試證明：對於一切自然數\(n\)，\(\displaystyle 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)恆成立。再計算\(\displaystyle \Bigg[\; \sum_{n=1}^{10000} \frac{1}{\sqrt{n}} \Bigg]\;\)，此處高斯符號\( [\;x ]\; \)表示正實數\(x\)的"整數部分"。
(71大學聯考試題，
https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html)
[x]表不大於x的最大整數，則\( \displaystyle \Bigg[\; \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \Bigg]\; \)
(93國立大里高中，
https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)
求\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的整數部分。
(94全國高中數學競賽 台南區筆試一試題)
估計\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的值，下列何者正確？
(A) \( S \le 100 \) (B) \( 100<S \le 200 \) (C) \( 200<s \le 300 \) (D) \( 300<s \le 400 \)
(94台中縣高中聯招)
若\( \displaystyle x=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，若[x]表不大於x的最大整數，則[x]=？
(96高雄中學)
若\( \displaystyle x=\sum_{k=1}^{9999} \frac{1}{\sqrt{k}} \)，則x的整數部分為？
(97師大附中第一次教師甄試)
設[x]表不大於x的最大整數( \( x \in R \) )，\( \displaystyle a=\sum_{k=5}^{2008} \frac{1}{\sqrt{k}} \)，試求[x]之值。
(97淡水商工)
求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}= \)？(必須寫出過程，不可僅寫簡答)
(97台南女中，
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47757)
求\( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{900}} \)的整數部分？
(99中一中，
https://math.pro/db/thread-929-1-1.html)
\( \displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}} \)
(99左營高中，
https://math.pro/db/thread-1016-1-1.html)
若\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{120}} \)，求[k]？
(100文華高中，
https://math.pro/db/thread-1095-3-1.html)
\( \displaystyle S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，則[S]=？
(100北一女，
https://math.pro/db/thread-1123-1-1.html)
令\( \displaystyle s=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，若\( \displaystyle n \le \frac{s}{10}<n+1 \)，其中n為自然數，則n=？
(100台北市中正高中二招，
https://math.pro/db/thread-1169-1-1.html)
若\( \displaystyle k=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}} \)，求[k]=？
(100香山高中，
https://math.pro/db/thread-1186-1-1.html)
令\( \displaystyle S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{729}} \)，若\( [\; x ]\; \)表不大於x的最大整數，求\( [\; S ]\;= \)？
(101中正高中二招，
https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html)
估計\( \displaystyle S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的值，則(1)\( S \le 100 \) (2)\( 100<S<200 \) (3)\( 200<S<300 \) (4)\( 300<S<400 \)
(101中區國中聯招)
\( [\;x ]\; \)表示不大於x的最大整數，則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \)
(101文華高中代理，
https://math.pro/db/thread-1462-1-1.html)
若\( \displaystyle x=\sum_{k=1}^{2499}\frac{1}{\sqrt{k}} \)，求\( x \)的整數部分。
(103高中數學能力競賽，
https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html)
證明：\(\displaystyle 87<\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2019}}<89\)
(108彰化女中，
https://math.pro/db/thread-3123-1-1.html)
設數列\(\displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\)，求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}=\)
。
(109中科實中國中部，
https://math.pro/db/thread-3347-1-1.html)
已知一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)，\(a_1=4\)，\(a_2=5\)，若\(\displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}^2-1}{a_{n-2}}\)，\(n\ge 3\)，\(n\in N\)，
(1)求此數列的一般項\(a_n\)
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}\frac{1}{\sqrt{a_n}}\)的整數部分為何？
(110台中女中，
https://math.pro/db/thread-3515-1-1.html)
附上正統的解法
奧數教程高一 第9講數列求和
奧數教程高二 第3講證明不等式的常用方法和技巧(Ⅰ)
奧數教程高二 第24講高斯函數[x]
