先貼計算證明題，晚一點女中就會公佈題目了


1. 證明 2100C5010001



2. 直線 y=mx (其中 m0) 與曲線 y=x(x−2)2 有三個相異解，若兩函數交出來的兩個區域面積相等，求 m 的值為何?

101.5.5版主補充
以下資料供以後考生參考：

初試最低錄取分數 52分
取6名參加複試，錄取1名
59,57,57,53,52,52

其他，
50~51分 4人
40~49分 18人
30~39分 47人
20~29分 54人
10~19分 44人
0~9分   21人

共計  194人



【註：weiye 於 2012/05/13 更新附件中的答案檔。感謝 八神庵 老師提醒臺中女中有答案更正公告。】

1.
設y=8nx2−2n(2n+1)x+1( nN )之圖形與x軸交於An與Bn兩點，若AnBn之長為ln，則n=1ln 之和為？

111.6.12補充
設n為正整數，如果二次函數y=8nx2−2n(2n+1)x+1的圖形與x軸交於二點An、Bn，令線段AnBn之長為Ln，則n=1Ln= ？
(A)41　(B)31　(C)21　(D)32　(E)43
(111香山高中，https://math.pro/db/thread-3654-1-1.html)

112.6.16補充
設n為正整數，如果二次函數y=8nx2−2n(2n+1)x+1的圖形與x軸交於二點An、Bn，如果線段AnBn之長為an，則n=1an= ？
(A)\displaystyle \frac{2}{3}　(B)\displaystyle \frac{3}{4}　(C)1　(D)\displaystyle \frac{4}{3}
(112新竹市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3763-1-1.html)

11.
設有m個互不相同的正偶數和n個互不相同的正奇數之和為2012，則5m+12n的最大值為？

m個互不相同的正奇數與n個互不相同的正偶數的總和為1000，則 3m+4n 的最大值是？
(新奧數教程　高二卷　第2講　平均不等式和柯西不等式)
此題的圖檔可以到這裡下載"我的教甄準備之路"的第8篇"奧數教程.rar"
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834　連結已失效
h ttp://forum.nta.org.tw/examserv ... =230321&postcount=8　連結已失效

110.5.3補充
若將m個互不相同的正偶數和n互不相同的正奇數全部相加，得總和為2025，所有滿足上述的自然數m,n中，3m+4n的最大值為　　　。
(110台中女中，https://math.pro/db/thread-3515-1-1.html)

111.4.19補充
已知n個相異的正奇數與m個相異的正偶數的和為1000，求6n+8m的最大值。
(111台中女中，https://math.pro/db/thread-3623-1-1.html)

1. 證明 \displaystyle \frac{C^{100}_{50}}{2^{100}}<0.1
[提示]
\displaystyle C_{50}^{100} \times 0.5^{50} \times 0.5^{50}

比較 \displaystyle C_{20}^{100} \times 0.2^{20} \times 0.8^{80} 和0.2的大小
(98北一女中，https://math.pro/db/thread-784-1-2.html)

101.5.13補充
14.
四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形，頂點A、D分別在扇形的兩半徑上，頂點B、C在扇形的弧上，其中扇形的半徑為1，圓心角為 60^o 。則正方形ABCD的面積為？

四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形，頂點A、D分別在扇形的兩半徑上，頂點B、C在扇形的弧上，而M是扇形的弧中點。設扇形的半徑為r，而圓心角 ∠AOD=\theta 是一銳角，則正方形ABCD的面積為？(以r與 \theta 表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)
thepiano解答，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2800

101.11.11補充
扇形OAB的半徑為1，圓心角AOB等於 60^o ，則其內接矩形PQRS(R、Q在圓弧上，S、P在半徑上)的最大面積為？
(101全國高中數學能力競賽　臺北市筆試二，https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html)

101.5.22補充
在坐標平面上，x坐標和y坐標都是整數的點稱為格子點，對任意正整數n，連接原點與點 P_n(n,n+5) ，若此線段上除兩端點的格子點共有 a_n 個，則 a_1+a_2+a_3+...+a_{2012} 之值為？

在坐标平面上，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连结原点O与点 A_n(n,n+3) ,用 f(n) 表示线段 \overline{OA_n} 上除端点外的整点个数，則 f(1)+f(2)+...+f(1990)
(1990大陸高中數學聯合競賽，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showpost.php?p=229485&postcount=5　連結已失效)

跟樓上一樣，佔個位置，買杯飲料~~~剛剛看到中女的公告，只有答案，沒有題目，實在很想由答案去編題目~~~~
可是看到成績公告，這麼難啊!!!!!!

順便第二題，三次函數對稱於反曲點。

嗯，這次的女中真的不太好寫 = =!!

跟她們97年那次比根本是......  >"<



既然沒公佈題目，那就自己回憶了


(?) 有 m 個偶數與 n 個奇數的總和是2012，求 ?m+?n 的最大值為何？

(14) 有一個扇形，圓心角是60度，裡面內寫一個正方形，正方形兩個點在扇形兩半徑上，另外兩個點在圓周上，
        求此正方形面積？




14題應該是最簡單的一題，原題有圖 ^^



話說，我一直搞不懂為什麼有的學校不公佈試題，
而且為什麼有計算題不公佈的不成文規定，
是怕被說有黑箱空間嗎？  (seriously)

關於計算1. 用中央極限的方法來說

個人覺得那樣做，僅有說明之效，而無證明之效

原因是，中央極限定理的陳述是談極限之情況，也就是 converge in distribution

而現在用無限近似有限，問題發生，有多近似？

當然，這點瑕疪，是可以用大學(或研究所)機率課的內容去補起來，但未免麻煩

98 高雄市聯招 https://math.pro/db/thread-797-1-1.html

的證明 1，其實也類似於本題。

本題只要寫開，就會變成高雄市那題的樣子

\displaystyle C^{100}_{50}\cdot \frac{1}{2^{100}} = \frac{100!}{(2\cdot4\cdot6\cdots\cdot100)^2}=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots99}{2\cdot4\cdot 6\cdots100}

令 a = 上式

則 \displaystyle  a^2< \frac{1^2}{2^2-1}\frac{3^2}{4^2-1}\cdots\frac{99^2}{100^2-1}=\frac{1}{101}<\frac{1}{100}

開方，得證。

但是這個手法，北一女那題就不能玩了。

幫忙回憶二題…

3P+4Q=A
P+Q=I

A為2*2的矩陣
A=[   1   3
        2   6 ]
A^7=aP+bQ       求 log 底12  1/(ab)


--------------------------------------------------------

也許線性代數中有類題，找時間查看看…

另外一題，
一長方體，給上面 對角線的 直線方式 及下面另一 對角線的 直線方式，求長方體面積?

這一題，我先求高(二鈄對角線的距離)   再利用向量相加、減來計算…二邊的向量…。再求底面積*高。

3^x-[(a-1)/3^x]=(a-3) 有實數解, 求a的範圍?   (題目應該沒記錯) (其實, 我知道並不難, 但當時不知道為什麼一直做都是"無解" ? )

其實，就是t＝3^x是兩個正根的條件，對嗎？

引用:

原帖由 mandy 於 2012-4-23 11:00 PM 發表
3^x-[(a-1)/3^x]=(a-3) 有實數解, 求a的範圍?   (題目應該沒記錯) (其實, 我知道並不難, 但當時不知道為什麼一直做都是"無解" ? )

你有沒有記錯題目?

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-4-23 11:24 PM 發表


你有沒有記錯題目?

除非我緊張看錯題目，請問有人記得題目嗎？

題目應該沒錯，我也記得是這樣，而且我也解無解。(我驗算兩遍)公布答案時，我以為我題目看錯(雖然覺得不太可能)。