97高中數學競賽台中區複賽一第二題

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用0,1,2組成字串，但相鄰的三個位置不得出現"0,1,2"(按此順序)。
令\( a_n \)為滿足上述條件且長度為n的字串個數。
試求出\( a_n \)為6的倍數的充要條件。

我的解法:
先推出遞迴式\( \displaystyle a_n=3a_{n-1}-a_{n-3} \)
以及初值\( a_1=3，a_2=9，a_3=26 \)
然後有恆心有毅力去算除以6的餘數
終於找到42個一循環
依序為
3,3,2,3,0,4,3,3,5,0,
3,4,0,3,5,3,0,1,0,0,
5,3,3,4,3,0,2,3,3,1,
0,3,2,0,3,1,3,0,5,0,
0,1,3,3,2,

也就是每42個裡面的第5,10,13,17,19,20,26,31,34,38,40,41個是6的倍數

想請問是否正確?
如果是的話，那麼答案該如何寫??
不懂這裡所謂的"充要條件"意指何?或者是有別的看法
尤其是各位台中區的老師
複賽這幾題我卡了好久好久

Number of ternary (0,1,2) sequences without a consecutive '012'
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A076264
有提到a(n) = 3*a(n-1)-a(n-3)這個遞迴式，但沒看到和mod 6有關係的式子
最後的答案就硬算吧

小弟也曾試著直接去推敲，

也是發現如上文中的 \(\displaystyle a_n=\sum_{k=0}^{\left[n/3\right]} \left(-1\right)^k C^{n-2k}_{k} 3^{n-3k} \)，

然後想到分成 \(\pmod{2},\;\pmod{3}\)去討論。

1. 對於 \(\pmod{3}\) 的部分： \(\displaystyle a_n \not\equiv 0\pmod{3}\;\Leftrightarrow\;3\Big| n.\)

2. 對於 \(\pmod{2}\) 的部分： \(\displaystyle a_n\equiv\sum_{k=0}^{\left[n/3\right]}  C^{n-2k}_{k} \pmod{2} \) ，再來就沒蝦咪頭緒了。

補上整份題目和答案

感謝瑋岳老師和bugmens提供的答案
我是沒有想到要分成2和3去討論

如下圖，A、C在以O為圓心，半徑為\( \sqrt{50} \)的圓周上，若\( ∠ABC=90^o \)，\( \overline{AB}=6 \)，\( \overline{BC}=2 \)，則\( \overline{OB}= \)？
(97高中數學能力競賽台南區筆試一)
(1983AIME第4題，http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=182&cid=45&year=1983)

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求方程式\( x^2+18x+30=2 \sqrt{x^2+18x+45} \)所有實根的乘積。
(97高中數學能力競賽台南區筆試二)
(1983AIME第3題，http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=182&cid=45&year=1983)

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某綜藝節目舉辦抽獎遊戲，遊戲規則是參加者從四個門中選一個，三個是「銘謝惠顧」，一個是「進口轎車」。當選了其中一個門之後，主持人會從沒選的三個門中，隨機把一個未中獎的門打開，參加者可以決定要不要換別的門。如果參加者的策略是不管如何都一定要換，則獲得進口轎車的機率為？
(97高中數學能力競賽第二區筆試二)
蒙提霍爾問題
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E ... E%E5%95%8F%E9%A1%8C

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設函數\( y=x+4+\sqrt{5-x^2} \)之極大值為M，極小值為m。則有序數對(M,m)？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二，高中數學競賽教程P183)

2010.7.4補充
函數\( \displaystyle \sqrt{9-x^2}+\frac{4}{3}x+2 \)的最大值為何？
(A)6　(B)7　(C)8　(D)9
(99臺北縣國中聯招)　

設a,b,c為整數且a≠0。若方程式\( ax^2+bx+c=0 \)的根為有理數，試證：a,b,c中至少有一個是偶數。
(97高中數學能力競賽第二區筆試一，高中數學競賽教程P386)

設α,β都是實數，若不論α值為何，方程式\( x^4-2x^2+αx+β^2=0 \)的四個根都是實根，試證：\( \big| β \big| \le 1 \)。
(97高中數學能力競賽台北市口試試題，高中數學競賽教程P386)

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在密碼學中，對於英文，人們將26個字母按順序分別對應整數0到25(例如A對應0，B對應1，C對應2，...，Z對應25)。現有一個密碼單詞是由4個字母構成，記此4個字母由左而右對應的數值分別為\( x_1 \),\( x_2 \),\( x_3 \),\( x_4 \)。已知：整數\( x_1+2x_2 \),\( 3x_2 \),\( x_3+2x_4 \),\( 3x_4 \)除以26的餘數分別為9，16，23，12則密碼的單詞是？
(97高中數學能力競賽第一區筆試二，97師大附中第二次教師甄選試題，HOPE)

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設\( \big| x \big| \)為小於或等於x之最大整數，試解方程式\( x^2-97\big| x \big|+7=0 \)。
(97高中數學能力競賽台南區筆試一)

解\( 2x^2-11\big| x \big|+12=0 \)。
( \( \big| x \big| \)為小於等於x的最大整數，例：\( x=3.8 \)→\( \big| x \big|=3 \)；\( x=-0.4 \)→\( \big| x \big|=-1 \)；\( x=7 \)→\( \big| x \big|=7 \) )
(建中通訊解題第24期)

若是x實數，定義\( \big| x \big| \)表示小於或等於x的最大整數，試求方程式\( 2x^2-5\big| x \big|+1=0 \)的解。
(建中通訊解題第52期)

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使得\( 4^{97}+4^{2008}+4^n \)為完全平方數的最大正整數n為？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)

求最大自然數n，使得\( 4^{2009}+4^{2008}+4^n \)是完全平方數
(建中通訊解題第68期)

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已知\( x+y+z=0 \)且\( x^2+y^2+z^2=2 \)，試求\( x^4+y^4+z^4 \)的值。
(97高中數學能力競賽高屏區筆試二)
提示：使用遞迴式
\( x^{n+3}+y^{n+3}+z^{n+3}=(x+y+z)(x^{n+2}+y^{n+2}+z^{n+2})-(xy+yz+zx)(x^{n+1}+y^{n+1}+z^{n+1})+xyz(x^n+y^n+z^n) \)

3個實數x,y,z，滿足下列三個等式\(  \matrix{x+y+z=0 \cr x^3+y^3+z^3=3 \cr x^5+y^5+z^5=15} \)，試求\( x^2+y^2+z^2 \)的值？
(建中通訊解題第70期)

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設a,b,c都是正實數，若11,21,31是方程式\( \displaystyle a^{\frac{1}{x}} b^{\frac{1}{x+3}} c^{\frac{1}{x+6}}=10 \)的三個根，則\( log(abc)= \)？
(97高中數學能力競賽臺北市筆試二)
提示：可整理出x的一元三次方程式，三根為11,21,31，利用根與係數的關係求三根之和為\( log a+log b+log c-9 \)

若實數a,b,c滿足\( \displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=1 \)，則\( a+b+c \)？
(A)18　(B)24　(C)27　(D)30
(96苗栗縣國中聯招．h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=27821　連結已失效)
提示：可整理出x的一元三次方程式，三根為8,9,10，利用根與係數的關係求三根之和求\( a+b+c \)

109.5.31補充
若實數\(a,b,c\)滿足\(\displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=2\)，則\(a+b+c=\)？
(109高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3338-1-1.html)

2010.7.4補充
若實數a,b,c滿足\( \displaystyle \frac{a}{1}+\frac{b}{4}+\frac{c}{7}=\frac{a}{2}+\frac{b}{5}+\frac{c}{8}=\frac{a}{3}+\frac{b}{6}+\frac{c}{9}=1 \)，則\( a+b+c \)？
(A)13　(B)15　(C)17　(D)18
(99臺北縣國中聯招)

109.10.10補充
\(\left[\matrix{
2012\times2013&2013\times2014&2014\times2015\cr
2013\times2014&2014\times2015&2015\times2016\cr
2014\times2015&2015\times2016&2016\times2017}\right]
\left[\matrix{x\cr y\cr z}\right]=\left[\matrix{1\cr 4 \cr 9}\right]\)，求\(x+y+z\)之值。
(101彰化高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1369&page=4#pid21863)

若\(x,y,z\)滿足\(\cases{\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{y}{3+log2}+\frac{z}{3+log5}=1\cr
\frac{x}{7}+\frac{y}{7+log2}+\frac{z}{7+log5}=1\cr
\frac{x}{11}+\frac{y}{11+log2}+\frac{z}{11+log5}=1}\)，則\(x+y+z\)之值為　　　。
(107新北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2971&page=2#pid18674)
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在連續投擲一均勻銅板10次的實驗中，反面未曾連續出現2次或2次以上的機率為。
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)

投擲一公正銅板6次，在投擲過程中曾經連續出現兩次正面的機率有多少？
(97高中數學能力競賽嘉義區筆試二)

把一枚硬幣連擲次，在投擲過程中接連出現兩次正面向上的機率等於多少？
(95士林高商，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=21970)

投擲一枚公正硬幣n次，求至少連續出現兩次正面的機率。
(96學年度第2學期中山大學雙週一題第2題)
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2008s/2Q.pdf
https://math.pro/db/thread-491-1-4.html

連續投擲一枚公正的硬幣，直到出現連續兩次正面才停止投擲，並計算投擲的次數，試問：
(1)投擲到第15次才出現連續兩次正面的機率為何？
(2)平均而言為了獲得連續兩次正面的期望值投擲次數為何？
(89高中數學能力競賽高雄市筆試一)
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... aohsiungCity_01.pdf

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已知有1,\( \displaystyle \frac{1}{2} \),\( \displaystyle \frac{1}{3} \),...,\( \displaystyle \frac{1}{2008} \)共有2008數，規定「運算一次」如下：消去其中二數a,b，再加入另一數\( a+b+ab \)，經過2007這樣的運算後只剩一數，試問此數為何？
(97高中數學能力競賽高屏區口試試題)

已知有1、\( \displaystyle \frac{1}{2} \)、\( \displaystyle \frac{1}{3} \)、\( \displaystyle \frac{1}{4} \)、...、\( \displaystyle \frac{1}{2001} \)共有2001個數，規定“操作”一次如下：拿掉其中任兩數a,b後，其餘不動，再加入一數\( a+b+ab \)，經過2000次這樣的操作之後只剩一數，求此數。
(2001TRML個人賽)

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110.5.10補充
在邊長為1的正三角形ABC的邊AB,AC上分別取D,E兩點，使得沿線段DE摺三角形時，頂點A正好落在邊BC上。求符合上述條件時線段AD之長的最小值。
(97高中數學能力競賽第四區筆試一試題)

正三角形ABC的邊長為1，且D、E分別為邊AB、AC上的點。將三角形ADE沿線段DE摺疊時，頂點A恰落在邊BC上，試問在此條件下，線段AD的最小值等於多少？
(110台北市高中聯招，感謝thepiano提供出處https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3518&page=1#pid22920)


在三角形ABC中，5sinA+6cosB=7，6sinB+5cosA=4，則sinC=？
(97高中數學能力競賽第二區筆試二試題)

在三角形ABC中，已知3cosA+5sinB=6，3sinA+5cosB=-1，則sinC=？
(110新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3517-1-1.html)

四邊形\(ABCD\)是內接於一扇形的正方形，頂點\(A\)、\(D\)分別在扇形的兩半徑上，頂點\(B\)、\(C\)在扇形的弧上，而\(M\)是扇形的弧中點。設扇形的半徑為\(r\)，而圓心角\(∠AOD=\theta\)是一銳角，則正方形\(ABCD\)的面積為　　　。(以\(r\)與\(\theta\)表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二試題)

小萱從半徑為6，圓心角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)的扇形，金屬材料中剪出一個長方形\(PQRS\)，且\(\overline{PQ}\)與\(∠AOB\)的平分線\(\overline{OC}\)平行，若將長方形\(PQRS\)彎曲，使\(\overline{PQ}\)與\(\overline{RS}\)重合焊接成為圓柱的側面，則當圓柱側面的面積最小時，試求此圓柱的體積。(假設此圓柱有上下底面)
(110高雄女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3501&page=2#pid22483)

若三正數x,y,z滿足\( xyz(x+y+z)=25 \)，則\( (x+y)(y+z) \)的最小值為？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)

已知x,y,z是正数，且满足\( xyz(x+y+z)=1 \)，则\( (x+y)(x+z) \)的最小值为？
(新奧數教程高二卷第2講　平均不等式和科西不等式，高中數學101　P353)

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設n為正整數，a為大於1之實數。試解不等式
\( \displaystyle log_a x-4log_{a^2} x+12log_{a^3}x+...+n(-2)^{n-1}log_{a^n}x>\frac{1-(-2)^n}{3}log_a (x^2-a) \)
(97高中數學能力競賽第四區筆試一，1991大陸高考試題)

105.5.28補充
已知\(n\)為正偶數，求關於下列\(x\)不等式
\( \displaystyle log_2 x-4log_{2^2} x+12log_{2^3}x+...+n(-2)^{n-1}log_{2^n}x>\frac{1-(-2)^n}{3}log_2 (x^2-2) \)
的解為
(105鳳山高中，https://math.pro/db/thread-2511-1-1.html)
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將81個正實數\( a_{ij} \)( \( i,j=1,2,3,...,9 \) )排成9行9列，其中每一橫列的數均成等差數列，每一直行的數均成等比數列，且所有的公比相等。若\( a_{24}=1 \)，\( \displaystyle a_{33}=\frac{3}{8} \)，\( \displaystyle a_{42}=\frac{1}{8} \)，則\( \displaystyle \sum_{k=1}^9 a_{kk}=a_{11}+a_{22}+...+a_{99}= \)？
(97高中數學能力競賽臺北市筆試二)

\( n^2 \)个正数排成n行n列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知\( a_{24}=1 \)，\( \displaystyle a_{42}=\frac{1}{8} \)，\( \displaystyle a_{43}=\frac{3}{16} \)，求\( a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+...+a_{nn} \)
(1990大陸高中數學競賽)

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平面上有一個六邊形，其中四個邊的邊長為\( \sqrt{10} \)，而其餘兩個邊的邊長為1。若此六邊形有一個外接圓，則此圓的半徑為？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)

一圓內接六邊形的相鄰三條邊，每邊長為3，另外的相鄰三條邊，每邊長為5，若圓半徑為r，則下列何者正確？(1)\( 2 \le r < 3 \)　(2)\( 3 \le r < 4 \)　(3)\( 4 \le r < 5 \)　(4)\( 5 \le r < 6 \)　(5)\( 6 \le r < 7 \)　
(RB540.swf)

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將2008分解成一些正整數之和，使得這些正整數之乘積有最大值，求這最大值，並加以證明。
(97高中數學能力競賽台南區筆試一)
提示：
(1)若M ≡ 0(mod 3)，則\( M=3n \)，積\( 3^n \)最大。
(2)若M ≡ 1(mod 3)，則\( M=3n+1=3(n-1)+2 \cdot 2 \)，積\( 3^{n-1}\cdot 2^2 \)最大。
(3)若M ≡ 2(mod 3)，則\( M=3n+2 \)，積\( 3^n \cdot 2 \)最大。

有n個正整數，其總和為19。請問這n個數最大可能的乘積為何？
(2006澳洲AMC高級卷)

101.4.29補充
考慮正整數n的所有正整數分割，將其分割乘積的最大值定義為\( f(n) \)，
[例：\( 1+1+1+1=2+1+1=3+1=2+2=4 \)，
( \( 1 \times 1 \times 1 \times 1 \) )<( \( 2 \times 1 \times 1 \) )<( \( 3 \times 1 \) )<( \( 2 \times 2 \) )=(4)，
得\( f(4)=4 \)]。問\( f(2012) \)(以十進位表示)是幾位數。
(101台中一中，https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

101.5.13補充
Determine the greatest number, who is the product of some positive integers, and the sum of these numbers is 1976.
(1976IMO，http://www.artofproblemsolving.c ... _Problems/Problem_4)

101.5.21補充
若干個正整數之和為2012，試求它們乘積的最大值。(以指數表示，不必乘開)
(101台中二中，https://math.pro/db/thread-1367-1-1.html)

105.5.28補充
試將2017分成若干個正整數的和，且令\(x\)表每一種表示法的所有正整數乘積。
(例如：\(2017=2+5+2010\)，則\(x=2 \times 5 \times 2010=20100\))。若\(x\)的最大值為\(a\)，則試求下列各題之值：
(1)\(a\)為何？(以質因數分解表示)
(2)\(a\)為幾位數？首位數字是多少?
(105豐原高中，https://math.pro/db/thread-2518-1-1.html)

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101.5.13補充
設方程式\( x^2+(k-4)x+k=0 \)有兩個整數根，以較大的整數根為直徑作圓O，自圓O外一點作切線\( \overline{PA} \)及割線交圓於B、C，若\( \overline{PA} \)、\( \overline{PB} \)、\( \overline{PC} \)均為整數且都不是合數，則\( \overline{BC}= \)？
(97高中數學能力競賽第二區筆試二)

設a為實數，已知方程式\( x^4-2ax^2+x+a^2-a=0 \)的根都是實數，則a的範圍為？
(97高中數學能力競賽第一區筆試二)

在平面上，設\( L_1 \)、\( L_2 \)兩直線交於O點且夾角為\( \displaystyle \frac{2 \pi}{3} \)，已知一點P至直線\( L_1 \)的垂足為A點，至\( L_2 \)的垂足為B點。若\( \overline{PO}=\sqrt{6} \)，\( \overline{PA}=1 \)，則\( \overline{AB} \)的長為？
(97高中數學能力競賽第一區筆試二)

四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形，頂點A、D分別在扇形的兩半徑上，頂點B、C在扇形的弧上，而M是扇形的弧中點。設扇形的半徑為r，而圓心角\( ∠AOD=\theta \)是一銳角，則正方形ABCD的面積為？(以r與\( \theta \)表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二)

四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形，頂點A、D分別在扇形的兩半徑上，頂點B、C在扇形的弧上，其中扇形的半徑為1，圓心角為\( 60^o \)。則正方形ABCD的面積為？
(101台中女中，https://math.pro/db/thread-1327-1-1.html)

以上四題已由thepiano回答
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2800
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109.5.3補充
在一個缺角棋盤的各水平線和鉛垂線的交會點上，分別標示數字，其中的\(x_1，x_2，\ldots，x_9\)等為未知數字。今假設每一個\(x_i\)恰為其相鄰的四個數字的平均數，例如\(\displaystyle x_1=\frac{1}{4}(4+2+x_2+x_4)\)，\(\displaystyle x_5=\frac{1}{4}(x_2+x_4+x_6+x_8)\)，試求\(x_5\)之值為　　　。
(97高中數學能力競賽　嘉義區複賽試題一)
(109興大附中，https://math.pro/db/thread-3318-1-1.html)

第二區筆試二的第 6 題，題目似乎有誤，原題如下

6. 設方程式 \( x^{2}+(k-4)x+k=0 \) 有兩個整數根，已較大的整數根為直徑作圓 \( O \)，自圓 \( O \)  外一點 \( P \) 作切線 \( \overline{PA} \) 及割線交圓於 \( B \)、\( C \)，若 \( \overline{PA} \)、\( \overline{PB} \)、\( \overline{PC} \) 均為整數且都不是合數，則 \( \overline{BC}=\underline{\qquad (六)\qquad} \) 。

之所以認為有錯，是由圓冪性質可得 (以下 PA, PB, PC 簡記為 a,b,c) \( a^2=bc \)，而  \( a > \min ( \overline{PB},\overline{PC} ) \)，又不為合數，因此 \( a \) 為質數。如此一來，a 和 b, c 中較小者互質，而 \( a^2 \) 整除較大者，此與三數皆非合數矛盾。

"推測" 因將 \( \overline{PC} \) 改為 \( \overline{BC} \) 才對。

設\( f(x) \)為整係數多項式。若\( f(7)=f(208)=-1000 \)，且\( f(0)>0 \)，則\( f(0) \)的可能值中最小為　　　。
(97高中數學能力競賽　第四區筆試二試題)
[解答]
令\( f(x) = (x - 7)(x - 208)q(x) - 1000 \)
\(q(0) = 1 \)時，\(f(0) \)有最小值 456