1.
設\( y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1 \)( \( n \in N \) )之圖形與x軸交於\( A_n \)與\( B_n \)兩點，若\( \overline{A_nB_n} \)之長為\( l_n \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}l_n \)之和為？
111.6.12補充
設\(n\)為正整數，如果二次函數\( y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1 \)的圖形與x軸交於二點\( A_n \)、\( B_n \)，令線段\( \overline{A_nB_n} \)之長為\( L_n \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}L_n= \)？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{4}\) (B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\) (E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
(111香山高中，
https://math.pro/db/thread-3654-1-1.html)
112.6.16補充
設\(n\)為正整數，如果二次函數\(y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1\)的圖形與\(x\)軸交於二點\(A_n\)、\(B_n\)，如果線段\(\overline{A_nB_n}\)之長為\(a_n\)，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\)？
(A)\(\displaystyle \frac{2}{3}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\) (C)1 (D)\(\displaystyle \frac{4}{3}\)
(112新竹市國中聯招，
https://math.pro/db/thread-3763-1-1.html)
11.
設有m個互不相同的正偶數和n個互不相同的正奇數之和為2012，則5m+12n的最大值為？
m個互不相同的正奇數與n個互不相同的正偶數的總和為1000，則\( 3m+4n \)的最大值是？
(新奧數教程 高二卷 第2講 平均不等式和柯西不等式)
此題的圖檔可以到這裡下載"我的教甄準備之路"的第8篇"奧數教程.rar"
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110.5.3補充
若將\(m\)個互不相同的正偶數和\(n\)互不相同的正奇數全部相加，得總和為2025，所有滿足上述的自然數\(m,n\)中，\(3m+4n\)的最大值為
。
(110台中女中，
https://math.pro/db/thread-3515-1-1.html)
111.4.19補充
已知\(n\)個相異的正奇數與\(m\)個相異的正偶數的和為1000，求\(6n+8m\)的最大值。
(111台中女中，
https://math.pro/db/thread-3623-1-1.html)
1. 證明 \(\displaystyle \frac{C^{100}_{50}}{2^{100}}<0.1\)
[提示]
\( \displaystyle C_{50}^{100} \times 0.5^{50} \times 0.5^{50} \)
比較\( \displaystyle C_{20}^{100} \times 0.2^{20} \times 0.8^{80} \)和0.2的大小
(98北一女中，
https://math.pro/db/thread-784-1-2.html)
101.5.13補充
14.
四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形，頂點A、D分別在扇形的兩半徑上，頂點B、C在扇形的弧上，其中扇形的半徑為1，圓心角為\( 60^o \)。則正方形ABCD的面積為？
四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形，頂點A、D分別在扇形的兩半徑上，頂點B、C在扇形的弧上，而M是扇形的弧中點。設扇形的半徑為r，而圓心角\( ∠AOD=\theta \)是一銳角，則正方形ABCD的面積為？(以r與\( \theta \)表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二，
https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)
thepiano解答，
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2800
101.11.11補充
扇形OAB的半徑為1，圓心角AOB等於\( 60^o \)，則其內接矩形PQRS(R、Q在圓弧上，S、P在半徑上)的最大面積為？
(101全國高中數學能力競賽 臺北市筆試二，
https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html)
101.5.22補充
在坐標平面上，x坐標和y坐標都是整數的點稱為格子點，對任意正整數n，連接原點與點\( P_n(n,n+5) \)，若此線段上除兩端點的格子點共有\( a_n \)個，則\( a_1+a_2+a_3+...+a_{2012} \)之值為？
在坐标平面上，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连结原点O与点\( A_n(n,n+3) \),用\( f(n) \)表示线段\( \overline{OA_n} \)上除端点外的整点个数，則\( f(1)+f(2)+...+f(1990) \)
(1990大陸高中數學聯合競賽，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showpost.php?p=229485&postcount=5 連結已失效)
