4.
將由左至右的六個位置分別填入0、1、2的數字，成為「三元字串」，例如：201021是一個三元字串。對於兩個三元字串\(a=a_1a_2a_3a_4a_5a_6\)與\( b=b_1b_2b_3b_4b_5b_6\)，定義\(a\)與\(b\)的距離為\(\displaystyle \sum_{i=1}^{6} |\; a_i-b_i |\;\)，意即\(|\;a_1-b_1|\;+|\;a_2-b_2|\;+|\;a_3-b_3|\;+|\;a_4-b_4|\;+|\;a_5-b_5|\;+|\;a_6-b_6|\;\)，例如：201021與001011的距離為3(因為它們的第一個足標差和第5個足標差1，加總起來是3)，請問與201021的距離為4的三元字串共有多少個？
將由左至右的六個位置分別填入0或1或2的數字，成為「三元字串」，例如：201021是一個三元字串。對於兩個三元字串\(a=a_1a_2a_3a_4a_5a_6\)與\( b=b_1b_2b_3b_4b_5b_6\)，定義\(a\)與\(b\)的距離為滿足\(a_i \ne b_i\)的下標\(i\)的個數。例如：201021與001011的距離為2(因為它們的第一及第五個位置的數字不相同)。
(1)試問與201021的距離為3的三元字串共有多少個？
(2)試求所有三元字串與201021的距離總和。
(100台灣師大個人申請)
[解答]
(1)
與201021的距離為3的三元字串就是僅能改變六個位置中的三個，而且每個改變的位置只能填入其餘的兩個數字，因此一共有\(C_3^6 \times 2^3=160\)個。
(2)
從(1)的討論中，可以發現：與201021的距離為\(k(k=0,1,2,3,4,5,6)\)的三元字串共有\(C_k^6 \times 2^k\)個。
因此，所有三元字串與201021的距離總和為
\( \displaystyle \sum_{k=0}^6 (C_k^6 \times 2^k)\times k=\sum_{k=1}^6 6 \times 2C_{k-1}^5 \times 2^{k-1}=12(1+2)^5=2916 \)
10.
試將2017分成若干個正整數的和，且令\(x\)表每一種表示法的所有正整數乘積。
(例如：\(2017=2+5+2010\)，則\(x=2 \times 5 \times 2010=20100\))。若\(x\)的最大值為\(a\)，則試求下列各題之值：
(1)\(a\)為何？(以質因數分解表示)
(2)\(a\)為幾位數？首位數字是多少?
[提示]
(1)若M ≡ 0(mod 3)，則\( M=3n \)，積\( 3^n \)最大。
(2)若M ≡ 1(mod 3)，則\( M=3n+1=3(n-1)+2 \cdot 2 \)，積\( 3^{n-1}\cdot 2^2 \)最大。
(3)若M ≡ 2(mod 3)，則\( M=3n+2 \)，積\( 3^n \cdot 2 \)最大。
算式在這裡
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1945
12.
Gamble教授買了一張樂透彩券，需從1到30個數字中選出六個數字填入，已知他所選的六個數字分別以6為底數取log後，再加起來為一整數，則Gamble的選法有幾種？
Gamble教授買了一張樂透彩券，需從1到46個數字中選出六個數字填入，已知他所選的六個數字分別以10為底數取log後，再加起來為一整數，若中獎之彩券也是依照此相同之條件，則Gamble教授中獎之機率為
(A)\(\displaystyle \frac{1}{5}\) (B)\(\displaystyle \frac{1}{4}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (D)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (E)1
(2000 AMC12，
https://www.artofproblemsolving. ... Problems/Problem_23)
AMC12中文歷屆試題
https://math.pro/db/attachment.p ... 39&t=1464391918
