以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 52分
1名正式教師，取8名參加複試
68,65,63,53,52,52,52,52

其他，
51分     2人
40~49分 17人
30~39分 39人
20~29分 46人
10~19分 51人
  0~ 9分 26人
缺考     6人

共計 195 人
(准考證號碼從1001030151~1001030180無資料)

h ttp://140.120.84.1/01news/new_01_main.php?bull_id=1948&cate_id=203　連結已失效
發布單位： 教務處
發布日期： 2011-05-16
公告主旨：重新公告數學科及音樂科初試成績。
公告說明：
一、依據本校100年5月16日受理成績復查結果辦理。
二、數學科：100103029成績複查後初試成績修正為52分。
三、音樂科：選擇題第15題經命題、閱卷委員等研商、考究相關文獻後，議定：選擇答案B或答案C，視為正確答案均給分，並全面啟動重新閱卷後，重新公告初試成績。
四、詳請參閱附加檔案。

4.
74+2634+26154+26114+26234+26194+26314+26274+26394+26354+26474+26434+26
[提示]
n4+424=[(n−2)2+22][(n+2)2+22]

Compute (44+324)(164+324)(284+324)(404+324)(524+324)(104+324)(224+324)(344+324)(464+324)(584+324).
(1987AIME)
這裡還有類似的題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840



6.
若從1,2,...,13中任選出相異三數xyz，且xyz，則y−x3且z−y3成立之機率為
[解答]
a=13−z0
b=x−10
c=y−x−30
d=z−y−30
四式相加得
a+b+c+d=6
求非負整數解的個數有H64種

滿足1abcd8的整數解(abcd)共有幾組？
(95新竹高商)
x1=a−10
x2=b−a0
x3=c−b−10
x4=d−c0
x5=8−d0
五式相加得
x1+x2+x3+x4+x5=6
求非負整數解的個數有H65種



9.
332−1=3a+3b+3c ，其中abcQ。求a+b+c=？
(92高中數學能力競賽，高中數學101　P25)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840



12.
sin+cos=a，cos+sin=b，求sin(−)？(以ab表示)

If sinx+cosy=a and cosx+siny=b. Find the value of tan(2x−y) in terms of a and b.
http://www.artofproblemsolving.c ... ?f=150&t=356363

已知 \displaystyle sin \alpha+cos \beta=\frac{3}{5} ， cos \alpha+sin \beta=\frac{4}{5} 。求 cos \alpha sin \beta 的值？
(96家齊女中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23930)
(99屏東女中，https://math.pro/db/thread-976-1-1.html)




13.
4個A、4個B、4個C排成一列，第1到第4位置稱為Ⅰ區，第5到第8位置稱為Ⅱ區，第9到第12位置稱為Ⅲ區，若A不在Ⅰ區，B不在Ⅱ區，C不在Ⅲ區的排列方法有幾種？
https://math.pro/db/thread-454-1-1.html

第六題
若從1,2,\ldots,13中任選出相異三數x、y、z，且x<y<z，則y-x\ge 3且z-y\ge 3成立之機率為　　　。
[解答]
意思是x,y至少差2；y,z也至少差2
那麼x,y和y,z之間先各塞兩個數，還剩下13-3-4=6個數，可以放在x前面、x,y之間、y,z之間和z後面四個地方
所以是\displaystyle H_6^4

第三題是怎樣??這種東西要記???我只知道上限是兩人，其他什麼單位??

第二題，我指導的學生，可是他這篇是物理的!!!!
我們學校，唉，好資值的學生都被先被其他科搶走，感嘆!!!!!!!!

計算證明一
設f(x)=cos x+sin(\sqrt{3}x)，試證：f(x)不是週期函數。
[解答]
\displaystyle \cos{x} 的週期是\displaystyle 2\pi
\displaystyle \sin{\sqrt{3}x} 的週期是\displaystyle \frac{2\pi}{\sqrt3}
假設f(x)是週期函數，其週期為p
那麼存在正整數m,n，使得
\displaystyle p=m \times 2\pi , p=n \times \frac{2\pi}{\sqrt3}
兩式相除得到\displaystyle \sqrt3=\frac{n}{m}
那麼\displaystyle \sqrt3 為有理數，與已知矛盾，
故f(x)不是週期函數

113.5.11補充
定理1.
設f(t)=A_1 cos(\omega_1 t)+B_1 sin(\omega_1 t)+\ldots+A_n cos(\omega_n t)+B_n sin(\omega_n t),
其中A_1,\ldots,A_n,B_1,\ldots,B_n是實數，滿足A_1^2+B_1^2\ne 0,\ldots,A_n^2+B_n^2\ne 0,而\omega_1,\ldots,\omega_n為互異的正數。則
(i)f(t)是週期函數當且僅當對任意的i\ne j有\displaystyle \frac{\omega_j}{\omega_i}是有理數。
(ii)當f(t)為週期函數時，f(t)的最小正週期是\displaystyle T_i=\frac{2\pi}{\omega_i}(i=1,\ldots,n)的最小公倍數。
數學傳播第48卷第1期
(三角多項式的週期：對47年前本刊創刊號一問題之回響，https://www.math.sinica.edu.tw/2 ... 5-a465-25ca264467a0)

計算證明二
對任意正整數n，設a_n是方程\displaystyle x^3+\frac{x}{n}=1的正實數根，求證：(1)a_{n+1}>a_n　(2)\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{(i+1)^2a_i}<1。
[解答]
(1)
顯然所有 a_n 在(0,1)之間
\displaystyle a_{n+1}^3+\frac{a_{n+1}}{n+1}=1
\displaystyle a_{n}^3+\frac{a_{n}}{n}=1
兩式相減
\displaystyle (a_{n+1}^3-a_{n}^3)+\frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_{n}}{n}=0
\displaystyle (a_{n+1}^3-a_{n}^3)+\frac{a_{n+1}}{n}-\frac{a_{n}}{n}=\frac{a_{n+1}}{n}-\frac{a_{n+1}}{n+1}>0
\displaystyle (a_{n+1}-a_{n})(a_{n+1}^2+a_{n+1}a_{n}+a_{n}^2+\frac{1}{n})>0
後項為正，故
\displaystyle a_{n+1}-a_{n}>0

(2)
實在找不到如何用第一小題來證，還是說其實我的第一小題不該這樣證。
看起來像積分，但是找不到，只好硬作。

先證明
\displaystyle a_{k}>\frac{k}{k+1}
就以 x=\frac{k}{k+1} 代入 x^3+\frac{x}{k}-1
\displaystyle \frac{k^3}{(k+1)^3}+\frac{1}{k+1}-1
只算分子部分
\displaystyle k^3+(k+1)^2-(k+1)^3=-2k^2-k<0
故成立

接著就有
\displaystyle \frac{1}{(i+1)^2 a_{i}}<\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}
所求就為
\displaystyle 1-\frac{1}{n+1}<1

引用:

原帖由 老王 於 2011-5-15 11:25 PM 發表
計算證明二
(1)
顯然所有 a_n 在(0,1)之間
\displaystyle a_{n+1}^3+\frac{a_{n+1}}{n+1}=1
\displaystyle a_{n}^3+\frac{a_{n}}{n}=1
兩式相減...

(1)我會用圖解來證

考慮
y=x^3-1與\displaystyle y=-\frac{x}{n}的交點的x坐標a_n
由圖知只有唯一一個交點, 且0<a_n<1
當n增加, 直線斜率\displaystyle -\frac{1}{n}遞增, 與y=x^3-1的交點x坐標a_n就遞增

請問一下填充第5題跟第10題

填充第 10 題
一矩ABCD的周長為8，E為\overline{CD}的中點，一圓C過A、B兩點與\overline{CD}相切於E(如下圖)，求圓C半徑的最小值為　　　。
[解答]

設圓半徑為 r　，令如圖中的角度為 \theta,



則 \overline{AD}=r+r\sin\theta, \overline{CD}=2r\cos\theta

已知 r+r\sin\theta+2r\cos\theta=4

\Rightarrow r\sin\theta+2r\cos\theta=4-r

所以 \left|4-r\right|\leq \sqrt{r^2+\left(2r\right)^2}

解得 r\geq-1+\sqrt{5} 或 r\leq-1-\sqrt{5}

且因為 r 為半徑，所以 r>0.

故，r\geq-1+\sqrt{5}.

亦即 r 的最小值為 -1+\sqrt{5}.

填充題第 5 題
空間中有三點A(-1,1,3)、B(3,1,5)、P(4,-1,-4)，若球面S過A、B兩點且球心在平面E：5x-2y+5z-14=0上，則滿足此條件的球面S有無限多個，其中半徑最小的球面方程式為　　　。
[解答]

球心必過 \overline{AB} 的垂直平分面，

先寫出 \overline{AB} 的垂直平分面為 2\cdot(x-1)+0\cdot(y-1)+1\cdot(z-4)=0

　　　　　　　　　　　　\Rightarrow 2x+z-6=0

且依題意，球心亦在平面 E 上，

所以，可以先解出兩者的相交直線方程式的參數式，即為球心所在直線的的參數式

解兩面交線的參數式後，可設球心為 \displaystyle O(t,8-\frac{5}{2}t,6-2t)

則 \displaystyle \overline{OB}^2 = \left(t-3\right)^2+\left(8-\frac{5t}{2}-1\right)^2+\left(6-2t-5\right)^2 = \frac{45}{4}\left(t-2\right)^2+14

所以當 t=2 時，半徑最小為 \sqrt{14}，

且此時球心坐標為 (2,3,2)

故，所求球面方程式為 \left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-2\right)^2=14.

113.4.24補充
空間中有A(-1,3,2)，B(3,3,4)兩點，過A、B兩點且球心在平面E：5x-2y+5z-5=0上之球面有無限多個，則其中半徑最小之球面S的方程式為　　　。
(113大直高中，https://math.pro/db/thread-3846-1-1.html)

可否請問一下各位老師們第7  14  15

感謝；)