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62-81大學聯考試題

本主題由 weiye 於 2018-8-25 21:12 設置高亮
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62-81大學聯考試題

檔案大到無法上傳到math pro(20.2mb),所以放在dropbox

h ttps://dl.dropboxusercontent.com/u/23455489/%E5%85%AC%E9%96%8B%E4%B8%8B%E8%BC%89%E7%9A%84%E6%AA%94%E6%A1%88/62-81%E5%A4%A7%E5%AD%B8%E8%81%AF%E8%80%83%E8%A9%A6%E9%A1%8C.zip
連結失效


註:2016.01.30 11:13 weiye 另上傳置於 math.pro 網站 https://math.pro/temp/62-81_univ ... am_math_subject.zip
  2016.01.30 23:16 壓縮檔中加入 dream10 的檔案,並重新上傳於 math.pro 中。

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原來很多教甄試題就是以前大學聯考的題目,在這列舉幾題出來

在\(\Delta ABC\)的三邊\(\overline{BC}\),\(\overline{CA}\)及\(\overline{AB}\)上分別取點\(D,E,F\),使\(\overline{BD}=\overline{DC}\),\(\overline{CE}=2\overline{EA}\),\(\overline{AF}=3\overline{FB}\)。設三直線\(\overline{AD},\overline{BE},\overline{CF}\)所圍成三角形的面積為\(\delta\),而\(\Delta ABC\)的面積為\(\Delta\)。求\(\displaystyle \frac{\delta}{\Delta}=\)?
(69大學聯考試題)

試證明:對於一切自然數\(n\),\(\displaystyle 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)恆成立。再計算\(\displaystyle \Bigg[\; \sum_{n=1}^{10000} \frac{1}{\sqrt{n}} \Bigg]\;\),此處高斯符號\( [\;x ]\; \)表示正實數\(x\)的"整數部分"。
(71大學聯考試題)

這裡有滿滿的考古題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048


如果\(\alpha,\beta,\gamma\)滿足\(cos \alpha+cos \beta+cos \gamma=0\)且\(sin \alpha+sin \beta+sin \gamma=0\),試證明:\(cos 2\alpha+cos 2\beta+cos 2\gamma=0\)且\(sin2 \alpha+sin 2\beta+sin 2\gamma=0\)
(71大學聯考試題)


設\( \displaystyle S_n=\sum_{k=2}^{n} log_2 \Bigg[\; cos \frac{\pi}{2^k} \Bigg]\; \),求證\(-1<S_n<0\)。
(72大學聯考試題)


試證\( \displaystyle \frac{ln(n+1)}{n+1}<\frac{ln n}{n} \)對所有大於2之自然數\(n\)均成立。
(78大學聯考試題)

證明\( \pi^{e}<e^{\pi} \)。


設\(A\)、\(B\)二箱中,\(A\)箱內有兩球,一黑一白,\(B\)箱內有一白球。甲乙二人輪流取球,每次先由甲自\(A\)箱內任取一球,放入\(B\)箱內,再由乙自\(B\)箱內任取一球,放入\(A\)箱內,這樣稱為一局。那麼當第一局結束時,\(A\)箱內兩球為一黑一白之機率為  。當第三局結束時,\(A\)箱內兩球為一黑一白之機率為   
(81大學聯考試題)


105.4.26補充
將\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)等\(n\)個數的算術平均數記為\(a_n\),其標準差記為\(b_n\),則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\)   ,\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\)   
(81大學聯考試題)
[解答]
算術平均數\( \displaystyle =\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\ldots+\frac{n}{n} \right)=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n} \)
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2} \)

標準差\( \displaystyle =\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k-1}^n x_i^2-\overline{x}^2} \)
\( \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k-1}^n x_i^2=\frac{1}{n}\left[ \left(\frac{1}{n}\right)^2+\left(\frac{2}{n}\right)^2+\ldots+\left(\frac{n}{n}\right)^2 \right]=\frac{1}{n^3}\left[1^2+2^2+\ldots+n^2 \right]=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} \)
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}-\left( \frac{n+1}{2n} \right)^2}=\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n^2-1}{12n^2}}=\frac{\sqrt{3}}{6} \)

\(a_n\)為\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)這\(n\)個數的標準差,求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n\)之值   
(105台南女中,https://math.pro/db/thread-2488-1-1.html)


\( \overline{P_0 P_3} \)為半圓之直徑,\(P_1,P_2\)為半圓周上兩點。令\(a=\overline{P_0 P_1}\),\(b=\overline{P_1 P_2}\),\(c=\overline{P_2 P_3}\),\(d=\overline{P_3 P_0}\)。試證\(d\)為方程式\(x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0\)之一根。
(81大學聯考試題)

\( \overline{AD} \)為半圓的直徑,且\( \overline{AB}=2 \)、\( \overline{BC}=7 \)、\( \overline{CD}=11 \),則\( \overline{AD}= \)?
(102松山工農,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=2#pid8874)

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請教一題大學聯考計算題

(出處: 1998 年,自然組)  

設 a > 0,O (0,0) 為原點。在拋物線 ay = a² - x² 上取一點 P(s , t),s > 0。過 P 點作拋物線之切線,交 x軸, y軸於 Q,R 兩點。當 P 點變動時,△OQR 面積的最小值為何?   答案: (4√3/9)a²

請教若要指導高中生解此題,各位高明會採取何種方法? 謝謝!

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回復 1# cefepime 的帖子

小弟作法是求出過P點的切線方程式,再求出此切線與兩坐標軸交點,就可列出三角形面積的關係式,再用算幾或微分求出極值
PS:小弟才疏學淺,只能提供平民式作法

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感謝 eyeready 老師提供的高見。


先求切線 (可考慮: 切點微分,切點代一半公式,斜率公式) → 截距 → 目標函數 → 微分或算幾不等式求最小值。

這個標準的方法計算量稍大 (以考試時間與對象而言),所以思及命題者是否另有用意。


自己琢磨一個方法,只是不知道此法在計算題是否可得分:

依題意, ay = a² - x² P 點與 xy = k (k > 0) 相切,所求 = 2k。

⇒  a² - x² = ak/x 有(正)重根 (或者用切點代一半公式於兩曲線,再比較係數)

⇒  x³ - a²x + ak = 0 有(正)重根

⇒  x³ - a²x + ak = 0 3x² - a² = 0 有(正)公根 (或者把上式設為 (x-b)²(x-c),再比較係數)

此公根 x = a /√3,代回得 y = 2a /3

所求 = 2*(a /√3)*(2a /3) = (4√3/9)a²


請教此法是否適當,或另有其它作法,謝謝!

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感謝cefeprime提供如此有創意的解法,但小弟愚頓,想請問為何要找xy=k,而不找其它曲線呢?又為何相切時與三角形面積最小會有關係呢?如果能加以說明論述應該就沒問題了!

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請參考想法

謝謝eyeready 及cafepime兩位老師提供的作法!

小弟直接解發現其實P(s,t)和X軸和Y軸其實是在第一象限圍成最小三角形

所以s>0,t>0 接著利用切線就題意解 發現絕對值裡面的東西 可以用算己不等式

請參閱附件  在圖形上m的斜率其實是負的  所以這才保證最後的三個部分是正的可以用算幾

算出來最小值是(4s^(2)t^(2))^(1/3)*(3/2) 讓這三個部分相等在計算上會很複雜,但是由算己的結論

可以推知cafepime大用xy=k去解釋很聰明的想法!

請參閱想法!

附件

IMAG2088.jpg (456.93 KB)

2016-7-23 01:13

IMAG2088.jpg

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剛發現本題曾在 101屏東女中 考過 (第8題)

https://math.pro/db/thread-1386-1-9.html


(續 3#)  該方法的構思如下:

類似於若題目求 2x - y 與 x² + y² 的最小值,則我們會分別考慮 2x - y 與 x² + y² 為定值的圖形,再分析該定值變動時的圖形變化一樣 --

依題意,先考慮一個問題: 在第一象限與 x, y 軸所圍三角形面積為定值 c 的所有直線集合為何?

→ 不難想到 (與證明) 其即為 xy = c/2 在第一象限支的所有切線集合 (x, y 軸為雙曲線 xy = c/2 的漸近線)

→ 考慮 xy = c/2 的圖形變化,將 c 由 0 附近遞增,即知當 △OQR 面積有最小值時,該拋物線在 P 點與 xy = c/2 相切

→ 以下如原帖 (3#) 所述  


( 我以前用的圖床不能用了,請教如何把個人電腦裡"小畫家"的檔案直接上傳? )

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-7-24 08:35 AM 編輯 ]

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謝謝版主的回覆!

我也是如此嘗試,但總出現以下畫面:

http://imgur.com/a/4C15C

(圖檔不大, png)


請教是否權限不足?

謝謝版主熱心幫助 (敬禮!!)


我用你的png檔可以可以上傳成功,還是你將來放在imgur,我會幫你上傳到math pro

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-7-23 06:41 PM 編輯 ]

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請教一題1974年聯考題

題目與答案來源是 bugmens 老師提供的連結 https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html

(選擇題) 設 f(x) = (x¹⁵+1)(x+1) / (x+1)(x³+1),則 (A)  f(x) 不是多項式  (B) ...

針對(A)選項,我的想法是: 雖然 f(x) 可以"約分"成多項式型態,但 f(x) 在 x = -1 處無定義,與"約分"後之多項式不同,故(A)是對的。

但答案(A)是錯的,並認為 f(x) = "約分"後之多項式。

請教是否我的觀念有誤,謝謝!

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