彰化女中 試題及解答

填充題
2.
n為正整數，已知22+2n+210為完全平方數，n的最大值與最小值之和為　　　。

試求所有的正整數n使得x=28+211+2n為一完全平方數。
(2006TRML團體賽，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=968&page=1#pid2218)


3.
設有A、B兩支大瓶子，開始時，A瓶裝有32公升的純酒精，B瓶裝有31公升的礦泉水。每一輪操作都是先將A瓶的溶液倒出一半到B瓶，然後再將B瓶的溶液倒出一半回A瓶(不考慮酒精與水混合後體積的縮小)。在第三輪操作後，A瓶的溶液中有　　　%的酒精。

設有A、B兩支大瓶子，開始時，A瓶裝有a公升的純酒精，B瓶裝有b公升的礦泉水。每一輪操作都是先將A瓶的溶液倒出一半到B瓶，然後再將B瓶的溶液倒出一半回A瓶（不考慮酒精與水混合後體積的縮小）。設n輪操作後，A瓶有an公升的溶液，B瓶有bn公升的溶液。已知二階方陣a11a21a12a22 滿足anbn=a11a21a12a22nab 。
(1)求二階方陣a11a21a12a22 。
(2)當a=32b=31時，求a100及b100。
(3)當a=32b=31時，在第二輪操作後，A瓶的溶液中有百分之多少的酒精？
(98指考數學乙，https://www.google.com/search?q= ... chrome&ie=UTF-8)

5.
如圖所示，PQRS為一給定的矩形，長PQ=14QR=6，而ABC為等腰三角形，其中AB=AC，P、Q在BC邊上，R、S分別在CA、AB邊上，求ABC面積的最小值=　　　。

如圖所示，PQRS為一給定的矩形，長PQ=12QR=5，而ABC為等腰三角形，其中AB=AC，P、Q在BC邊上，R、S分別在CA、AB邊上，則當ABC中BC邊上的高為　　　時，\Delta ABC的面積為最小。
(100指考數學甲，https://www.google.com/search?q= ... chrome&ie=UTF-8)

6.
將一枚均勻的硬幣丟擲n次，在丟擲過程中，正面第一次出現時可得獎金100元，正面第二次出現時可再得獎金200元，正面第三次出現時可再得獎金300元，以此類推。則丟擲n次的獎金期望值為　　　元。(以n表示)

將一枚均勻的硬幣丟擲10次，在丟擲過程中，正面第一次出現時可得獎金100元，正面第二次出現時可再得獎金200元，正面第三次出現時可再得獎金300元，以此類推。則：
(1)得到獎金2800元的機率為　　　。
(2)丟擲10次的獎金的期望值為　　　元。
(103彰化女中段考試題)

已知丟某枚銅板，其出現正面的機率為p，出現反面的機率為(1-p)，將此枚銅板丟擲n次，在丟擲過程中，正面第一次出現時，可得獎金1元﹐正面第二次出現時﹐可再得獎金2元，正面第三次出現時，可再得獎金 3 元，以此類推。試問下列哪些選項是正確的？
(1)若n次丟擲中出現正面k次，總共得到獎金\displaystyle \frac{1}{2}(k^2-k)元
(2) 丟擲銅板第二次之後，累計得獎金1元的機率為2(p-p^2)
(3) 總共得到獎金2元的機率為\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}p^2(1-p)^{n-2}
(4) 總共得到獎金\displaystyle \frac{1}{2}(n^2-n)元的機率為n(p^{n-1}-p^n)
(98指考數學甲，https://www.google.com/search?q= ... chrome&ie=UTF-8)

7.
在空間直角坐標系中有一點A(5,2\sqrt{6},7)。xy平面上有一圓C，其圓心為原點O、半徑為\sqrt{2}，P為圓C上的點且向量\vec{OA}與向量\vec{OP}所圍三角形面積為整數，則這樣的P點有　　　個。

在空間直角坐標系中有一點A(3,4,5)。xy平面上有一圓C，其圓心為原點O、半徑為\sqrt{2}，P為圓C上的點且向量\vec{OA}與向量\vec{OP}所圍三角形面積為整數，則這樣的P點有　　　個。
(1)4　(2)6　(3)8　(4)10　(5)12
(105模擬考數學甲，http://affairs.ymhs.tyc.edu.tw/m ... E7%94%B21060405.pdf)

8.
函數f(x)=x^2-\sqrt{2}x與g(x)=-x^2-1的圖形有兩條公切線且可得到四個切點，則此四個切點組成的四邊形周長為　　　。

函數f(x)=x^2-2ax與g(x)=-x^2-1的圖形有兩條公切線且可得到四個切點，若此四個切點組成的四邊形周長為6，求實數a的值。
(103高中數學能力競賽，http://pisa.math.ntnu.edu.tw/fil ... s_writtenexam_1.pdf)

計算證明題
2.
設相異三平面 E_1 ： a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 ， E_2 ： a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 ， E_3 ： a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3
兩兩相交於一直線且三交線互相平行，令
\Delta=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & c_1 \cr a_2 & b_2 & c_2 \cr a_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; ， \Delta_x=\Bigg\vert\; \matrix{d_1 & a_1 & c_1 \cr d_2 & b_2 & c_2 \cr d_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; ， \Delta_y=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & d_1 & c_1 \cr a_2 & d_2 & c_2 \cr a_3 & d_3 & c_3} \Bigg\vert\; ， \Delta_z=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & d_1 \cr a_2 & b_2 & d_2 \cr a_3 & b_3 & d_3} \Bigg\vert\; ，
請證明： \Delta=0且\Delta_x,\Delta_y,\Delta_z 至少一個不為0

三平面兩兩相交一直線，且三直線平行，證明\Delta=0，\Delta x,\Delta y,\Delta z至少有一個不為0
(102武陵高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1604&page=1#pid8139)

4.
證明：\displaystyle 87<\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2019}}<89
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

填充10

想請教各位老師第六題，
看了指考題後還是不知道期望值應該怎麼算，
希望老師們給一點方向，感謝！

填充6

請教填充第二題，用TRML2006做法，應該做不出來，請高手指教，謝謝

若 n=1，2^{2}+2+2^{10}=1030 非完全平方
若 n=2，2^{2}+2^{2}+2^{10}=1032 非完全平方
若 n=3，2^{2}+2^{3}+2^{10}=1036 非完全平方
若 n\geq 4，2^{2}+2^{n}+2^{10}=2^{2}(1+2^{n-2}+2^{8})
因此 1+2^{n-2}+2^{8} 為完全平方數，且為奇數
設 1+2^{n-2}+2^{8}=(1+2k)^{2}，展開得 2^{n-2}+2^{8}=4k+4k^{2}
因為 n\geq 4，所以 2^{n-4}+2^{6}=k+k^{2}=k(k+1)
即 2^{n-4}+2^{6} 為兩相鄰整數相乘
1. 若 n-4 \geq 6，2^{n-4}+2^{6}=2^{6}(2^{n-10}+1)，得 n-10=6，n=16
2.若 n-4 < 6，2^{n-4}+2^{6}=2^{n-4}(1+2^{10-n})，得 n-4=10-n，n=7
所以 最大值為 16，最小值為 7

謝謝你，感激

我倒是沒考慮到n=1~3
方法類似，但是因為數字都是2的次方
我分成
1：
2^{10}+2^n+4=(2^5+2)^2=2^{10}+2^7+4
n=7
2：
令2^n=b^2
b^2+2^{10}+4=(b+2)^2=b^2+4b+4
\displaystyle \frac{n}{2}=10-2=8
n=16

所以得到n=16；7兩根

請問算式中的 x 是指什麼?