力競賽高屏區筆試二)
要將第一式代到第三式就可以得到xyz


4.如圖四面體，\( \overline{AB}=\overline{AD}=10 \)，\( \overline{BC}=\overline{AD}=17 \)，\( \overline{AC}=\overline{BD}=3 \sqrt{29} \)，求三角錐A-BCD的體積？


設邊長為a,b,c的三角形是銳角三角形。證明，存在一個四面體，其每組對稜都相等且分別等於a,b,c，並計算這個四面體的體積。
(高中數學競賽教程P263)


将边长分别为8、10、12的三角形的各边中点连接，形成四个三角形，它是一个四面体的展开图，求这个四面体的体积。
(奥数教程　高二卷　第9讲　截面折叠合展开)


△ABC為邊長4,6,6的等腰三角形，其三邊中點分別為D、E、F，沿著中點連線DE、EF、FD摺上來，使A、B、C三點重疊在P點成為一個四面體P-DEF。試問此四面體的頂點P到底面DEF的高度為？
(92台灣師範大學推薦甄選入學指定項目甄試試題)
因為這題是等腰三角形，不用長方體的方法其實也能解出來

102.6.25補充
將邊長10,10,12三角形紙張，沿著三邊中點連線摺起形成一個四面體，試問此四面體體積為　　　。
(102木柵高工，https://math.pro/db/thread-1662-1-1.html)

110.8.23補充
有一個四面體\(ABCD\)，其中\(\overline{AB}=\overline{CD}=5\)，\(\overline{AC}=\overline{BD}=\sqrt{41}\)，\(\overline{AD}=\overline{BC}=\sqrt{34}\)，求此四面體的體積。
(102南港高中代理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1706&page=2#pid9043)

110.5.25補充
已知一個等腰三角形\(ABC\)，其中\(\overline{AB}=\overline{AC}=10\)，\(\overline{BC}=2\sqrt{5}\)，今依序在\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)、\(\overline{AB}\)上取各邊中點\(D\)、\(E\)、\(F\)，分別將\(\Delta AEF\)、\(\Delta BDF\)、\(\Delta CDE\)沿著\(\overline{EF}\)、\(\overline{DF}\)、\(\overline{DE}\)折起來，使\(A\)、\(B\)、\(C\)三點重合在\(P\)點形成一個四面體\(P-DEF\)，則此四面體\(P-DEF\)的體積為　　　。
(110竹科實中，https://math.pro/db/thread-3508-1-1.html)

100.10.6補充
若\( x>0 \)，則\( \sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2x^2-16x+(log_2 x)^2-2xlog_2 x+2log_2 x+50} \)的最小值為？

113.4.21補充
函數\(f(x)=\sqrt{2x^2-6x+9}+\sqrt{2x^2-16x+(log_3x)^2-2x\cdot log_3x+4\cdot log_3x+40}\)的最小值為　　　。
(113文華高中，https://math.pro/db/thread-3836-1-1.html)

以下幾題僅將想法列出, 詳細做法可以自己試著做看看.
第八題 垂直切線軌跡為一定圓
第十題 托勒密定理.

第5題
整理後可得　{x^2+（x-2）^2}^1/2 +{(x-7)^2+(x-(logx+1))^2}^1/2　的最小值
即A(0,2)到P(x,x)的距離加上P(x,x)到Q(7, logx+1)的距離和之最小值
畫圖可知（備註：ＰＱ線段必為水平線）
當x=2時有最小值即（0,2)到（7,2)的距離=7
(ps:在這裡logx表示以2為底數,x為真數之對數值)

第十題
利用托勒密定理
PB*AC=PA*BC+PC*AB
同除2R,則PB*(AC/2R)=PA*(BC/2R)+PC*(AB/2R)
正弦定理可知
PB*sin(a+b)=PA*sinb+PC*sina


[ 本帖最後由 azse0319 於 2010-5-7 09:01 AM 編輯 ]

我還有印象一些比較基礎的題目,大家參考一下
PS:題號接續上面的討論，非原始題號

第13題.
有7個人分成三組,人數分別為3人3人1人,
這7人要坐在12個空坐位上且同組的人一定要相鄰,
不同組的人一定不能相鄰,求有多少坐法(數據不確定)

第14題.
f(x)=x^3+ax^2+bx+c已知lim(f(x)/(x+1))=3,且f(x)的圖形沒有極值,求a的範圍

第15題.
給定空間中四點A(  )B(  )C(  )D(  )    (數據忘了)
若P為CD線段上之動點
求三角形ABP面積最小時P點的坐標

第16題
已知一地球儀的赤道長為??,
A在東經??度且B在東經??度北緯60度,
求AB在地球儀上的距離






[ 本帖最後由 azse0319 於 2010-5-10 03:18 PM 編輯 ]

請問如何求第9題 ?