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108彰化女中

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彰化女中 試題及解答

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2019-4-27 22:05, 下載次數: 738

108彰化女中答案.pdf (180.49 KB)

2019-4-27 22:05, 下載次數: 577

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填充題
2.
\(n\)為正整數,已知\(2^2+2^n+2^{10}\)為完全平方數,\(n\)的最大值與最小值之和為   

試求所有的正整數\(n\)使得\( x=2^8+2^{11}+2^n \)為一完全平方數。
(2006TRML團體賽,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=968&page=1#pid2218)


3.
設有\(A\)、\(B\)兩支大瓶子,開始時,\(A\)瓶裝有\(\displaystyle \frac{2}{3}\)公升的純酒精,\(B\)瓶裝有\(\displaystyle \frac{1}{3}\)公升的礦泉水。每一輪操作都是先將\(A\)瓶的溶液倒出一半到\(B\)瓶,然後再將\(B\)瓶的溶液倒出一半回\(A\)瓶(不考慮酒精與水混合後體積的縮小)。在第三輪操作後,\(A\)瓶的溶液中有   %的酒精。

設有\(A\)、\(B\)兩支大瓶子,開始時,\(A\)瓶裝有\(a\)公升的純酒精,\(B\)瓶裝有\(b\)公升的礦泉水。每一輪操作都是先將\(A\)瓶的溶液倒出一半到\(B\)瓶,然後再將\(B\)瓶的溶液倒出一半回\(A\)瓶(不考慮酒精與水混合後體積的縮小)。設\(n\)輪操作後,\(A\)瓶有\(a_n\)公升的溶液,\(B\)瓶有\(b_n\)公升的溶液。已知二階方陣\(\left[ \matrix{a_{11}&a_{12} \cr a_{21}&a_{22}} \right]\)滿足\( \left[\matrix{a_n \cr b_n} \right]=\left[ \matrix{a_{11}&a_{12} \cr a_{21}&a_{22}} \right]^n \left[ \matrix{a \cr b} \right] \)。
(1)求二階方陣\(\left[ \matrix{a_{11}&a_{12} \cr a_{21}&a_{22}} \right]\)。
(2)當\(\displaystyle a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3}\)時,求\(a_{100}\)及\(b_{100}\)。
(3)當\(\displaystyle a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3}\)時,在第二輪操作後,\(A\)瓶的溶液中有百分之多少的酒精?
(98指考數學乙,https://www.google.com/search?q= ... chrome&ie=UTF-8)

5.
如圖所示,\(PQRS\)為一給定的矩形,長\(\overline{PQ}=14,\overline{QR}=6\),而\(\Delta ABC\)為等腰三角形,其中\(\overline{AB}=\overline{AC}\),\(P\)、\(Q\)在\(\overline{BC}\)邊上,\(R\)、\(S\)分別在\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)邊上,求\(\Delta ABC\)面積的最小值=   

如圖所示,\(PQRS\)為一給定的矩形,長\(\overline{PQ}=12,\overline{QR}=5\),而\(\Delta ABC\)為等腰三角形,其中\(\overline{AB}=\overline{AC}\),\(P\)、\(Q\)在\(\overline{BC}\)邊上,\(R\)、\(S\)分別在\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)邊上,則當\(\Delta ABC\)中\(\overline{BC}\)邊上的高為   時,\(\Delta ABC\)的面積為最小。
(100指考數學甲,https://www.google.com/search?q= ... chrome&ie=UTF-8)

6.
將一枚均勻的硬幣丟擲\(n\)次,在丟擲過程中,正面第一次出現時可得獎金100元,正面第二次出現時可再得獎金200元,正面第三次出現時可再得獎金300元,以此類推。則丟擲\(n\)次的獎金期望值為   元。(以\(n\)表示)

將一枚均勻的硬幣丟擲10次,在丟擲過程中,正面第一次出現時可得獎金100元,正面第二次出現時可再得獎金200元,正面第三次出現時可再得獎金300元,以此類推。則:
(1)得到獎金2800元的機率為   
(2)丟擲10次的獎金的期望值為   元。
(103彰化女中段考試題)

已知丟某枚銅板,其出現正面的機率為\(p\),出現反面的機率為\((1-p)\),將此枚銅板丟擲\(n\)次,在丟擲過程中,正面第一次出現時,可得獎金1元﹐正面第二次出現時﹐可再得獎金2元,正面第三次出現時,可再得獎金 3 元,以此類推。試問下列哪些選項是正確的?
(1)若\(n\)次丟擲中出現正面\(k\)次,總共得到獎金\(\displaystyle \frac{1}{2}(k^2-k)\)元
(2) 丟擲銅板第二次之後,累計得獎金1元的機率為\(2(p-p^2)\)
(3) 總共得到獎金2元的機率為\(\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}p^2(1-p)^{n-2}\)
(4) 總共得到獎金\(\displaystyle \frac{1}{2}(n^2-n)\)元的機率為\(n(p^{n-1}-p^n)\)
(98指考數學甲,https://www.google.com/search?q= ... chrome&ie=UTF-8)

7.
在空間直角坐標系中有一點\(A(5,2\sqrt{6},7)\)。\(xy\)平面上有一圓\(C\),其圓心為原點\(O\)、半徑為\(\sqrt{2}\),\(P\)為圓\(C\)上的點且向量\(\vec{OA}\)與向量\(\vec{OP}\)所圍三角形面積為整數,則這樣的\(P\)點有   個。

在空間直角坐標系中有一點\(A(3,4,5)\)。\(xy\)平面上有一圓\(C\),其圓心為原點\(O\)、半徑為\(\sqrt{2}\),\(P\)為圓\(C\)上的點且向量\(\vec{OA}\)與向量\(\vec{OP}\)所圍三角形面積為整數,則這樣的\(P\)點有   個。
(1)4 (2)6 (3)8 (4)10 (5)12
(105模擬考數學甲,http://affairs.ymhs.tyc.edu.tw/m ... E7%94%B21060405.pdf)

8.
函數\(f(x)=x^2-\sqrt{2}x\)與\(g(x)=-x^2-1\)的圖形有兩條公切線且可得到四個切點,則此四個切點組成的四邊形周長為   

函數\(f(x)=x^2-2ax\)與\(g(x)=-x^2-1\)的圖形有兩條公切線且可得到四個切點,若此四個切點組成的四邊形周長為6,求實數\(a\)的值。
(103高中數學能力競賽,http://pisa.math.ntnu.edu.tw/fil ... s_writtenexam_1.pdf)

計算證明題
2.
設相異三平面\( E_1 \):\( a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \),\( E_2 \):\( a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \),\( E_3 \):\( a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \)
兩兩相交於一直線且三交線互相平行,令
\( \Delta=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & c_1 \cr a_2 & b_2 & c_2 \cr a_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \),\( \Delta_x=\Bigg\vert\; \matrix{d_1 & a_1 & c_1 \cr d_2 & b_2 & c_2 \cr d_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \),\( \Delta_y=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & d_1 & c_1 \cr a_2 & d_2 & c_2 \cr a_3 & d_3 & c_3} \Bigg\vert\; \),\( \Delta_z=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & d_1 \cr a_2 & b_2 & d_2 \cr a_3 & b_3 & d_3} \Bigg\vert\; \),
請證明:\( \Delta=0\)且\(\Delta_x,\Delta_y,\Delta_z \)至少一個不為0

三平面兩兩相交一直線,且三直線平行,證明\(\Delta=0\),\(\Delta x,\Delta y,\Delta z\)至少有一個不為0
(102武陵高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1604&page=1#pid8139)

4.
證明:\(\displaystyle 87<\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2019}}<89\)
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

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2019-5-2 04:09, 下載次數: 65

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填充10

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2019-4-28 15:32

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想請教第六題的題目

想請教各位老師第六題,
看了指考題後還是不知道期望值應該怎麼算,
希望老師們給一點方向,感謝!

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填充6

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2019-4-29 19:38

1654.jpg

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請教填充第二題,用TRML2006做法,應該做不出來,請高手指教,謝謝

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回復 6# arend 的帖子

若 \(n=1\),\(2^{2}+2+2^{10}=1030\) 非完全平方
若 \(n=2\),\(2^{2}+2^{2}+2^{10}=1032\) 非完全平方
若 \(n=3\),\(2^{2}+2^{3}+2^{10}=1036\) 非完全平方
若 \(n\geq 4\),\(2^{2}+2^{n}+2^{10}=2^{2}(1+2^{n-2}+2^{8})\)
因此 \(1+2^{n-2}+2^{8}\) 為完全平方數,且為奇數
設 \(1+2^{n-2}+2^{8}=(1+2k)^{2}\),展開得 \(2^{n-2}+2^{8}=4k+4k^{2}\)
因為 \(n\geq 4\),所以 \(2^{n-4}+2^{6}=k+k^{2}=k(k+1)\)
即 \(2^{n-4}+2^{6}\) 為兩相鄰整數相乘
1. 若 \(n-4 \geq 6\),\(2^{n-4}+2^{6}=2^{6}(2^{n-10}+1)\),得 \(n-10=6\),\(n=16\)
2.若 \(n-4 < 6\),\(2^{n-4}+2^{6}=2^{n-4}(1+2^{10-n})\),得 \(n-4=10-n\),\(n=7\)
所以 最大值為 \(16\),最小值為 \(7\)

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謝謝你,感激

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回復 7# czk0622 的帖子

我倒是沒考慮到n=1~3
方法類似,但是因為數字都是2的次方
我分成
1:2^10+2^n+4=(2^5+2)^2=2^10+2^7+4
n=7
2:令2^n=b^2
b^2+2^10+4=(b+2)^2=b^2+4b+4
n/2=10-2=8
n=16

所以得到n=16;7兩根

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回復 3# peter0210 的帖子

請問算式中的 \(x\) 是指什麼?

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