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例題:把 Σ 轉換成積分求近似值考題

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例題:把 Σ 轉換成積分求近似值考題

引用:
稍微指點一下...拜託了

sigma k=1~10000 k^(-1/2)

的整數部分為多少?















我也不太會畫圖,所以我畫一個如果把題目的 10000 改成 3 的圖形來給解題的人參考好了



如圖可得,綠色區域面積<藍色區域面積<黃色區域面積

然後分別把綠色跟黃色區域的面積用積分形式表示,

就是證明裡的不等式(只是要把證明裡的 10000 改成 3,把 10001 改成 4)。


另外,額外附上電腦計算結果



^______^

原題目來自:http://www.student.tw/db/showthread.php?t=93398

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試證明:對於一切自然數\(n\),\(\displaystyle 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)恆成立。再計算\(\displaystyle \Bigg[\; \sum_{n=1}^{10000} \frac{1}{\sqrt{n}} \Bigg]\;\),此處高斯符號\( [\;x ]\; \)表示正實數\(x\)的"整數部分"。
(71大學聯考試題,https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html)

[x]表不大於x的最大整數,則\( \displaystyle \Bigg[\; \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \Bigg]\; \)
(93國立大里高中,https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

求\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的整數部分。
(94全國高中數學競賽 台南區筆試一試題)

估計\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的值,下列何者正確?
(A) \( S \le 100 \) (B) \( 100<S \le 200 \) (C) \( 200<s \le 300 \) (D) \( 300<s \le 400 \)
(94台中縣高中聯招)

若\( \displaystyle x=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \),若[x]表不大於x的最大整數,則[x]=?
(96高雄中學)

若\( \displaystyle x=\sum_{k=1}^{9999} \frac{1}{\sqrt{k}} \),則x的整數部分為?
(97師大附中第一次教師甄試)

設[x]表不大於x的最大整數( \( x \in R \) ),\( \displaystyle a=\sum_{k=5}^{2008} \frac{1}{\sqrt{k}} \),試求[x]之值。
(97淡水商工)

求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}= \)?(必須寫出過程,不可僅寫簡答)
(97台南女中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47757)

求\( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{900}} \)的整數部分?
(99中一中,https://math.pro/db/thread-929-1-1.html)

\( \displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} \),求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}} \)
(99左營高中,https://math.pro/db/thread-1016-1-1.html)

若\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{120}} \),求[k]?
(100文華高中,https://math.pro/db/thread-1095-3-1.html)


\( \displaystyle S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \),則[S]=?
(100北一女,https://math.pro/db/thread-1123-1-1.html)

令\( \displaystyle s=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \),若\( \displaystyle n \le \frac{s}{10}<n+1 \),其中n為自然數,則n=?
(100台北市中正高中二招,https://math.pro/db/thread-1169-1-1.html)

若\( \displaystyle k=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}} \),求[k]=?
(100香山高中,https://math.pro/db/thread-1186-1-1.html)

令\( \displaystyle S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{729}} \),若\( [\; x ]\; \)表不大於x的最大整數,求\( [\; S ]\;= \)?
(101中正高中二招,https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html)

估計\( \displaystyle S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的值,則(1)\( S \le 100 \) (2)\( 100<S<200 \) (3)\( 200<S<300 \) (4)\( 300<S<400 \)
(101中區國中聯招)

\( [\;x ]\; \)表示不大於x的最大整數,則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \)
(101文華高中代理,https://math.pro/db/thread-1462-1-1.html)

若\( \displaystyle x=\sum_{k=1}^{2499}\frac{1}{\sqrt{k}} \),求\( x \)的整數部分。
(103高中數學能力競賽,https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html)

附上正統的解法
奧數教程高一 第9講數列求和
奧數教程高二 第3講證明不等式的常用方法和技巧(Ⅰ)
奧數教程高二 第24講高斯函數[x]

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-1-6 03:19 PM 編輯 ]

附件

奧數教程高二第24講高斯函數.gif (56.76 KB)

2011-5-8 07:47

奧數教程高二第24講高斯函數.gif

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想請教老師們奧數教程的解法中...為何要
2<=k  <=1000000
為何2不能改成1呢??是因為估計會錯誤嗎??
不然k=1也符合不等式的部份呀?!
3Q
引用:
原帖由 bugmens 於 2011-5-8 07:47 AM 發表
[x]表不大於x的最大整數,則\( \displaystyle \Bigg[\; \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \Bigg]\; \)
(93國立大里高中,https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

求...

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回復 3# natureling 的帖子

\(k=1\) 時,\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1}}=1\) 本來就是整數,

所以不用刻意去估計 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1}}\)  的範圍,

而且刻意去估計會讓誤差變大。

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老師你好!對於您的算法有幾點感到很困惑,不知道能否替我解惑
1.首先,是藍色框框與黃色框框的大小關係
藍色的一二項等於黃色的一二項,這部分沒有問題,
但是如何得知x=2之後的曲面下面積會大於之後的框框,好像光由圖形中無法證明

2.您的第三步驟2 [(10001)^1/2  - 1 ] <2 [(10000)^1/2  - 1 ] <原式
這步驟的原因為何,有沒有可能有下列的情形2 [(10001)^1/2  - 1 ] <原式<2 [(10000)^1/2  - 1 ]

麻煩老師指教了

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1. 第三塊黃色框框的最右邊的高度=第三塊藍色框框最左邊的高度=第三塊藍色框框其他地方的高度。
 因為是遞減函數,所以 第三塊黃色框框其他地方的高度都會  大於等於  第三塊黃色框框最右邊的高度。

2. 你應該看錯了,我是寫 2 [(10001)^1/2  - 1 ] <原式<....

 跳下一行寫 2 [(10000)^1/2  - 1 ] <2 [(10001)^1/2  - 1 ] <原式

 多增寫的下界 "2 [(10000)^1/2  - 1 ]" 只是為了方便開根號。

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喔喔!!(豁然開朗的感覺....)
謝謝瑋岳老師的指教,不知道為什麼最近眼殘的非常嚴重,再次感謝您的指導。

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回復 3# natureling 的帖子

第一次估計,k=1,
2*( sqr(1000001) - sqr(1) ) < S < 2*( sqr(1000000) - sqr(0) )
1998.001 <  S  < 2000  不確定S整數部份為1998 或 1999
再進一步估計,k=2
2*( sqr(1000001) - sqr(2) ) +1 < S < 2*( sqr(1000000) - sqr(1) ) + 1
1997.173 +1 < S < 1998 +1
1998.173  < S < 1999   ....確定整數部份為 1998 ,結束。
應該就是 #4 所說,誤差變小了,可以估計更精確(取到整數)。(估計1時,範圍太大,取不到較精確範圍)

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