引用:

稍微指點一下...拜託了

sigma k=1~10000 k^(-1/2)

的整數部分為多少?

我也不太會畫圖，所以我畫一個如果把題目的 10000 改成 3 的圖形來給解題的人參考好了



如圖可得，綠色區域面積<藍色區域面積<黃色區域面積

然後分別把綠色跟黃色區域的面積用積分形式表示，

就是證明裡的不等式(只是要把證明裡的 10000 改成 3，把 10001 改成 4)。


另外，額外附上電腦計算結果



^______^

原題目來自：http://www.student.tw/db/showthread.php?t=93398

試證明：對於一切自然數n，2(n+1−n)1n2(n−n−1)恆成立。再計算10000n=11n ，此處高斯符號[x]表示正實數x的"整數部分"。
(71大學聯考試題，https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html)

[x]表不大於x的最大整數，則100k=11k 
(93國立大里高中，https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

求1+12+13++110000的整數部分。
(94全國高中數學競賽　台南區筆試一試題)

估計1+12+13++110000的值，下列何者正確？
(A) S100　(B) 100S200　(C) 200s300　(D) 300s400
(94台中縣高中聯招)

若x=1+12+13+14++110000，若[x]表不大於x的最大整數，則[x]=？
(96高雄中學)

若x=9999k=11k ，則x的整數部分為？
(97師大附中第一次教師甄試)

設[x]表不大於x的最大整數( xR )，a=2008k=51k ，試求[x]之值。
(97淡水商工)

求limn1n+1nk=11k= ？(必須寫出過程，不可僅寫簡答)
(97台南女中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47757)

求1+12+13++1900 的整數部分？
(99中一中，https://math.pro/db/thread-929-1-1.html)

an=1+12+13++1n，求limnann
(99左營高中，https://math.pro/db/thread-1016-1-1.html)

若1+12+13+14++1120，求[k]？
(100文華高中，https://math.pro/db/thread-1095-3-1.html)


S=11+12+13++110000，則[S]=？
(100北一女，https://math.pro/db/thread-1123-1-1.html)

令s=1+12+13+14++110000，若ns10n+1，其中n為自然數，則n=？
(100台北市中正高中二招，https://math.pro/db/thread-1169-1-1.html)

若k=1+12+13+14+15++180，求[k]=？
(100香山高中，https://math.pro/db/thread-1186-1-1.html)

令S=1+12+13++1729，若[x]表不大於x的最大整數，求[S]=？
(101中正高中二招，https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html)

估計S=1+12+13++110000的值，則(1)S100　(2)100S200　(3)200S300　(4)300S400
(101中區國中聯招)

[x]表示不大於x的最大整數，則100k=11k 
(101文華高中代理，https://math.pro/db/thread-1462-1-1.html)

若x=2499k=11k ，求x的整數部分。
(103高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html)

證明：8711+12+13+14++1201989
(108彰化女中，https://math.pro/db/thread-3123-1-1.html)

設數列an=1+12+13++1n，求limnann=　　　。
(109中科實中國中部，https://math.pro/db/thread-3347-1-1.html)

已知一數列an，a1=4，a2=5，若an=an−2a2n−1−1，n3，nN，
(1)求此數列的一般項an
(2)2021n=11an 的整數部分為何？
(110台中女中，https://math.pro/db/thread-3515-1-1.html)

附上正統的解法
奧數教程高一　第9講數列求和
奧數教程高二　第3講證明不等式的常用方法和技巧(Ⅰ)
奧數教程高二　第24講高斯函數[x]

想請教老師們奧數教程的解法中...為何要
2<=k  <=1000000
為何2不能改成1呢??是因為估計會錯誤嗎??
不然k=1也符合不等式的部份呀?!
3Q

引用:

原帖由 bugmens 於 2011-5-8 07:47 AM 發表
[x]表不大於x的最大整數，則 \displaystyle \Bigg[\; \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \Bigg]\;
(93國立大里高中，https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

求...

k=1 時，\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1}}=1 本來就是整數，

所以不用刻意去估計 \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1}}  的範圍，

而且刻意去估計會讓誤差變大。

老師你好!對於您的算法有幾點感到很困惑，不知道能否替我解惑
1.首先，是藍色框框與黃色框框的大小關係
藍色的一二項等於黃色的一二項，這部分沒有問題，
但是如何得知x=2之後的曲面下面積會大於之後的框框，好像光由圖形中無法證明

2.您的第三步驟2 [(10001)^1/2  - 1 ] <2 [(10000)^1/2  - 1 ] <原式
這步驟的原因為何，有沒有可能有下列的情形2 [(10001)^1/2  - 1 ] <原式<2 [(10000)^1/2  - 1 ]

麻煩老師指教了

1. 第三塊黃色框框的最右邊的高度＝第三塊藍色框框最左邊的高度＝第三塊藍色框框其他地方的高度。
　因為是遞減函數，所以　第三塊黃色框框其他地方的高度都會  大於等於  第三塊黃色框框最右邊的高度。

2. 你應該看錯了，我是寫 2 [(10001)^1/2  - 1 ] <原式<....

　跳下一行寫 2 [(10000)^1/2  - 1 ] <2 [(10001)^1/2  - 1 ] <原式

　多增寫的下界 "2 [(10000)^1/2  - 1 ]" 只是為了方便開根號。

^_____^

喔喔!!(豁然開朗的感覺....)
謝謝瑋岳老師的指教，不知道為什麼最近眼殘的非常嚴重，再次感謝您的指導。

第一次估計，k=1，
2*( sqr(1000001) - sqr(1) ) < S < 2*( sqr(1000000) - sqr(0) )
1998.001 <  S  < 2000  不確定S整數部份為1998 或 1999
再進一步估計，k=2
2*( sqr(1000001) - sqr(2) ) +1 < S < 2*( sqr(1000000) - sqr(1) ) + 1
1997.173 +1 < S < 1998 +1
1998.173  < S < 1999   ....確定整數部份為 1998 ，結束。
應該就是 #4 所說，誤差變小了，可以估計更精確(取到整數)。(估計1時，範圍太大，取不到較精確範圍)