發新話題
打印

98彰化女中

推到噗浪
推到臉書
引用:
原帖由 arend 於 2009-5-22 11:30 PM 發表
瑋岳老師
請問在第2題裡
在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域,每區域一色,相鄰區域不同色,全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?

還是其他表示? 可否告知
謝謝 ...
個人以為這個\( S(n,m) \)只是因為有\( n \)塊區域與要用\( m \)種顏色的方法數代號,與C或是H等符號無關
就好像矩陣中會用\( a_{i,j} \)表示是一樣的。
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

TOP

引用:
原帖由 armopen 於 2009-5-23 10:50 AM 發表
請問第 6  題除了硬算之外有比較好的作法嗎? 謝謝!

求 1^2 * C(10,1) * (1/6) * (1/6)^9 + 2^2 * C(10,2) * (1/6)^2 * (1/6)^8 + ... + 10^2 C(10,10) * (1/6)^10 = ?
拋磚引玉一下
\(\displaystyle (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{k}^{n}x^{k}y^{n-k}\)
考慮
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}kC_{k}^{n}x^{k}y^{n-k}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}nC_{k-1}^{n-1}x^{k}y^{n-k} \)
\(\displaystyle  =nx\sum_{k=0}^{n-1}C_{k}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k} \)
\(\displaystyle  =nx(x+y)^{n-1} \)
所以
\(\displaystyle  1*C_{1}^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^{9}+2*C_{2}^{10}(\frac{1}{6})^{2}(\frac{5}{6})^{8}+...+10*C_{10}^{10}(\frac{1}{6})^{10} \)
\(\displaystyle  =10*(\frac{1}{6})(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})^{9}=\frac{10}{6} \)
再考慮
\(\displaystyle  \sum_{k=2}^{n}k(k-1)C_{k}^{n}x^{k}y^{n-k} \)
\(\displaystyle  =\sum_{k=2}^{n}n(n-1)C_{k-2}^{n-2}x^{k}y^{n-k} \)
\(\displaystyle  =n(n-1)x^2\sum_{k=0}^{n-2}C_{k}^{n-2}x^{k}y^{n-2-k} \)
\(\displaystyle  =nx^2(x+y)^{n-2} \)
所以
\(\displaystyle  (1^2-1)*C_{1}^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^{9}+(2^2-2)*C_{2}^{10}(\frac{1}{6})^{2}(\frac{5}{6})^{8}+...+(10^2-10)*C_{10}^{10}(\frac{1}{6})^{10} \)
\(\displaystyle  =10*9*(\frac{1}{6})^{2}(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})^{8}=\frac{15}{6} \)
由上面兩式得到求值式為 \(\displaystyle  \frac{15}{6}+\frac{10}{6}=\frac{25}{6} \)


初次嘗試使用jsMath發文,如果有錯誤或是關於Sigma的表示應該用別的方式,請瑋岳老師指導一下
還是可以直接從我的電腦上傳圖檔??
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

TOP

關於17題有個小小的看法
\( z+w+(-(z+w))=0 \)
所以這三個構成封閉三角形,而長度皆為1,故為正三角形
如果我們令 \( \frac{4}{5}+\frac{3}{5}i \) 的輻角為 \( \theta \)
那麼有 \( \alpha+\beta=2\theta \)
接下來用tan的兩倍角公式就好了

[ 本帖最後由 老王 於 2009-5-25 09:59 AM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

TOP

關於11題求拋物線與兩切線間面積的問題,提供一個性質,計算起來比較簡單(不必積分,當然,如果對積分熟練的人就不必要了)
令拋物線\( \Gamma \) 外一點P,過P作\( \Gamma \)的兩切線PA和PB,其中A和B是切點。
過P且平行於\( \Gamma \)對稱軸的直線交\( \Gamma \)於C,交AB於D
那麼有\( PC=CD \)以及\( AD=BD \)
以及\( \Gamma \)與弦AB所圍的拋物線弓形面積與三角形ABC的關係是
弓形面積=\( \frac{4}{3}(ABC) \)
=\( \frac{2}{3}(PAB) \)
剩下的部份就是 \( \frac{1}{3}(PAB) \)

110.8.15補充
設拋物線\(\Gamma\):\(y=x^2+x+1\),由\(A(1,-2)\)作\(\Gamma\)的兩條切線得切點\(B\)和\(C\),求\(\Delta ABC\)的面積。
(110嘉義高中,https://math.pro/db/thread-3537-1-1.html)
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

TOP

求\( \displaystyle \lim_{x\to \infty}cos^2 \frac{x}{2}cos^2 \frac{x}{2^2}cos^2 \frac{x}{x^3}...cos^2 \frac{x}{2^n} \)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=2935


相同的技巧也可以用在這題
設\( \displaystyle S_n=\sum_{k=2}^n log_2(cos \frac{\pi}{2^k}) \),試證\( -1<S_n<0 \)。
(出處忘記了,以後再補上)

100.9.3補充
這題出自72年大學聯考
「七十二學年度大學聯考數學試題」雜感 陳昭地
http://w3.math.sinica.edu.tw/media/media_162.jsp?voln=73


以下這題也是cos連乘,但解題的技巧不同
試證\( \displaystyle cos(\frac{1}{2})cos(\frac{1}{3})...cos(\frac{1}{n})>\frac{2}{3} \)。
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=37175

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-9-3 08:59 AM 編輯 ]

TOP

請問第5題怎麼做 ?

TOP

第 5 題
\(P\) 為橢圓 \(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) 上一點(不為端點),一魔力光點自 \(P\) 向橢圓一焦點 \(F\) 射出,在到達 \(\overline{PF}\) 中點 \(M\) 時,

會朝橢圓中心 \(O\) 折射而去,求此魔力光點自 \(P\) 經 \(M\) 到達 \(O\) 之最短路徑長________。

解答:設另一焦點為 \(E\),連接 \(\overline{PE}\),如下圖:



   在 \(\triangle PEF\) 中,因為 \(M,O\) 分別為 \(\overline{PF}\)、\(\overline{FE}\) 之中點,

   因此 \(\displaystyle\overline{MO}=\frac{1}{2}\overline{PE}\) 且 \(\displaystyle\overline{PM}=\frac{1}{2}\overline{PF}\)。

   故,\(\displaystyle \overline{PM}+\overline{MO}=\frac{1}{2}\left(\overline{PF}+\overline{PE}\right)=\frac{1}{2}\times{\mbox{長軸長}}=\frac{1}{2}\cdot10=5.\)

TOP

請問各位老師第四題怎麼做?
想了很久沒有頭緒

TOP

4.直角三角形△ABC三邊長\( a \le b \le c \),若\( log a^2+log b^2=log c^2 \),則a之最大可能值為?
[解答]
\( a^2 b^2=a^2+b^2 \)
令\( x=a^2 \),\( y=b^2 \)
可看成坐標平面上\( xy=x+y \),\( x \le y \),\( x,y \ge 0 \)的線性規劃
x最大值在雙曲線的頂點\( (x,y)=(2,2) \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-5-13 09:39 AM 編輯 ]

TOP

謝謝老師

TOP

發新話題