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柯西不等式,推廣式的證明,與一題三角函數聯考題

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柯西不等式,推廣式的證明,與一題三角函數聯考題

引用:
好像是七十幾年吧,這題可能不少人看過,解法也很多,我是覺得還頗值得討論的。
π/2>θ>0,試求2/sinθ+3/cosθ的最小值。有想法的就回一下吧。
 




福氣老師所提供的兩個解法
引用:
解法1 → 柯西不等式推廣

解法2 → 微分

解法僅供參考,解不好勿怪 :-)

PS:解法1未指出等號成立的條件,會的請提供,能提供證明更好,哈~  謝謝 :-)
 



其中,第一個方法裡面用到的廣義科西不等式的證明與等號成立條件,

https://math.pro/temp/qq59.pdf
引用:
chpohoa1 網友提供的另一個解法:

http://www.student.tw/db/showpost.php?p=2457613&postcount=17

令K=3/cosθ + 2/sinθ ,a,b為待定常數

=> K * √(a^2 + b^2) ≧ K * (acosθ + bsinθ) ≧ [ √(3a) +√(2b) ]^2

=> K ≧ [ √(3a) +√(2b) ]^2 / √(a^2 + b^2)

=>要讓等號成立

√(a^2 + b^2) ≧ acosθ + bsinθ 的條件中

sin(φ+θ)=1 註:[sinφ = a/√(a^2 + b^2)]

即φ+θ = π/2

因此cosθ = sinφ = a/√(a^2 + b^2)

且3b(sinθ^2)=2a(cosθ^2) [科西成立條件]

整理得3(b^3)=2(a^3),不妨取a=3^(1/3),b=2^(1/3)

代回得K ≧ (2^2/3+3^2/3)^3/2

如果要寫的屌一點直接配出a,b,

不寫出配方過程
原討論串:http://www.student.tw/db/showthread.php?t=143695

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你好..上方的解法一跟解法二已經失去效用..
請問有無另站留存..或者是應該要如何解這個題目的內容...
Thanks.

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回復 2# HDY 的帖子

科學教育月刊  第 259 期  中華民國九十二年六月

柯西不等式的推廣 ─ 梁順豪,國立政治大學 應用數學系

http://www.sec.ntnu.edu.tw/Month ... 3-259-04(33-38).pdf

當中的「1.12 例題」即是,該文中有三個解法可供參考。

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