第一部份：填充題
1.
設\(P(n)\)表示正整數\(n\)的所有正因數之積，例如：\(P(6)=1\times2\times3\times6=36\)。若\(P(n)=2^{36}\times3^{24}\times7^{12}\)，求正整數\(n=\)
。
設\(P(n)\)表正整數\(n\)之所有正因數之積，例如：\(P(6)=1\times 2\times 3\times 6=36\)。若\(P(n)=2^{18}\times 7^{12}\)，則正整數\(n=\)
。
(104台南二中，
https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html)
2.
已知\(f(3^x)=4x\log_23+233\)，則\(f(2)+f(4)+f(8)+\dots+f(2^8)+f(2^9)+f(2^{10})=\)
。
3.
設\(a\)為正整數，平面座標系上三點\(A(-3,1)\)、\(B(10,2)\)、\(C(3,3)\)經矩陣\(\begin{bmatrix}1&5\\0&3a\end{bmatrix}\)變換後的點依序為\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，若\(\triangle A'B'C'\)為直角三角形，則\(a=\)
。
4.
已知橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)上一動點\(P\)經二階方陣\(\begin{bmatrix}1&3\\0&1\end{bmatrix}\)所定義的線性變換，將點\(P\)映射到點\(P'\)，則點\(P'\)與\(y\)軸距離的最大值為
。
5.
座標空間中，設\(\vec{a}=(4,-3,1)\)，\(\vec{b}=(2,2,k)\)，若\(\vec{c}\)在\(\vec{a}\times\vec{b}\)上的正射影為\((1,2,2)\)，則由\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)所張的平行六面體體積為
立方單位。
6.
投擲一公正骰子三次，所得的點數依序為\(a,b,c\)。在\(b\)為偶數的條件下，求方程式\(ax^2-bx+c=0\)有實數解的機率為
。
(105學測模擬考，
https://webapps.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA477.pdf)
7.
解方程式\(\log(6x^3+11x^2-3x-3)=\log(x+1)\)，則\(x=\)
。
8.
在三角形\(ABC\)中，\(5\sin A+6\cos B=7\)，\(6\sin B+5\cos A=4\)，則\(\sin C=\)
。
在三角形\(ABC\)中，\(5\sin A+6\cos B=7\)，\(6\sin B+5\cos A=4\)，則\(\sin C=\)？
(97高中數學能力競賽第二區筆試二試題，
https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)
9.
已知一數列\(\langle a_n\rangle\)之首\(n\)項和\(S_n=n^3+2n^2-503n\)，\(n\)為正整數，則\(\displaystyle\sum_{n=1}^{30}|a_n|=\)
。
10.
空間中一直線在\(x+y+z=1\)上的正射影為\(\begin{cases}x+y+z=1\\x+y=1\end{cases}\)，且在\(z=0\)上的正射影為\(\begin{cases}z=0\\x+2y+z=3\end{cases}\)，求此直線的參數式為
。
11.
解聯立方程式\(\begin{cases}\log_5x-2y=1\\x-5^y=6\end{cases}\)得到\(x=\)
。
12.
設\(x,y\in\mathbb{R}\)，則\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2-16x+64}+\sqrt{x^2+y^2-20x-8y+116}+\sqrt{x^2+y^2-8x-12y+52}\)的最小值為
。
(我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)
13.
全校一家為宜蘭高中的校訓，今天將「全、校、一、家、讚」五字重新排列，使原本相鄰的變成不可相鄰，其中「全、家」兩字相鄰的排法有
種。
14.
老師欲從阿東、阿西、阿南、阿北四位同學中選一位當值日生，此四人討論之後以「黑白猜」和「剪刀、石頭、布」來決定由誰當值日生，方式如下：
(1)首先使用「黑白猜」：直到恰有一人出的手掌方向與其他三人不同，則此人就不必當值日生。
(2)接著使用「剪刀、石頭、布」：三人出拳比輸贏，直到三人中恰有一人輸時，該位同學就是值日生。
依照上述的規則，則此四人為了決定當值日生人選的猜拳次數期望值為
。
15.
已知正四面體\(PABC\)的邊長為\(\sqrt{2}\)，頂點\(P\)對平面\(ABC\)的對稱點\(P'\)，頂點\(A\)對平面\(PBC\)的投影點\(A_0\)，則長度\(\overline{P'A_0}=\)
。
16.
今將函數\(\Gamma\)：\(y=x^3+x\)向上平移\(k\)單位成新函數\(\Gamma_1\)。若\(\Gamma\)與\(\Gamma_1\)之公切線斜率大於\(\displaystyle\frac{7}{4}\)，則\(k\)的範圍為
。
求兩曲線\(y=x^3-3x+1,y=x^3-3x+33\)的公切線方程式？
(109高雄市高中聯招，
https://math.pro/db/thread-3338-1-1.html)
第二部份：計算證明題
17.
設\(a,b\)為兩個大於2的數，則(1)\(\displaystyle\frac{b^2}{a-2}+\frac{a^2}{b-2}\)的最小值為何？ (2)承(1)，此時\((a,b)\)為何？
18.
若\(n\)為自然數，\(\displaystyle f(n)=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{(2k-1)(2k)}\)，則\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(n)=\)
。
\(\displaystyle f(n)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k)(2k-1)}\)，求極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}f(n)=\)
。
(106興大附中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2749&page=1#pid17004)
(我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)
